大家好，我是Allan（阿蘭）。今天我想用這篇文章簡(jiǎn)要地談一談我對(duì)游戲王Master Duel中鏡碎卡的研究。

什么是鏡碎？

如果你玩過(guò)任何集換式卡牌游戲，你肯定對(duì)鏡碎這個(gè)概念不陌生（譬如，爐石傳說(shuō)中的“金橙”）。每當(dāng)我們開卡包時(shí)，都有一定概率開到一些稀有卡。通過(guò)獲得這些卡的難易度，我們將它們分成了各種罕貴。而鏡碎是游戲王Master Duel中的最高罕貴，即最難獲得的卡片。那么鏡碎究竟有多難獲得呢？根據(jù)官方給出的數(shù)據(jù)，每次獲得的UR和SR卡有1%的概率變成鏡碎，而獲得UR卡的概率只有2.5%。這也意味著你獲得某張鏡碎UR卡的概率只有0.025%！如果官方給出的概率是真實(shí)的，那你必須購(gòu)買4000張卡才能保證獲得一張鏡碎UR卡（這種行為我們稱為“沖鏡碎”）。游戲王Master Duel里每包有8張卡，購(gòu)買500包大約需要800美元。用800美元去換取一個(gè)電子游戲里的虛擬卡片，你可能會(huì)懷疑我的思想是不是出了問(wèn)題（笑）。誠(chéng)然，沖鏡碎是一個(gè)純粹的賭博行為，就像坐著豪華郵輪把錢倒進(jìn)大海里。但如果我告訴你，只要合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)，我可以突破這個(gè)極小概率，你是否有興趣讀下去？

動(dòng)機(jī)

萬(wàn)物皆有其理，由人類程序員編寫的電子游戲也不例外。只要摸清了抽卡的機(jī)制，我就能最大程度地規(guī)避損失。首先，我不相信常年擺爛的Konami程序員會(huì)設(shè)計(jì)多么復(fù)雜的抽卡算法，我認(rèn)為他們使用的一定是業(yè)界最普遍的模式。這里就不得不提到Pseudo random distribution（PRD，偽隨機(jī)分布）了。簡(jiǎn)而言之，偽隨機(jī)就是看上去隨機(jī)，實(shí)際上一切都是確定事件。為什么游戲中會(huì)廣泛使用偽隨機(jī)？為了平衡玩家的游戲體驗(yàn)，也就是所謂的“運(yùn)氣守恒”。如果使用真隨機(jī)，那某些倒霉的玩家可能一輩子都無(wú)法獲得他想要的卡。在此假設(shè)下，我會(huì)用這篇文章剩余的篇幅來(lái)大膽地提出自己的理論，并用一些實(shí)戰(zhàn)數(shù)據(jù)來(lái)支撐。以下均為個(gè)人猜測(cè)，請(qǐng)勿過(guò)于較真。

理論

每次獲得UR/SR卡（開包或合成），系統(tǒng)都會(huì)計(jì)一個(gè)總數(shù)，稱為N（這個(gè)總數(shù)即使下線也不會(huì)清零）。每張卡為鏡碎的概率并不是一個(gè)固定的值，而是等于p*N，p為一個(gè)大于零的常數(shù)，稱為基礎(chǔ)概率。當(dāng)我們獲得鏡碎卡時(shí)，這個(gè)N會(huì)清零，重新計(jì)數(shù)。也就是說(shuō)，如果我們一直不出鏡碎，出鏡碎的概率就會(huì)越來(lái)越高。我們的目標(biāo)就是算出p。只要掌握了p，我們就可以在合適的時(shí)機(jī)從開包轉(zhuǎn)向合成，向著目標(biāo)鏡碎卡全力沖刺。接下來(lái)，我會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去解釋怎么計(jì)算p（需要一定概率論基礎(chǔ)，不感興趣的可以跳到代碼部分）。

將抽卡的過(guò)程考慮成一個(gè)馬爾可夫鏈，它有兩種可能的轉(zhuǎn)移。

1. 從n層基礎(chǔ)概率到1層基礎(chǔ)概率（出鏡碎）。

2. 從n層基礎(chǔ)概率到n+1層基礎(chǔ)概率（不出鏡碎）。

假設(shè)我們已經(jīng)知道p，我們可以寫出這個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。其(n,k)-entry對(duì)應(yīng)從n層到k層的概率。滿足某些條件的馬爾可夫鏈會(huì)收斂到唯一的穩(wěn)定分布。假設(shè)它滿足這些條件，我們可以通過(guò)解特征向量方程來(lái)算出這個(gè)穩(wěn)定分布。特征向量代表的是這個(gè)馬爾可夫鏈處于某一層的時(shí)間比例。通過(guò)歸一化我們可以算出處于某一層的概率。然后我們可以把每一層的概率乘以其對(duì)應(yīng)的出鏡碎概率，再平均，就能得到這個(gè)p對(duì)應(yīng)的平均鏡碎概率（也就是官方給出的1%）。讀到這里你也許明白了，我們并不是直接去算p，而是通過(guò)試驗(yàn)不同的p，直到我們獲得官方概率。

