散文網(wǎng) » 科技 »學(xué)習(xí) » 單調(diào)有界原則只適用于嚴(yán)格單調(diào)嗎

單調(diào)有界原則只適用于嚴(yán)格單調(diào)嗎

2023-06-04 22:05 作者:~Sakuno醬 0人讀過 | 我要投稿

當(dāng)然不是的

因?yàn)樽C明過程不需要嚴(yán)格單調(diào)

假設(shè)數(shù)列滿足? $a_n%20%5Cle%20a_%7Bn%2B1%7D%20$ ?而且? $%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BN%7D%5E%2B%20%2C%20a_n%20%5Cle%20M$

我們現(xiàn)在定義一個(gè)有數(shù)列元素構(gòu)成的集合? $A_n%20%3D%20%5C%7B%20a_i%20%5Cmid%20i%20%5Cge%20n%5C%7D$

$A_1%20%3D%20%5C%7B%20%20a_1%2C%20a_2%2C%20a_3%2C%20...%20%5C%7D$

$A_2%20%3D%20%5C%7B%20a_2%2C%20a_3%2C%20a_4%2C%20...%20%5C%7D$

不難發(fā)現(xiàn)? $%20A_3%20%5Csubseteq%20A_2%20%5Csubseteq%20A_1$ ，即這個(gè)集合序列是單調(diào)減的

$A_1$ 是有上界的那么必然就有有上確界，我們記這個(gè)上確界為? $c$ ，接下來試圖證明? $%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Da_n%20%3D%20c$

首先我們要把? $%5Cepsilon$ ? $%5Cdelta$ 語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成反命題

我們把數(shù)列極限定義看成 $%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20N%2C%20%20n%20%3E%20N%20%20$ 則有? $%7Ca_n%20-%20c%7C%20%3C%20%5Cepsilon$

命題是? $%5Cforall%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cexists%20N%20%2C%20$ ?條件 $P(n%2CA%2CN%2C%20%5Cepsilon)$ ?成立

反命題就是? $%5Cexists%20%5Cepsilon%20%3E0%2C%20%5Cforall%20N%2C$ 條件? $P(n%2CA%2C%20N%2C%5Cepsilon)$ ?不成立

在考慮條件? $P$ ?不成立的含義:

$n%3EN$ 不能確定? $%7Ca_n%20-c%7C%20%3C%20%5Cepsilon$ ，那么就是有一個(gè)? $n%3EN$ 滿足? $%7Ca_n%20-c%7C%20%5Cge%20%5Cepsilon$ ?

我們用反證法證明

如果? $c$ ?不是 $a_n$ 的極限，那么必然有一個(gè)? $%5Cepsilon%20%3E%200$ ，使得 $a_n$ 有無窮多個(gè)元素滿足? $%7Ca_n%20-c%20%7C%20%3D%20c%20-a_n%20%5Cge%20%5Cepsilon$ ，用形式化的語(yǔ)言描述就是 $%5Cforall%20n%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BN%7D%5E%2B%20%2C%20%5Cexists%20a_j%20%5Cin%20A_n%2C%20a_j%20%5Cle%20c%20-%20%5Cepsilon$

這個(gè)結(jié)論其實(shí)很病態(tài)，因?yàn)槲覀兛梢詮倪@個(gè)結(jié)論得出? $a_n%20%5Cle%20c-%20%5Cepsilon$

假設(shè) $a_i$ 是數(shù)列的某一項(xiàng)，那么自然就有? $A_i$ 的存在，從上面的結(jié)論得出有 $a_j%20%5Cin%20A_i$ ? $a_j%20%5Cle%20c-%5Cepsilon$ ?同時(shí)? $a_i$ 又是? $A_i$ ?的下界，所以? $a_i%20%5Cle%20a_j%20%5Cle%20c%20-%5Cepsilon$