二階行列式：平行四邊形的有向面積

證明方法：1、割補(bǔ)法 2、平移法 3、代數(shù)法

三階行列式：平行六面體的有向體積

由于方向指向更高的維度，人類無(wú)法理解，但是可以通過(guò)±來(lái)感知。與坐標(biāo)軸方向一致為正

補(bǔ)充知識(shí)：三位向量的叉乘

頭腦小風(fēng)暴：每一次叉乘得到的向量都是指向了大于當(dāng)前空間維度一維的空間

行列式都是正方形，二階行列式是兩行兩列三級(jí)行業(yè)是是三行三列。

若a、b都是二維向量，a×b的大小=a、b所構(gòu)成的二階行列式大小=a、b所構(gòu)成的平行四邊形的面積

若a、b、c都是三維向量，a×b·c的大小=a、b、c所構(gòu)成的三階行列式大小=a、b、c所構(gòu)成的平行六面體的體積（證明：分別計(jì)算行列式和向量運(yùn)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)果一致）

若a、b都是三維向量，a×b的大小=a、b、i所構(gòu)成的三階行列式大小=a、b所構(gòu)成的平行四邊形

奇數(shù)個(gè)得到的是矢量，偶數(shù)個(gè)差乘得到的是標(biāo)量

行列式的性質(zhì)

性質(zhì)一：行列互換值不變

性質(zhì)二：某行（某列）倍乘，行列式的值也倍乘 行列式的行和列是等效的

性質(zhì)三：反對(duì)稱性質(zhì)（兩行（列）對(duì)換，行列式的值反號(hào)）

理解：二階行列式→叉乘

三階行列式→叉乘之后點(diǎn)乘

推論：1、如果行列式兩行（列）完全相 同， 則此行列式等于0

理解：性質(zhì)三或者幾何意義

2、行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于0

理解：性質(zhì)二；或者幾何意義

{思維方式的積累：1、復(fù)雜的概念理解之后起一個(gè)精簡(jiǎn)的名字，方便搭建只是體系

2、復(fù)雜的問(wèn)題由繁入簡(jiǎn)，可以先從二階行列式看起。}

性質(zhì)四：三角形法則的基礎(chǔ)

理解：

二階幾何意義：平行四邊形的平移

三階幾何意義：平行六面體的平移

意義：倍加的意義是消元

倍乘消元得到更多的0的三角行列式意義是使向量構(gòu)成的幾何體變得更加的規(guī)則

再次消元得到對(duì)角行列式，得到一個(gè)長(zhǎng)方形

對(duì)角行列式的轉(zhuǎn)換

其實(shí)，-1的指數(shù)永遠(yuǎn)是奇數(shù)，正負(fù)對(duì)角線行列式一直互為相反數(shù)

方法：基于冒泡排序法的思想

行列式的展開(kāi)

余子式：去掉某一個(gè)元素所在行和列后重新組成的行列式（稱作：某元素的余子式；含義其余的元素構(gòu)成的子行列式）

相鄰兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)魚(yú)子數(shù)的符號(hào)想相反

行列式展開(kāi)定理

行列式的展開(kāi)就是某一行（列）元素乘以它的代數(shù)余子式，然后在相加之后得到的行列式

理解：

（通過(guò)坐標(biāo)來(lái)證明0）

幾何意義：把一個(gè)大的幾何體通過(guò)投影拆成幾個(gè)小的幾何體（拓展：拉布拉多展開(kāi)式類似）

矩陣

線性變換

如果整個(gè)空間的所有二維向量都進(jìn)行了相同的線性變化，而這個(gè)線性變換就是施加于整個(gè)空間的，對(duì)整個(gè)空間進(jìn)行了線性變換

由于整個(gè)空間所有項(xiàng)鏈的起點(diǎn)都是在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)都是在平面任意位置，那我們空間的變換就可以用網(wǎng)格線來(lái)表示，可以不用畫(huà)出所有向量

線性條件：滿足：

①向量加法運(yùn)算

②標(biāo)量乘法運(yùn)算

T(0)=0表示線性變換之后原點(diǎn)位置不變

第二個(gè)是匯總結(jié)果

幾何解釋

①直線變換之后仍然是直線，網(wǎng)格線平行且等距分布

②原點(diǎn)固定

矩陣

矩陣的運(yùn)算

加法運(yùn)算

矩陣表示一個(gè)線性變換，這個(gè)線性變換是用變換后的基向量來(lái)表示的

音樂(lè)表示變換后的i，第2列表示變化后的j，第3列表示變換后的k

矩陣豎著看就是每一個(gè)方向的基向量，所有方向的積向量共同描繪一種新的空間狀態(tài)

對(duì)比行列式的加法運(yùn)算法則：

數(shù)乘運(yùn)算

矩陣的乘法

線性變換·輸入向量=輸出向量

快速運(yùn)算：

A m×n B n×s 這兩個(gè)矩陣的n腳標(biāo)必須要相等才行，不相等沒(méi)法相乘。

矩陣A的n列都是變化后的基向量