本級提綱：干涉→衍射→惠更斯原理→惠更斯-菲涅爾原理→菲涅爾衍射積分公式→菲涅耳衍射公式→菲涅耳半波帶法之圓孔、圓屏的菲涅爾衍射→菲涅爾波帶片

?????? 續(xù)上一集，光的衍射是除了干涉外又一光的波動性主要標(biāo)志。

知識點(diǎn)1、光的衍射定義

?????? 光在傳播過程中遇到障礙物時偏離幾何光學(xué)路徑的現(xiàn)象被稱為光的衍射。

?????? 顯然用幾何光學(xué)不能解釋。最重要的歷史人物是物理光學(xué)之父菲涅爾，他把惠更斯原理用干涉原理加以補(bǔ)充，發(fā)展成為惠更斯-菲涅爾原理。（雖然事實(shí)上衍射問題應(yīng)該作為電磁場波的邊值問題，但我們這門波動光學(xué)是脫離其麥克斯韋方程組的）

知識點(diǎn)2、惠更斯原理?

?????? 惠更斯原理：波陣面上每一點(diǎn)都可以看做是一個次級擾動中心，所有這些次波中心所發(fā)出的球面次波的包絡(luò)面就是某一后繼時刻的波陣面。其等價(jià)描述有很多種版本，核心都是子波理論，如果面試問到了就想著上圖那個舊包絡(luò)和新包絡(luò)的圖說就行。

?????? 話說惠更斯原理曾給予我極大啟發(fā)，我在其基礎(chǔ)上參悟出了平方反比律背后的原理，并一舉總結(jié)出了大學(xué)物理電磁學(xué)和電磁場與電磁波許多?？脊降拇笠唤y(tǒng)記法，我當(dāng)時直呼我這不得寫進(jìn)教科書，奈何當(dāng)年文筆似乎拉跨，沒能獲得領(lǐng)導(dǎo)賞識，后來也在B站發(fā)了視頻但沒啥動靜。日后有機(jī)會再重新整理一遍，希望沒人偷我前邊把這事沖了。

??????惠更斯原理雖然是光的波動說的理論，但有很強(qiáng)的歷史局限性。它本質(zhì)上是幾何光學(xué)時代的一種幾何作圖法或幾何光學(xué)原理，它等價(jià)于直線傳播定律+折反射定律。它沒有提出任何光的波動的物理機(jī)制，所以惠更斯-菲涅爾原理才被視為物理光學(xué)的基本原理，所以惠更斯未能打敗牛頓為首的微粒說，所以惠更斯原理不能解釋光的干涉、衍射、還有倒退波等諸多問題，對于衍射，最主要的是沒能解決定量問題，即衍射后的光強(qiáng)分布問題，這一問題遺留給了菲涅爾解決。

知識點(diǎn)3、惠更斯-菲涅爾原理

?????? 了不起的菲涅爾提出了當(dāng)時較為完善的衍射理論——

?????? 惠更斯-菲涅爾原理：波前上每一點(diǎn)都可看做是次波中心，光場中某一點(diǎn)的擾動是包圍光源的任一閉曲面波上所有點(diǎn)發(fā)出的次波在該點(diǎn)的相干疊加。

?????? 似乎猛一看沒啥了不起。但實(shí)際上已經(jīng)是極大的歷史進(jìn)步——在惠-菲原理看來，干涉和衍射本質(zhì)上是相同的，均為次波相干疊加，區(qū)別僅在于次波源在空間上是離散的還是連續(xù)的，即光強(qiáng)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)上是求和還是積分。

?????? 菲涅耳當(dāng)時提出了菲涅爾衍射積分公式，后經(jīng)基爾霍夫完善為菲涅爾-基爾霍夫衍射公式。但這公式很難解出解析解，因?yàn)殡y解，菲涅爾本人也不想干，于是提出了菲涅耳近似（非近似不成光學(xué)啊鐵子們，一句話證明你看過速成搶救物理光學(xué)系列，手動狗頭）

知識點(diǎn)4、菲涅耳衍射公式（菲涅耳衍射積分的菲涅耳近似版本）、夫瑯禾費(fèi)衍射

?????? 菲涅爾近似先是用了傍軸近似，又用了二項(xiàng)展開近似。形式比較復(fù)雜：

?????? 菲涅爾衍射公式的這一重要特點(diǎn)使之在信息光學(xué)中有了重要地位（基于角譜衍射理論），也使它在我們波動光學(xué)中非主流。

?????? 如果在其基礎(chǔ)之上（源點(diǎn)和場點(diǎn)同時滿足傍軸近似條件）繼續(xù)施加近似條件，如果源點(diǎn)和場點(diǎn)同時滿足遠(yuǎn)場近似，則有夫瑯禾費(fèi)衍射。因?yàn)樗头颇鶢栄苌涔揭粯釉诓▌庸鈱W(xué)里非主流了，所以不再展開。重點(diǎn)在下邊的知識點(diǎn)5：

沒錯拽了半天文，第一個真正的重點(diǎn)

