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2021 EC-Final B. Beautiful String

2022-12-06 01:01 作者:Asunataisiki  | 我要投稿

題意:字符串s可以被分割為s%3Ds_1%2Bs_2%2Bs_3%2Bs_4%2Bs_5%2Bs_6,其中s_1%3Ds_2%3Ds_5%2Cs_3%3Ds_6,求整個字符串及其子串中有多少種字符串可以被這樣分割

暴力做法:

題解參考:https://www.cnblogs.com/KIMYON/p/16842332.html

先考慮暴力做法,記?lcp%5Bi%5D%5Bj%5D?表示?i%20%20%20%5Crightarrow%20%20n?與?j%20%20%20%5Crightarrow%20%20n?的最長公共前綴,那么類似于?lcs?可以得到轉(zhuǎn)移方程 lcp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%3D%20(s%5Bi%5D%20%3D%3D%20s%5Bj%5D)%20%3F%20lcp%5Bi%20%2B%201%5D%5Bj%20%2B%201%5D%20%2B%201%20%3A%200,那么如果lcp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%5Cgeq%20%20j-i,那么就說明以?i?到?j?這一段的字符串在?j?之后又再次出現(xiàn)了,那么我們就可以得到上圖中最前面的藍色兩部分,特別的,在上圖中可以發(fā)現(xiàn),j之后出現(xiàn)的藍色與橙色在k之后重復(fù)出現(xiàn),那么我們可以在?lcp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%5Cgeq%20%20j-i?之后枚舉k(因為這樣才找到了前面的兩個藍色部分),同樣類似于之前的,如果有?lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%20%3E%20j-i(只要比藍色部分多就行了)?那么藍色和橙色部分也重復(fù)出現(xiàn),但是綠色部分的長度至少為1,所以?k?從?j%20%2B%203?開始枚舉,同時?lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%20%5Cleq%20k-j-1,那么答案就要加上min(lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%2Ck-j-1)%20-%20(j-i),本著交一發(fā)試試的心態(tài),然后不出意外就TLE了

優(yōu)化:

????可以發(fā)現(xiàn),求?lcp?的過程其實沒辦法去優(yōu)化的,同時?i?和?j?也沒辦法優(yōu)化,因為我們總是需要枚舉兩個點去找到藍色部分,那么我們可以嘗試優(yōu)化?k,對于?lcp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%5Cgeq%20%20j-i?, 若存在?k?對答案有貢獻,那么lcp%5Bi%5D%5Bj%5D?最少也是 j-i%2B1(+1是因為要有一個綠色部分),也就是說,從j?后面的第?j-i個字符開始到整個字符串末尾都有可能對答案產(chǎn)生貢獻。

????記sum%5Bj%5D%5Blen%5D表示從j開始長度為 len?的貢獻,若?lcp%5Bi%5D%5Bj%5D%20%5Cgeq%20%20j-i,那么根據(jù)上面的分析,sum%5Bj%5D%5Bj-i%5D%2Csum%5Bj%5D%5Bj-i%2B1%5D%2C...%2Csum%5Bj%5D%5B(%E5%AD%97%E7%AC%A6%E4%B8%B2%E6%9C%AB%E5%B0%BE)%5D,都需要加一,顯然這個是個差分然后求前綴和的過程。那么現(xiàn)在就可以枚舉jk來計算貢獻了,根據(jù)暴力解法,我們應(yīng)該從j開始長度為j-i一直加到長度為min(lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%2C%20k-j-1)-1這一段的sum值,也就是sum%5Bj%5D%5Bj%20-%20i%5D%20%2B%20sum%5Bj%5D%5Bj%20-%20i%20%2B%201%5D%20%2B%20...%20%2B%20sum%5Bj%5D%5Bmin(lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%2C%20k%20-%20j%20-%201)%20-%202%5D%E3%80%81sum%5Bj%5D%5Bmin(lcp%5Bj%5D%5Bk%5D%2C%20k%20-%20j%20-%201)%20-%201%5D,那么這又是一個前綴和的過程,為了方便,我們可以把sum數(shù)組定義為差分數(shù)組,然后求兩次前綴和就可以了

按理說O(n%5E2)應(yīng)該是能過得,但是

那么就是一些小細節(jié)可以優(yōu)化了,對于滿足條件的貢獻至多不超過原字符串長度的一半,因此sum第二維開到一半就夠了。



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