今天在翻禁書(shū)時(shí)，看到第10題，就覺(jué)得此題中的點(diǎn)應(yīng)該都在Neuberg曲線上。再拿出幾何畫(huà)板畫(huà)一下圖，發(fā)現(xiàn)三條直線所共的點(diǎn)恰為帕里反射點(diǎn)，故而運(yùn)用Neuberg曲線的知識(shí)，我立刻解決了此題。

先看題：

在給出證明前，我將先科普一點(diǎn)關(guān)于Neuberg曲線以及三次曲線加法群的知識(shí)：

在這里，我主要解釋一下其作為主等角三次曲線的性質(zhì)，即對(duì)于Neuberg上任意一點(diǎn)P，其等角共軛點(diǎn)P'也在Neuberg上，且PP'恒經(jīng)過(guò)樞點(diǎn)X_30，換句話說(shuō)就是PP'恒平行于歐拉線。

Neuberg曲線擁有唯一漸近線X_74X_30，其平行于歐拉線且與Neuberg曲線有唯一實(shí)交點(diǎn)X_74

加法群刻畫(huà)了三次曲線上的點(diǎn)的關(guān)系，但其為何是一個(gè)“群”還需要運(yùn)用Caylay-Bacharach定理來(lái)證明。我在這里僅僅是科普一下，便不做過(guò)多的解釋了。

先給出我的思考過(guò)程：其實(shí)只需證三條直線都經(jīng)過(guò)帕里反射點(diǎn)。顯然l_a與Neuberg有三個(gè)交點(diǎn)，那么，就需要用另外兩個(gè)交點(diǎn)刻畫(huà)它。顯然其中一個(gè)交點(diǎn)為A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而刻畫(huà)第二個(gè)交點(diǎn)就需要一個(gè)小引理。

此時(shí)兩個(gè)點(diǎn)都可以表示出來(lái)了，但化簡(jiǎn)的過(guò)程中還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)奇妙的數(shù)：2A，它實(shí)際上與Neuberg曲線在A處的切線有關(guān)，這里也需要一個(gè)引理來(lái)刻畫(huà)它。但在此引理證明之前，我們需要一個(gè)重要的結(jié)論（感謝豪神）

現(xiàn)在就可以刻畫(huà)這條切線了

到此，本題思路就結(jié)束了，下面是證明過(guò)程：

至此，禁書(shū)10解答完畢了，我能解答出此題還是很僥幸的，因?yàn)檫@道題實(shí)際上僅僅用了點(diǎn)加法群的皮毛。而加法群的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，可惜我的水平已經(jīng)限制了我。但我相信，我必將超越現(xiàn)在的我，這篇文章只是道路的起點(diǎn)罷了。