知識點(diǎn)5、菲涅耳半波帶法之圓孔的菲涅耳衍射

?????? 解算復(fù)雜的積分在當(dāng)時那個沒有計(jì)算機(jī)的時代是不合算的，而利用幾何對稱性進(jìn)行定性和半定量的分析，再結(jié)合一定的物理模型處理方法，往往也可以取得相當(dāng)好的近似結(jié)果，比如菲涅耳衍射的一種分析方法：菲涅耳半波帶法，當(dāng)然由前述，它需要施加很強(qiáng)的幾何對稱性條件，所以我們只學(xué)兩種：圓孔衍射和圓屏衍射。

?????? 菲涅爾半波帶法實(shí)際上是魔改的干涉。核心概念仍是光程差。

?????? 如圖，點(diǎn)光源的波陣面是球面，依據(jù)分波陣面法干涉相長、干涉相消的思想、惠-菲原理，把該球面分割為許多元波面，元波面的分割方式是以觀察點(diǎn)P為圓心，取梯度半徑作球面，這些梯度球面與點(diǎn)光源的波陣面形成一系列交線，相鄰交線直接形成環(huán)帶，這些環(huán)帶就是波帶，而“元波帶”是指無限窄（這個無限窄是近似無限窄，即梯度差距遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于圖中的r0）的波帶，即相當(dāng)于一個沒有厚度的球面，所以同一元波帶上各點(diǎn)到觀察到P的光程差可以認(rèn)為是相同的，如此以來元波帶們到P點(diǎn)的光程差就是梯度光程差，相鄰元波帶到P點(diǎn)的光程差均為梯度差距。

?????? 元波面劃分完畢后，下一步的工作是分析這些元波帶在P點(diǎn)的振幅和相位，以確定是干涉相長還是相消。由一系列我建議黑箱的推導(dǎo)過程，這些相鄰波帶們的振幅最終可以近似相等，所以一番相長相消的干涉疊加后

只剩下了兩項(xiàng)，波帶為奇數(shù)是相長，光強(qiáng)極大；波帶為偶數(shù)是相消，光強(qiáng)極小。

菲涅耳半波帶法實(shí)際上是簡化版的矢量合成法：

矢量圖解法是菲涅爾半波帶法的更稠密的版本：

如果k無限大，即這個圓孔大到幾何光學(xué)尺度，則沒有衍射，直接為幾何光學(xué)直線傳播:：

知識點(diǎn)6、菲涅耳半波帶法之圓屏的菲涅耳衍射

?????? 與圓孔菲涅耳衍射的分析類似，我們也考察軸上P點(diǎn)的擾動。用相同的辦法可以求出圓屏所擋住的半波帶數(shù)m。

上邊這個圖的符號有點(diǎn)小毒，這個m實(shí)際上應(yīng)該是k。

這個結(jié)論很有意義，

（1）當(dāng)P點(diǎn)距離衍射屏很近或者屏較大時，m很大即被遮擋住的菲涅耳半波帶過多，P點(diǎn)接近黑暗。但當(dāng)m不太大時，Ap總不為零，即屏后軸上總為亮點(diǎn)，這顯然是違反直覺的，泊松以為自己贏了，沒想到結(jié)局反轉(zhuǎn)——該亮點(diǎn)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)并命名為“泊松亮斑”，波動說贏下了又一關(guān)鍵戰(zhàn)役。此役之后，惠-菲原理稱為波動光學(xué)的基本原理。

（2）對比圓孔與圓屏的P點(diǎn)的振幅，在幾何光學(xué)自由傳播時均為第一個半波帶的一半，事實(shí)上這引出了一個更普遍的原理

知識點(diǎn)7、巴比涅原理

?????? 巴比涅原理：一對互補(bǔ)屏各自在衍射場中某點(diǎn)所產(chǎn)生的復(fù)振幅之和等于自由傳播時該點(diǎn)的復(fù)振幅。

知識點(diǎn)8、菲涅爾波帶法之菲涅耳波帶片

?????? 相鄰的半波帶是利用了干涉相消，我們也可以利用干涉相長來造出很亮的亮點(diǎn)：

對于首次科學(xué)探索衍射的人，這一結(jié)論是歐亨利式的，

圖中的Rhk為第k個半波帶的半徑

如上圖，菲涅爾波帶片有類似于于薄透鏡的物像關(guān)系公式。

盡管二者在功能上都可聚焦，但二者的機(jī)制、原理上是有較大區(qū)別的：

1、二者成像原理不同。普通透鏡是物點(diǎn)到像點(diǎn)的等光程相長干涉；波帶片是物點(diǎn)到像點(diǎn)的不等光程相長干涉，奇數(shù)半波帶片或偶數(shù)半波帶片相鄰波帶相差2π，光程差為一個波長。

2、波帶片有一個主焦點(diǎn)，多個次焦點(diǎn)，除了這些實(shí)焦點(diǎn)，還有一系分居于波帶片兩側(cè)光軸并關(guān)于波帶片對稱的虛焦點(diǎn)。也就是移動觀察屏?xí)r，會得到一系列的亮點(diǎn)或亮斑。

3、波帶片的色散關(guān)系與普通玻璃透鏡相反。如圖，波帶片的焦距是波長的函數(shù)，隨λ增大而減小。而普通透鏡的焦距隨波長的增大而增大。這一相反色散關(guān)系有時候可以相互校正縱向色差。

菲涅爾衍射在此暫告一段路，下一集更夫瑯禾費(fèi)衍射。