原題參考原視頻:

BV1EL4y1z7wb

設(shè)AB=1

在△ABE中，由正弦定理得:

AE/sin80°=1/sin30°

即AE=2sin80°

在△ABD中，由正弦定理得:

AD/sin60°=1/sin40°

即AD=sin60°/sin40°

過(guò)D作DM⊥AE于M

則在Rt△ADM中，

DM=ADsin10°=sin60°sin10°/sin40°

AM=ADcos10°=sin60°cos10°/sin40°

設(shè)待求角為θ

在Rt△DME中

tanθ=DM/ME=DM/(AE-AM)

=[sin60°sin10°/sin40°]/

[2sin80°-sin60°cos10°/sin40°]

=sin60°sin10°/

(2sin80°sin40°-sin60°cos10°)

將sin80°換成cos10°

=sin60°sin10°/[cos10°(2sin40°-sin60°)]

其中，2sin40°-sin60°

=sin40°-sin60°+sin40°

=2cos50°sin(-10°)+sin40°

=-2sin40°sin10°+sin40°

=sin40°(1-2sin10°)

=2sin40°(sin30°-sin10°)

=2sin40°*2cos20°sin10°

=4sin40°cos20°sin10°

代入原式得:

原式=sin60°sin10°/(cos10°*4sin40°cos20°sin10°)

=cos30°/(4cos10°cos20°sin40°)

=(4cos310°-3cos10°)/

(4cos10°cos20°sin40°)

=(4cos210°-3)/(4cos20°sin40°)

=(2cos20°-1)/(4cos20°sin40°)

=2(cos20°-cos60°)/(4cos20°sin40°)

=-4sin40°sin(-20°)/(4cos20°sin40°)

=4sin40°sin20°/(4cos20°sin40°)

=tan20°

故θ=20°

ps:上述化簡(jiǎn)涉及二倍角公式，三倍角公式，誘導(dǎo)公式及和差化積等三角恒等變換知識(shí)。此法思路即先寫(xiě)出待求角正切值表達(dá)式，后通過(guò)對(duì)分子分母和差化積化簡(jiǎn)最后得到分子分母僅剩一正弦一余弦，即可化切求值