幾個(gè)月前我翻譯了一個(gè)介紹DY溢出指數(shù)的油管視頻，不少人收藏，還是挺意外的（喜）。

up的本科畢設(shè)就是基于方差分解法的溢出效應(yīng)研究，當(dāng)初搜到有講解DY溢出指數(shù)的視頻還是挺激動(dòng)的，可惜的是視頻里并沒有對(duì)GFEVD的數(shù)學(xué)推導(dǎo)進(jìn)行說明，我自己前前后后也是搜索了大量文獻(xiàn)資料才勉強(qiáng)補(bǔ)完了自己的理解。不便展示論文內(nèi)容，但可以簡(jiǎn)單說一下我對(duì)這個(gè)模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)的理解。

DY中所使用的廣義預(yù)測(cè)誤差方差分解特指PesaranShin-GFEVD[1]，其目的是計(jì)算VAR系統(tǒng)中任一內(nèi)生變量預(yù)測(cè)誤差的方差受到來自系統(tǒng)內(nèi)不同變量沖擊影響的解釋比例，這個(gè)“沖擊”是用Koop等提出的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)GIRF模擬實(shí)現(xiàn)的[2]。由于水平有限，Koop的那篇我實(shí)在看不懂，但我覺得并不影響后續(xù)的理解，可以直接看Pesaran/Shin的文章。

從常見的VAR模型形式即自回歸式（y=μ+ΣAx+u）推導(dǎo)到DY2012公式(1)的那坨東西，需要經(jīng)歷以下過程：

1. 對(duì)VAR的自回歸式進(jìn)行Wold分解，得到VAR模型的移動(dòng)平均形式（VMA，y=φ+ΣBu），原來x的系數(shù)矩陣A變成了同尺寸的移動(dòng)平均系數(shù)矩陣B，u即原來的擾動(dòng)項(xiàng)序列（φ是Wold分解出的趨勢(shì)項(xiàng)部分在后續(xù)沒有用到，可以不管）。矩陣B可以由矩陣A計(jì)算得來，兩者滿足的是一種遞歸關(guān)系。

   做這種變換的原因，一種說法是“VMA形式的VAR模型更便于研究系統(tǒng)內(nèi)各變量之間的相互影響”。DY2012公式(1)中體現(xiàn)VAR模型信息的地方就是矩陣B，之后DY公式分子分母的計(jì)算都需要用到矩陣B。

   關(guān)于這部分的具體公式可以閱讀此網(wǎng)頁[3]，涉及部分“1.4 Wold decomposition”和“2 Moving average representation of a VAR”。

   
   

2. 廣義預(yù)測(cè)誤差方差分解本質(zhì)是計(jì)算在“比例”，等于“部分”除以“整體”。

   假設(shè)這個(gè)“比例”表示的是變量i（的預(yù)測(cè)誤差方差）由變量j所解釋的比例，那么“整體”（分母）指代VAR模型總的（H步）預(yù)測(cè)誤差方差中屬于變量i的部分，“部分”（分子）指代對(duì)變量j進(jìn)行沖擊后產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)值中屬于變量i的分量（是沖擊后t+1到t+H各時(shí)刻脈沖響應(yīng)值的加總，也是H步）。

   我表述成“xx中屬于xx的部分”，是因?yàn)樵骄褪怯米蟪撕陀页?strong>選擇向量e去取總預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣中屬于某一部分的分量。
   

   “整體”：要先計(jì)算表示“VAR模型總的H步預(yù)測(cè)誤差方差”的協(xié)方差矩陣，可以用前面提到VAR模型的VMA形式表示出來，大概長(zhǎng)這樣子：Σ(BΣuB)，Σu是原來的擾動(dòng)項(xiàng)序列的協(xié)方差矩陣（[3]的“4.2 Mean Squared Errors”部分有涉及）。然后，再用選擇向量提出屬于變量i的部分，就可以得到DY2012公式(1)的分母部分。

   “部分”：要用到GIRF函數(shù)（原文大致描述為“GFEVD與Cholesky方差分解最大的區(qū)別在于脈沖響應(yīng)函數(shù)的使用，GFEVD一次只對(duì)系統(tǒng)中的某一變量產(chǎn)生沖擊，而并非同時(shí)沖擊所有變量，這也就讓其對(duì)變量順序不敏感”）計(jì)算沖擊變量j所產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)值，對(duì)變量j的沖擊（通常）取的是一倍標(biāo)準(zhǔn)差，可以計(jì)算得到文章[1]的公式(10)，然后用選擇向量提出屬于變量i的部分（也就是i←j）。這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果和DY2012公式(1)的分子很接近了，只需要再對(duì)求和公式的每個(gè)部分加個(gè)平方即可（可以看看文章[4]的公式(4)）。

經(jīng)過上述兩個(gè)步驟，就可以得到DY2012的公式(1)啦。這個(gè)公式是PesaranShin-GFEVD的成果，DY的貢獻(xiàn)在于對(duì)這個(gè)方差分解結(jié)果的進(jìn)一步包裝，包括讓其更像“比例”標(biāo)準(zhǔn)化過程（歸一化）、總溢出指數(shù)和三種方向性溢出指數(shù)的定義等。

順帶一提，基于頻域分解技術(shù)的BK溢出指數(shù)也是一個(gè)道理，其本質(zhì)是DY溢出指數(shù)在不同頻段ω上的分解（頻段ω上的方差分解值?=?頻段ω上的權(quán)重函數(shù) × 很像DY2012公式(1)的廣義因果譜函數(shù)），不過另外用到了離散傅里葉變換（DFT，實(shí)現(xiàn)了時(shí)域信號(hào)向頻域信號(hào)的轉(zhuǎn)換）等技術(shù)，沒有工科背景真的看不懂（昏睡）。

就講這么多吧，歡迎大佬指正。

參考資料：

[1] PESARAN H H, SHIN Y. Generalized impulse response analysis in linear multivariate models[J]. Economics letters, 1998, 58(1): 1729.

[2] KOOP G, PESARAN M H, POTTER S M. Impulse response analysis in nonlinear multivariate models[J]. Journal of econometrics, 1996, 74(1): 119147.

[3]?https://kevinkotze.github.io/ts-7-var/#ref-Engle:1987

[4]?Lanne M, Nyberg H. Generalized forecast error variance decomposition for linear and nonlinear multivariate models[J]. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 2016, 78(4): 595-603.