在解決數(shù)學(xué)問題時，我們會遇到一類存在多個變量的問題，解決這種問題的方法之一則是控制變量法。下面的舉例將按難度和門檻由低到高循序漸進。

(1)

如圖，B在以點A為圓心，1為半徑的圓上運動，點C在水平直線l上運動，圓心A到直線l的距離為2，求BC最小值？

此題有兩個動點，也就意味著有2個變量，當(dāng)2個變量同時在變化(BC都在運動)時，未免顯得困難，不妨先控制變量固定一個點。

比如固定點B，此時就只有C這一動點（變量）了，那么BC的最小值就是B到直線l的距離

那么當(dāng)B點處于上圖中的位置時，BC的最小值就是上圖中的這段垂線長

現(xiàn)將B移動至另一位置

此時最小值又是多少呢？答案還是：B到直線l的距離

那么對于每一個特定的B點，對應(yīng)的BC的最小值都是這一個B點到直線l的距離，那么在這些對應(yīng)的最小值找出最小那個就是此題的最小值

下面分享一番個人的奇妙的比喻，純屬舉例子無貶義[doge]。就好比讓你在整個年級中找出最矮的人，可以先在每一個班里找出最矮的人，再在這批矮人中找出最矮的人即可。找最高的人也是如此，先找出每個班最高的人，再在這些高人中找出最高的人即可。

ps:當(dāng)然了，如果真要究些不同點，那就是例子中的班級和人是“離散型變量”，因為可以一個一個數(shù)出來；而此題中控制的B點是“連續(xù)型變量”，因為一個圓上可有無數(shù)個B點。姑且看成是“無數(shù)的班級”里分別有“無數(shù)個學(xué)生”吧（每一個B點對應(yīng)一個班級，每個班級里的C點對應(yīng)一個學(xué)生）。

回到此題，每個B點對應(yīng)的垂線段就是“每個班級里最矮的學(xué)生”，那么垂線段的最小值就是“這批矮人中最矮的”。由于直線水平，那么當(dāng)B位于圓的最低點時，垂線段取得最小值：d-r=2-1=1

另外，如果控制C不變，那么BC的最小值為AC-r(此時每個特定的C就是“班級”，控制這個特定的C情況下每個A點就是該班級的“學(xué)生”)

也即每個特定的C對應(yīng)的BC的最小值都是AC-r，r=1恒定，只需求AC的最小值，那么當(dāng)AC垂直于直線l(即垂線段)時取得最小值2，原式最小值為2-1=1

再來實踐一道題

如圖，C,D分別是圓A，圓B上的動點，圓A半徑為2，圓B半徑為3，兩圓心距離AB為6(即兩圓相離)，求CD的最大值和最小值

1、控制D不變，則CD最小值為

每一個特定的D對應(yīng)的最小值都是AD-2，則只需求AD的最小值

AD的最小值為，則

最小值為1

(ps:圖整得不太標(biāo)準(zhǔn)，距離沒弄好，明白如何做即可)

奇妙比喻：控制D不變，每一個特定的D就是一個班級，特定的D下每一個C就對應(yīng)一個學(xué)生。先找每個班里最矮的，再在這群矮人里找出最矮的即為所求

2、控制D不變，則CD最大值為

每一個特定的D對應(yīng)的最大值都是AD+2，則只需求AD的最大值

AD的最大值為，則

最大值為11

奇妙比喻：控制D不變，每一個特定的D就是一個班級，特定的D下每一個C就對應(yīng)一個學(xué)生。先找每個班里最高的，再在這群高人里找出最高的即為所求

利用控制變量法，我們還可用于研究“將軍飲馬”模型的一些變式

將軍飲馬的模型如下：

E為直線上的一個動點，A，B為兩定點，A和B在直線的同側(cè)，求(EA+EB)的最小值

此時需要作A關(guān)于直線的對稱點A'，此時AE轉(zhuǎn)化為AE'，這時再根據(jù)兩點間線段最短即可求得二者的最小值。

現(xiàn)將該模型變式，化為如下題目：

如圖，過定點O作定射線m,n.A,B分別是m,n上的動點，P為一定點，求△ABP周長的最小值

先固定B，則PB固定，需求(PA+AB)的最小值

A在一直線上運動，P,B固定，滿足上述的將軍飲馬模型

由于P,B在直線同側(cè)，故需將P或B關(guān)于m作對稱

由于B是暫時固定的，而P是已知的定點，所以作P的對稱點方便后續(xù)的研究

(當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等)

也即對于每一個特定的B，將A移至上時取得最小值

加上固定的PB，此時周長最小值為

因此對于每一特定的點B，最小值都為(當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等)

求出的最小值即可

B在一直線上運動，固定，滿足上述的將軍飲馬模型

由于在直線同側(cè)，故需將關(guān)于n作對稱

將P關(guān)于n作對稱得：

(當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等)

奇妙的比喻：先控制B不變，則一個特定的B對應(yīng)一個班級，此班級下每一個點A則對應(yīng)該班級的每一個學(xué)生。先求得特定的B點情況下的最小值(即找出每個班中的最矮個子的人)，再在這些特定的最小值中找出最小的即為所求（在這些找出的矮人中找出最矮的即為所求）

于是得到此模型的作圖思路：將點P分別關(guān)于兩射線作對稱點，將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，△ABP周長取得最小值

下面是變式2，換成了求四邊形周長

P,Q為定點，即求PC+CD+QD的最小值，讀者們感興趣可按照上述控制變量的思路推一遍

控制變量法在研究多變量問題中發(fā)揮著舉足輕重的作用，上述為該法在含一些含幾何背景的題中的應(yīng)用，后續(xù)會補充在代數(shù)背景下(主要是以多元函數(shù)為主)控制變量法的應(yīng)用