一. 費(fèi)馬點(diǎn)簡(jiǎn)介

費(fèi)馬點(diǎn)是到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)

要解決費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，你需要知道：

• 兩點(diǎn)之間線段最短

• 旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)

• 勾股定理

要解決加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，你需要知道：

• 以上三條

• 余弦定理

普通的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題又分為兩種：一種是三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，一種是三角形中與一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，下面分別進(jìn)行說(shuō)明

二. 三角形內(nèi)角均小于120°的費(fèi)馬點(diǎn)

直接上題

沒(méi)做過(guò)費(fèi)馬點(diǎn)的同學(xué)可以先嘗試一下，可能會(huì)有點(diǎn)難度（提示：可以從旋轉(zhuǎn)的方向思考）

下

面

是

思

考

留

白

這里先把輔助線的做法說(shuō)一下，讀者請(qǐng)自行領(lǐng)會(huì)其中的妙處

如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以被轉(zhuǎn)化到了。

總所周知，旋轉(zhuǎn)60°一定或出現(xiàn)等邊三角形，在上圖中為等邊三角形，所以被轉(zhuǎn)化到了

再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將三條線段拉直得到線段，

而又

再根據(jù)勾股定理得到

這是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題最常規(guī)的做法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并充分利用了幾何中最重要，也是最基礎(chǔ)的變換——旋轉(zhuǎn)，所以一定要掌握

下面再分析一道題

按照上一題的思路做出輔助線，如下

仍然得到最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)，此時(shí)需要構(gòu)造直角三角形，解三角形即可得到結(jié)果（或者直接用余弦定理）

歸納總結(jié)

對(duì)于一般的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，只需要從三個(gè)三角形（）中選一個(gè)條件比較多的三角形，向外旋轉(zhuǎn)60°，然后通過(guò)解三角形求解即可

三. 有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°的費(fèi)馬點(diǎn)

這類(lèi)費(fèi)馬點(diǎn)在中學(xué)階段一般很少涉及，而且它有一個(gè)固定的結(jié)論，即這種三角形的費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)，所以這個(gè)只當(dāng)了解即可

下面對(duì)這個(gè)結(jié)論給出簡(jiǎn)單的證明

有興趣的讀者也可以想想為什么不旋轉(zhuǎn)60°（最好用作圖軟件畫(huà)一下，光想的話有點(diǎn)廢腦子）

四. 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)

顧名思義，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)就是在費(fèi)馬點(diǎn)的基礎(chǔ)上賦予一定的權(quán)重，具體可看下面這一道例題

有興趣的同學(xué)現(xiàn)在就可以挑戰(zhàn)一下了

下

面

是

思

考

留

白

分析：在題目要求的線段中和前面都多了一個(gè)系數(shù)，而不變，所以我們要把留下來(lái)，對(duì)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)放縮等處理。根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后是直接得到的，所以旋轉(zhuǎn)后，我們需要將三角形放大到原來(lái)的2倍，從而也擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再根據(jù)余弦定理，三角形的一邊長(zhǎng)為1（即AP），另一邊長(zhǎng)為2（即AP'），旋轉(zhuǎn)角的對(duì)邊要為（即PP'），可以得到旋轉(zhuǎn)角為60°（即），至此就可以求解答案了

看完這道題，我們需要對(duì)自己發(fā)出靈魂的三問(wèn)：要轉(zhuǎn)哪個(gè)三角形？旋轉(zhuǎn)多少度？放縮多少倍？接下來(lái)對(duì)這三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答

1. 應(yīng)該轉(zhuǎn)哪個(gè)三角形？

這個(gè)問(wèn)題在上面的分析中說(shuō)了，我們需要保留一個(gè)沒(méi)有權(quán)重的線段

2. 旋轉(zhuǎn)多少度？

也是根據(jù)上面一題的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于求這樣的類(lèi)型的費(fèi)馬點(diǎn)，

如果繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)余弦定理，旋轉(zhuǎn)角由決定

如果繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，根據(jù)余弦定理，旋轉(zhuǎn)角由決定

求得的值為時(shí)，旋轉(zhuǎn)；求得的值為時(shí)，旋轉(zhuǎn)

求得的值為時(shí)，旋轉(zhuǎn)；求得的值為時(shí)，旋轉(zhuǎn)

這一部分比較抽象，需要讀者對(duì)余弦定理非常熟悉。如果實(shí)在記不住上面兩個(gè)公式，可以具體情況具體分析，按照上面例題的分析方法就好

3. 放縮多少倍

對(duì)于求這樣的類(lèi)型的費(fèi)馬點(diǎn)，

若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，應(yīng)放大倍；若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，應(yīng)放大倍

下面再看一道例題對(duì)上面的總結(jié)進(jìn)行鞏固

思

考

留

白

分析：

根據(jù)所求，我們要留，故要旋轉(zhuǎn)，為了方便，我們繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

此時(shí)，所以旋轉(zhuǎn)角為，并且要擴(kuò)大到原來(lái)的倍，驗(yàn)證一下，此時(shí)確實(shí)等于

然后解即可得到結(jié)果

最后，還有一類(lèi)最難的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，如下

此時(shí)，要求的結(jié)論中三條線段都被賦予了權(quán)重，對(duì)于這種情況，其實(shí)我們已經(jīng)很好處理了，只需要提取（或或），這樣它們又變成了普通加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的形式了

五. 習(xí)題