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讓我們研究這個多項式函數(shù):

如果我們把它繪制出來，會得到一條拋物線（圖1）。

現(xiàn)在我們想知道這個函數(shù)在哪處為零（我們稱方程的根），在圖像上，這應該是拋物線與x軸的相交處。

正如你所見，這條拋物線實際上并未與x軸相交，所以我們根據(jù)圖像判斷，該方程無解。

事情沒有那么簡單。大約兩百多年前，有一位聰明數(shù)學家——高斯，他證明了任意一個一元n次多項式方程總是有n個根。我們的多項式方程的最高次冪為2，所以它應該有兩個根。高斯發(fā)現(xiàn)的這個定理可不是瞎猜的，如今這條廣為人知的定理叫作代數(shù)基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)。

所以，我們的圖像違反了“代數(shù)基本定理”，這可糟了！高斯認為，我們總能找到兩個數(shù)（不妨稱之為、）,把它們代入函數(shù)F(x)，便得到F(x) = 0。那么，這兩個缺失的x在哪呢？

通俗地講，問題的根結在于我們的數(shù)字不夠用了。我們通常認為所有的數(shù)字都排列在一條數(shù)軸上，一切整數(shù)、負數(shù)、零、分數(shù)、以及無理數(shù)都包含其中。

但這是不完整的。我們要找的數(shù)字不在數(shù)軸之上，而在數(shù)軸之外的另一個維度。從后來的數(shù)學發(fā)展看，這個新的維度與一個困擾了數(shù)學界兩千多年之久的問題密切相關——求－1的平方根。

當我們把這個丟失的維度考慮進來，我們的函數(shù)變成了圖2所示的有趣形狀。

我們能看到，函數(shù)的自變量已經(jīng)拓展到一張二維平面，我們以前所看到的只是他的“冰山一角”。進一步的觀察可以發(fā)現(xiàn)，它確實與x軸相交了（注1）！

原來是我們觀察的角度錯了。

那么，為什么這個額外的維度長久不被人所知呢？一部分原因在于它被貼上了一個非常、非常糟糕的標簽。一個表達了這個維度“不真實”的名字！

事實上，高斯本人對這個命名也很反感。他曾經(jīng)這樣說：

虛數(shù)之所以迄今令人望而生畏，主要歸因于它糟糕的命名。如果讓我命名“+1”，“-1”和“-1的平方根”，我更愿意叫“右向”、“左向”和“縱向”單位，而非現(xiàn)有的“正數(shù)”，“負數(shù)”和“虛數(shù)”（甚至叫“不可能的”）單位，那么這種迷霧就不會出現(xiàn)。

很遺憾，這個丟失的維度就這樣荒唐地被人們稱作“虛數(shù)”延續(xù)至今。高斯建議應該改叫“縱數(shù)”。為了更好的理解虛數(shù)（縱數(shù)）是什么，讓我們花一點時間思考數(shù)字本身。

早期人類只用到了自然數(shù)（0、1、2、3......），這是合理的，因為自然數(shù)就是用來計數(shù)的。所以對早期人類來說，數(shù)軸就是一連串的點。隨著文明進步，人們需要處理更復雜的數(shù)學問題，像何時播種，如何分地，如何記賬......自然數(shù)漸漸不夠用了，于是古埃及人發(fā)明了一種新的數(shù)字：分數(shù)。分數(shù)填補了當時數(shù)軸的缺口，基本上可看作當時的黑科技。

數(shù)字的下一個重大革新是“0”和負數(shù)的引進，但花了很長時間才被地球上的各大文明接受。因為這些數(shù)字沒有顯著的現(xiàn)實意義。歷史上，零和負數(shù)都曾遭到了懷疑，在一段時間里備受冷落。不同文化對他們的接納，很大程度上取決于人們如何看待數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系。希臘文明便是一個鮮明的例子，盡管他們在幾何上取得了很大成就，希臘文明并沒有接納0和負數(shù)，畢竟在他們看來，“無”怎么能表示“有“呢？

不只是古代，僅僅幾個世紀前，西方的數(shù)學家更愿意把方程寫成，以避免方程中出現(xiàn)負數(shù)。隨著負數(shù)概念逐漸深入人心，負數(shù)在表示債務、溫度這樣的概念上有了用武之地，數(shù)學家們最終接納了零和負數(shù)。

