全文鏈接：http://tecdat.cn/?p=25348?

我們圍繞極值分析技術(shù)進(jìn)行一些咨詢，幫助客戶解決獨(dú)特的業(yè)務(wù)問題。 你們可能知道，實際極值分析有兩種常用方法：分塊極大值Block-maxima、閾值超額法threshold excess?（?點(diǎn)擊文末“閱讀原文”獲取完整代碼數(shù)據(jù)********?）。

今天，我們將分別介紹這兩種方法。

分塊極大值Block-maxima

分塊樣本極大值的極值理論(Block-maxima)。這種對（時間）觀測序列的極值建模的方法是基于在一定的恒定長度序列內(nèi)利用這些觀測值的最大值或最小值。對于足夠多? 的_n個已建立塊，這__n_個等長塊? 的所得峰值??? 可用于將合適的分布擬合到這些數(shù)據(jù)。雖然塊大小基本上可以自由選擇，但必須在偏差（小塊）和方差（大塊）之間進(jìn)行權(quán)衡。通常，序列的長度通常選擇對應(yīng)于某個熟悉的時間段，在大多數(shù)情況下為一年。年度最大值（或最小值）的結(jié)果向量稱為“年度最大值（最小值）系列”或簡稱為 AMS。

根據(jù) Fisher-Tippett-Gnedenko 定理，塊最大值的分布可以通過廣義極值分布來近似。

以下代碼顯示了一個簡短的實際示例，該示例使用 R 將廣義極值分布擬合到降水?dāng)?shù)據(jù)的時間序列。樣本數(shù)據(jù)集包含 1971 年至 2014 年 降水?dāng)?shù)據(jù)?（?查看文末了解數(shù)據(jù)獲取方式?）?。

#?加載所需的包#?獲取數(shù)據(jù)prexts?<-?rehyd#?導(dǎo)出?AMS?以獲得最大降水量ams?<-?apprly#?GEV?分布的最大似然擬合evd#?診斷圖plot rl_mle?<-?reevel#?基于?L-?擬合?GEV?分布矩估計#?診斷圖plot(fiom)?#?重現(xiàn)水平：rm?<-?retvel#?重現(xiàn)水平圖plot loc?<-?as.numeric(retvel)#?帶?LMOM?圖的重現(xiàn)水平loc?<-?as.numeric(return.level)

在這種情況下，兩個結(jié)果非常相似。在大多數(shù)情況下，L 矩估計比最大似然估計更穩(wěn)健。除了這些經(jīng)典估計方法之外，還提供廣義最大似然估計（GMLE，? Martins 和 Stedinger，2000 年）和貝葉斯估計方法（Gilleland 和 Katz，2016 年）。

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

R語言POT超閾值模型和極值理論EVT分析

左右滑動查看更多

01

02

03

04

閾值超額法threshold excess?

我們現(xiàn)在來看看閾值超額法。

根據(jù) Coles (2001) 的說法，如果可以使用沒有間隙的完整（時間）序列，則閾值方法比塊最大值方法更有效，因為所有超過某個閾值的值都可以作為模型擬合的基礎(chǔ)。在某些情況下，將分布擬合到塊最大值數(shù)據(jù)是一種浪費(fèi)的方法，因為每個塊只有一個值用于建模，而閾值過剩方法可能會提供更多關(guān)于極端值的信息。

然而，類似于塊最大值方法中塊大小的選擇，部分持續(xù)時間模型的閾值選擇也受到偏差（低閾值）和方差（高閾值）之間的權(quán)衡。

Coles (2001) 描述了兩種不同的閾值選擇方法。首先，有一種基于平均_殘差_壽命圖的探索性方法。該技術(shù)在實際模型擬合之前應(yīng)用。其次，另一種方法是評估參數(shù)估計的穩(wěn)定性。因此，模型擬合的這種敏感性分析是在一系列不同的閾值范圍內(nèi)進(jìn)行的。

但是，選擇合適的閾值可能是使用部分持續(xù)時間序列執(zhí)行極值分析的最關(guān)鍵部分。Scarrott 和 MacDonald 在其 2012 年的文章。文獻(xiàn)綜述：極值閾值估計和不確定性量化(REVSTAT 10(1): 33-59)中對閾值估計方法進(jìn)行了很好的概述?。

找到合適的閾值后，超過該閾值的極值子集將用于擬合廣義帕累托分布。

根據(jù) Pickands-Balkema-de Haan 定理，超過閾值的值的分布可以近似為廣義帕累托分布。

以下代碼顯示了一個簡短的實際示例，該示例使用R將廣義帕累托分布擬合到降水?dāng)?shù)據(jù)的時間序列。樣本數(shù)據(jù)集以 1981 年至 2014 年降水?dāng)?shù)據(jù)為特征。

