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風(fēng)險價值VaR和損失期望值ES是常見的風(fēng)險度量。

首先明確：

1. 時間范圍-我們展望多少天？

2. 概率水平-我們怎么看尾部分布？

在給定時間范圍內(nèi)的盈虧預(yù)測分布，示例如圖1所示。??

圖1：預(yù)測的損益分布?

給定概率水平的預(yù)測的分位數(shù)。

圖2：帶有分位數(shù)的預(yù)測損益分布?

超出分位數(shù)的尾部。

圖3：帶有分位數(shù)和尾部標(biāo)記的預(yù)測損益分布?

方法

?

風(fēng)險值（VaR）是在所選概率水平下預(yù)測分布分位數(shù)的負(fù)數(shù)。因此，圖2和3中的VaR約為110萬元。

損失期望值（ES）是超出VaR的尾部預(yù)期值的負(fù)值（圖3中的黃金區(qū)域）。因此，它總是比相應(yīng)的VaR大。

別名

損失期望值

損失期望值有很多別名：

• 條件風(fēng)險價值（CVaR）

• 平均短缺

• 平均超額損失

我發(fā)現(xiàn)“處于風(fēng)險中的條件價值”令人困惑。我可以看到人們認(rèn)為在一定條件下它是一種風(fēng)險價值，而不是超出風(fēng)險價值的預(yù)期損失。

平均超額損失似乎是最具描述性的名稱。

在上方，我們看到一個帶有多個名稱的概念。在下面，我們看到一個具有多個概念的名稱。

概率等級

當(dāng)我說5％時，有人說95％。其實我們都是在處理尾部，這意味著（在我的術(shù)語中）肯定少于50％。

縮略語

“風(fēng)險價值”的縮寫有可能與其他兩個概念混淆：

• 方差

• 向量自回歸

所有這些都可以避免與大寫約定沖突：

• VaR：風(fēng)險價值

• var：方差

• VAR：向量自回歸

估算

初始成分

有兩種初始成分：

• 投資組合中的資產(chǎn)

• 所涉及資產(chǎn)的價格歷史

衍生成分

投資組合加上當(dāng)前價格得出投資組合權(quán)重。

價格歷史記錄矩陣用于獲取退貨歷史記錄矩陣。

給定投資組合的回報歷史記錄，可以通過多種方式獲得預(yù)測分布：

• 擬合假設(shè)分布

• 模擬（使用一段時間內(nèi)的經(jīng)驗分布）

• 總體預(yù)測

• 梯度模擬

如果假設(shè)正態(tài)分布，則可以估計標(biāo)準(zhǔn)偏差以獲得預(yù)測分布。如果假設(shè)t分布，則還需要估計自由度或假設(shè)自由度。

通常被稱為模擬方法的方法實際上只是使用一些特定數(shù)量的投資組合收益的經(jīng)驗分布。

使用單變量garch模型可以很好地估算VaR和ES。

?

R語言

對于VaR和ES?，R語言是非常合適的環(huán)境。

填充區(qū)域

您可能想知道如何填充圖中的區(qū)域，如圖3所示。竅門是使用該polygon函數(shù)。

1. 


2. plot(xseq, pd, type="l", col="steelblue", lwd=3,

3. yaxt="n", ylab="",

4. xlab="Predicted Profit/Loss (millions of dollars)")

5. 


6. abline(v=qnorm(.05, mean=.5, sd=1), lty=2, lwd=3)

7. 


8. polygon(c(xseqt, max(xseqt)), c(dnorm(xseqt,

9. mean=.5, sd=1), 0), col="gold", border=NA)

10. 


11. 


12. lines(xseq, pd, type="l", col="steelblue", lwd=3)

13. abline(h=0, col="gray80", lwd=2)

?

投資組合方差計算

給定方差矩陣和權(quán)重向量的R命令來獲得投資組合方差：

weight %*% varianceMatrix %*% weight

假設(shè)權(quán)重向量與方差矩陣完全對齊。?

1. weight %*% varianceMatrix[names(weight),

2. names(weight)] %*% weight

?

風(fēng)險價值和損失期望值的估計

評估風(fēng)險價值和損失期望值的簡介，以及使用R進(jìn)行估算 。

?

基本?

風(fēng)險價值（VaR）和預(yù)期短缺（ES）始終與投資組合有關(guān)。

您需要兩種基本成分：

• 投資組合?

• 所涉及資產(chǎn)的價格歷史

?

這些可以用來估計市場風(fēng)險。價格歷史記錄中可能不包含其他風(fēng)險，例如信用風(fēng)險。

多元估計

當(dāng)我們從資產(chǎn)級別開始時，VaR和ES在投資組合級別上都是一個風(fēng)險數(shù)字。一種方法是估計資產(chǎn)收益的方差矩陣，然后使用投資組合權(quán)重將其折疊為投資組合方差。

?

單變量估計

通過投資組合的單個時間序列收益（現(xiàn)在是該投資組合），估算更為簡單。

我們可以通過將投資組合中資產(chǎn)的簡單收益矩陣乘以投資組合權(quán)重的矩陣來獲得此信息。?

R1 <- assetSimpRetMatrix %*% portWts

或 ：

R1 <- assetSimpRetMatrix[, names(portWts)] %*% portWts

?