代碼

這是我用MATLAB寫的代碼。

p = 0.000155;

n = round(1/p);
r = 0;
c = 1;
for i=1:n-1
 ? ?c = c*(1-(i-1)*p);
 ? ?r = r+c*i^2*p;
end

p0 = 1/(r+n*c*(1-(n-1)*p));

根據(jù)我的實(shí)驗(yàn)，p=0.000155的時(shí)候平均鏡碎概率（p0）正好等于0.01。換句話說(shuō)，第一次抽卡為鏡碎的概率僅為0.0155%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1%！

策略

如果你讀到這里還有興趣，那不妨讓我為你推薦我的沖鏡碎策略。

首先，我們要確定目標(biāo)，一般是一個(gè)UR加兩到三個(gè)SR。因?yàn)閁R比SR更難出，是破釜沉舟沖刺UR還是在合適的時(shí)機(jī)懸崖勒馬轉(zhuǎn)向SR，全憑個(gè)人決策。

根據(jù)前文，鏡碎的基礎(chǔ)概率是0.0155%，我們?cè)贜=65的時(shí)候才會(huì)達(dá)到官方給出的1%鏡碎概率，在N=130的時(shí)候會(huì)達(dá)到2%，以此類推。換句話說(shuō)，只有在獲得第65張UR/SR之后我們才能進(jìn)入“公平賭局”。為了最小化風(fēng)險(xiǎn)，這里要提到一個(gè)概念：墊刀。墊刀顧名思義就是通過(guò)獲得非目標(biāo)UR/SR卡來(lái)疊加鏡碎概率，類似于疊Buff。根據(jù)我和@飽食騎士小米粥（始作俑者）的觀察，游戲中的經(jīng)典包也能用于墊刀，而經(jīng)典包可以通過(guò)對(duì)戰(zhàn)免費(fèi)獲得。那么，我們的沖碎策略就很清楚了：

1. 開經(jīng)典包，記錄獲得UR/SR的總數(shù)，如果有鏡碎就清零。

2. 當(dāng)總數(shù)達(dá)到65（對(duì)應(yīng)鏡碎概率1%）時(shí)，轉(zhuǎn)為開目標(biāo)卡包或者合成。當(dāng)然，你也可以直接用目標(biāo)卡包來(lái)墊。

3. 獲得鏡碎后，回到1。

數(shù)據(jù)

Talk is cheap, show me the data.

在展示數(shù)據(jù)之前，我想簡(jiǎn)要地介紹一下數(shù)據(jù)的來(lái)源。我是在看了小米粥的視頻之后對(duì)鏡碎產(chǎn)生了興趣。之后，我和他分別展開了數(shù)次沖鏡碎的嘗試。然而我們得到了大相徑庭的結(jié)論：他認(rèn)為鏡碎概率正好是1%，而我認(rèn)為它遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1%。誠(chéng)然，可能我只是個(gè)maybe。但是請(qǐng)你看看他的數(shù)據(jù)。

93, 16,107, 46, 78, 49, 48, 25, 121

這是他最近9次出鏡碎的N值。如果我們求平均，得到64.7778。

橋豆麻袋。

這是巧合嗎？

這不是跟我剛剛提到的65不謀而合？

換句話說(shuō)，如果某人沒(méi)有讀過(guò)這篇文章，同時(shí)擁有小米粥的運(yùn)氣，那么他會(huì)在65左右出鏡碎，而概率正好位于1%！

然后是我的數(shù)據(jù)。

203, 140, 90, 15, 116, 36, 145

平均值106.4286，這才是正常人的運(yùn)氣（生氣）！

結(jié)語(yǔ)

以上，就是我目前對(duì)于沖鏡碎的全部理解。我希望通過(guò)這篇文章引起同樣在沖鏡碎的各位的注意。我需要大量的數(shù)據(jù)，越多越好。如果你對(duì)鏡碎感興趣，歡迎加入Allan游戲王交流群：684104375。傳說(shuō)，那里居住著一位鏡碎天帝……

最后的最后，請(qǐng)不要沖鏡碎。