#?平均剩余壽命圖：lplot(prects)#?平均剩余壽命圖描繪了閾值?(u)?與平均過剩流量。#?這個想法是找到圖幾乎是線性的最低閾值；#?考慮到?95%?的置信范圍。#?在一系列閾值上擬合?GPD?模型threplot(prxts)fitrange?(prts)#?設(shè)置閾值th?<-?40#?最大似然估計pole?<-?fe#?診斷圖rl_mle?<-?retvel(po)#?L-矩估計d(as.vector(prmethod?=?"moments")#?診斷圖retel(pom)#?重現(xiàn)水平圖#?使用?MLE?的重現(xiàn)水平圖loc?<-?as.numeric#?帶?LMOM?的重現(xiàn)水平圖plmom

這個例子很好地說明了為什么基于 L 矩的方法可能優(yōu)于最大似然估計，因為右圖清楚地證明了使用 L 矩估計時異常值的影響要小得多。除了這些經(jīng)典估計方法之外，還提供廣義最大似然估計（GMLE，? Martins 和 Stedinger，2000 年）和貝葉斯估計方法（Gilleland 和 Katz，2016 年）。

在最近關(guān)于分塊最大值法和閾值超額法的文章中，我們簡單地假設(shè)了極值分析的所有假設(shè)都得到了滿足。然而，在處理環(huán)境變量時，情況很可能不是這樣的。特別是平穩(wěn)性的假設(shè)在很多情況下可能被違反。在全球氣候變化的背景下，氣象或其他環(huán)境變量的時間序列中很可能有一個相當(dāng)大的趨勢。當(dāng)然，這種趨勢必須被納入分析中，因為由此產(chǎn)生的回歸水平隨時間而變化。

廣義帕累托分布擬合

下面的代碼顯示了一個簡短的實際例子，即使用R對降水?dāng)?shù)據(jù)的時間序列進(jìn)行廣義帕累托分布的擬合。樣本數(shù)據(jù)集是從1971年到2013年的降水?dāng)?shù)據(jù)。

#?推導(dǎo)出最大降水的AMS值as?<-?apprly(preax)#?檢查AMS的平穩(wěn)性。#?簡單的線性模型summary(lm)p?<-?ggplot

擬合線性模型的結(jié)果和圖給人的印象都表明年最大降水量有上升趨勢。Mann-Kendall趨勢檢驗的結(jié)果是一個非常小的P值，證實了這一趨勢。因此，必須進(jìn)行趨勢校正，以說明隨時間變化的回歸水平。

#?最大似然估計d(?method?=?"MLE")#?重現(xiàn)水平圖plot(mend)

與前面的重現(xiàn)水平圖（沒有趨勢）相比，這個重現(xiàn)水平圖看起來有所不同。它顯示的是5年和100年重現(xiàn)水平隨時間的變化。

數(shù)據(jù)獲取

在下面公眾號后臺回復(fù)?“降雨極值分析?數(shù)據(jù)”?，可獲取完整數(shù)據(jù)。

本文摘選?《?R語言極值分析：分塊極大值BLOCK-MAXIMA、閾值超額法THRESHOLD EXCESS、廣義帕累托分布GPD擬合降雨數(shù)據(jù)時間序列?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

極值理論 EVT、POT超閾值、GARCH 模型分析股票指數(shù)VaR、條件CVaR：多元化投資組合預(yù)測風(fēng)險測度分析
R語言POT超閾值模型和極值理論EVT分析
R語言極值推斷：廣義帕累托分布GPD使用極大似然估計、輪廓似然估計、Delta法
R語言極值理論EVT：基于GPD模型的火災(zāi)損失分布分析
R語言有極值（EVT）依賴結(jié)構(gòu)的馬爾可夫鏈(MC)對洪水極值分析
R語言POT超閾值模型和極值理論EVT分析
R語言混合正態(tài)分布極大似然估計和EM算法
R語言多項式線性模型：最大似然估計二次曲線
R語言Wald檢驗 vs 似然比檢驗
R語言GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估計
R語言非參數(shù)方法：使用核回歸平滑估計和K-NN(K近鄰算法)分類預(yù)測心臟病數(shù)據(jù)
matlab實現(xiàn)MCMC的馬爾可夫轉(zhuǎn)換ARMA - GARCH模型估計
R語言基于Bootstrap的線性回歸預(yù)測置信區(qū)間估計方法
R語言隨機(jī)搜索變量選擇SSVS估計貝葉斯向量自回歸（BVAR）模型
Matlab馬爾可夫鏈蒙特卡羅法（MCMC）估計隨機(jī)波動率（SV，Stochastic Volatility） 模型
Matlab馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換動態(tài)回歸模型估計GDP增長率R語言極值推斷：廣義帕累托分布GPD使用極大似然估計、輪廓似然估計、Delta法