R1上面計算的對象持有投資組合的（假設(shè)的）簡單收益。?

r1 <- log(R1 + 1)

當(dāng)然，還有其他選擇，但是一些常用方法是：

• 歷史的（使用最近一段時間內(nèi)的經(jīng)驗分布）

• 正態(tài)分布（根據(jù)數(shù)據(jù)估算參數(shù)）并使用適當(dāng)?shù)姆治粩?shù)

• t分布（通常假設(shè)自由度而不是估計自由度）

• 擬合單變量garch模型并提前進(jìn)行模擬

?

R分析

以下是示例，其中spxret11包含2011年標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)每日對數(shù)收益的向量。因此，我們將獲得2012年第一天的風(fēng)險度量（收益）。

1. > ?"historical")

2. [,1]

3. VaR -0.02515786

4. > "gaussian")

5. [,1]

6. VaR -0.0241509

7. > ?"gaussian"

8. [,1]

9. VaR -0.03415703

10. > ?"historical")

11. [,1]

12. ES -0.03610873

13. > ?"gaussian")

14. [,1]

15. ES -0.03028617

如果第一個參數(shù)是矩陣，則每一列都可以視為投資組合中的資產(chǎn)。?

1. no weights passed in, assuming equal weighted portfolio

2. $MVaR

3. [,1]

4. [1,] 0.02209855

5. 


6. $contribution

7. Convertible Arbitrage ? ? ? ? ? ?CTA Global

8. 0.0052630876 ? ? ? ? -0.0001503125

9. Distressed Securities ? ? ?Emerging Markets

10. 0.0047567783 ? ? ? ? ?0.0109935244

11. Equity Market Neutral

12. 0.0012354711

13. 


14. $pct_contrib_MVaR

15. Convertible Arbitrage ? ? ? ? ? ?CTA Global

16. 0.238164397 ? ? ? ? ?-0.006801916

17. Distressed Securities ? ? ?Emerging Markets

18. 0.215252972 ? ? ? ? ? 0.497477204

19. Equity Market Neutral

20. 0.055907342

?

風(fēng)險價值的歷史估計

這是用于風(fēng)險價值的歷史估計的簡單函數(shù)的定義：

?

1. VaRhistorical <- function(returnVector, prob=.05,

2. notional=1, digits=2)

3. {

4. if(prob > .5) prob <- 1 - prob

5. ans <- -quantile(returnVector, prob) * notional

6. signif(ans, digits=digits)

7. }

?投資組合，例如：

1. > VaRhistorical(spxret11, notional=13e6)

2. 5%

3. 330000

損失期望值?：

1. EShistorical <- function(returnVector, prob=.05,

2. notional=1, digits=2)

3. {

4. 


可以這樣使用：

1. > EShistorical(spxret11, notional=13e6)

2. [1] 470000

因此，風(fēng)險價值為? 330,000，損失期望值為 470,000。

正態(tài)分布

稍后會有一個更好的版本（從統(tǒng)計意義上來說），但是這是一種假設(shè)正態(tài)分布來獲得“風(fēng)險價值”的簡單方法：

用法如下：

1. > VaRnormalEqwt(spxret11, notional=13e6)

2. [1] 310000

3. > VaRnormalEqwt(spxret11, notional=13e6,

4. + ? ? expected.return=0)

5. [1] 310000

在這種情況下，計算損失期望值有點復(fù)雜，因為我們需要找到尾部的期望值。

1. ESnormalEqwt <- function(returnVector, prob=.05,

2. notional=1, expected.return=mean(returnVector),

3. digits=2)

4. {

5. 


6. 


7. 


8. 


9. ans <- -tailExp * notional

10. signif(ans, digits=digits)

11. 


這個例子的結(jié)果是：

1. > ESnormalEqwt(spxret11, notional=13e6)

2. [1] 390000

一個更好的辦法是用指數(shù)平滑得到的波動性：

1. VaRnormalExpsmo <- function(returnVector, prob=.05,

2. notional=1, expected.return=mean(returnVector),

3. lambda=.97, digits=2)

4. {

5. 


6. 


7. 


8. signif(ans, digits=digits)

9. 


其中pp.exponential.smooth取自“指數(shù)衰減模型”。

1. > VaRnormalExpsmo(spxret11, notional=13e6)

2. [1] 340000

t分布

?

1. VaRtExpsmo <- function(returnVector, prob=.05,

2. notional=1, lambda=.97, df=7, digits=2)

3. {

4. if(prob > .5) prob <- 1 - prob

5. 


6. 


7. 


8. 


結(jié)果是：

?

1. > VaRtExpsmo(spxret11, notional=13e6)

2. 2011-12-30

3. 340000

?

參考文獻(xiàn)

1.R語言基于ARMA-GARCH-VaR模型擬合和預(yù)測實證研究

2.R語言時變參數(shù)VAR隨機(jī)模型

3.R語言時變參數(shù)VAR隨機(jī)模型

4.R語言基于ARMA-GARCH過程的VAR擬合和預(yù)測

5.GARCH（1,1），MA以及歷史模擬法的VaR比較

6.R語言時變參數(shù)VAR隨機(jī)模型

7.R語言實現(xiàn)向量自動回歸VAR模型

8.R語言隨機(jī)搜索變量選擇SSVS估計貝葉斯向量自回歸（BVAR）模型

9.R語言VAR模型的不同類型的脈沖響應(yīng)分析