事實上，如果不使用負數(shù)，很多數(shù)學問題是無法解決的，像這樣簡單的問題也無解。就像我們認為無解一樣。

對于那些沒接觸負數(shù)的人來說，對于方程，我們移項得。放到現(xiàn)實，就是說原本有兩件東西，拿走三件后還剩下幾件？

毫不奇怪，他們都會認為問題無解，因為他們沒有沒有“負”一件的說法。即便是大數(shù)學家歐拉也曾被負數(shù)困惑過，他一度認為：負數(shù)大于無限大。

所以，負數(shù)和虛數(shù)給我們帶來了很多值得思考的問題。比如：

1.為什么我們需要學習這些曾困惑過數(shù)學界很久的數(shù)字？

2.即便負數(shù)與虛數(shù)很難與現(xiàn)實對應，我們如何理解他們？

3.這些數(shù)字如何幫助我們找出x^2+1=0的解？

下一節(jié)，我們將追根溯源，探索虛數(shù)是如何被發(fā)現(xiàn)的。

注1：我們在圖上看到，曲面與自變量x的復平面的截面是兩條曲線，而不是兩個點。這是由于我們在展示了x的復平面后只展示了因變量f(x)的實部，如果把f(x)的虛部考慮進去，我們便能得到要找的那兩個根，我們會在第13節(jié)詳細討論這個問題。

——討論——

1.你認為是什么導致了以前數(shù)學家對負數(shù)避而遠之？

2.為什么在當今負數(shù)被廣泛應用？

3.你認為負數(shù)應該放在小學教材嗎？請給出你的理由。

4.如果你是小學老師，如何讓他們理解負數(shù)？

5.你認為哪個古文明更重視數(shù)學？請給出你的理由。

——熱身——

1.請在坐標紙上畫出下列圖像：

?

譯者建議：有興趣的讀者可通過GeoGebra軟件繪圖

——思考——

1.考慮一個與函數(shù)f(x)非常相近的另一個函數(shù)

1) 請畫出g(x)。

2) g(x)=0當且僅當x=1或-1。他們稱為g(x)的根、零點、g(x)與x軸的交點。

3) 為什么求g(x)=0的根比f(x)=0要容易？請解釋原因。

答：因為g(x)=0有兩個實根，而f(x)=0的兩個虛根沒有落在實數(shù)軸上。

2.截至現(xiàn)在，我們找到的二次函數(shù)一個有兩個實數(shù)根，另一個沒有實數(shù)根。請找有一個實根的二次函數(shù)h(x)，并把它畫出來。

3.有一條長10米的繩子，用剪刀從左處剪去x米，剩下的長度記作y米。

1) 寫出x和y的關系式。

答：x+y=10（單位為米）

2) 當x分別是7、10、13米時，對應的y分別是多少？

答：3、0、-3（單位為米）

3) 當x=13時，所對應y意味著什么？它有現(xiàn)實意義嗎？

答：意味著剪刀在繩子右側、沒有現(xiàn)實意義。（當然了，你可以理解成繩子不夠長了(^_^））

4.假設你還有10分鐘從家里趕到學校，已知學校離家10000米遠，你的騎行速度是r米每分鐘。

1) 假設你提早t分鐘到達學校，請寫出t和r的關系式。

答：t=10-10000/r（單位為分鐘）

2) 當r分別是1250、1000、625米每分鐘時，對應的t分別是多少？

答：2、0、-6（單位為分鐘）

3) 當r=625米每分鐘時，所對應t意味著什么？它有現(xiàn)實意義嗎？

答：意味著你將遲到，有現(xiàn)實意義。

——拓展——

1.考慮以下函數(shù)：

1)根據(jù)代數(shù)學基本定理，p(x)=0有多少個根？

答：4個。

2)不借助電腦，請嘗試把他們求出來。（提示：x從1到10逐個試一下）

答：根據(jù)《高等代數(shù)》中估測有理根根的方法，在本題中常數(shù)項的因子有±1，±2，±3，±4，±6，±12，±24，最高次項系數(shù)的因子有±1，其有理根只可能是±1，±2，±3，±4，±6，±12，±24。于是先嘗試x=±1，然后嘗試x=±2，最后解出這四個根分別為1，2，3，4。

2022年9月譯