一、整體感受

1、整體感覺還是輕松的。

2、但也有一些點沒有把握好，

例如：說明重極限不存在時取的路徑選擇上有一些不熟悉；

做極坐標變換時xy=r^2sinθcosθ，但題目中需要的是x^2*y^2，看到xy中有r^2，就誤認為是r^2了等

3、先做，再總結(jié)，再按總結(jié)思路做一遍。【?。。　?/span>

二、需要復(fù)習(xí)（學(xué)習(xí)）的

1、累次極限與重極限相關(guān)定理及課本例題

（1）累次極限和重極限的定義

（2）累次極限和重極限的相關(guān)定理與例題

（3）二元函數(shù)極限的唯一性定理、局部有界性定理、局部保號性定理

2、說明重極限不存在的路徑選擇問題（以華南師大真題為例）

3、思路問題，多做題總結(jié)出的【精華】

（1）有重極限的求解思路：

①如果分母遇到“根式-根式”情形，往往會分母有理化來做，有時候可能還要結(jié)合極坐標變換（如果題目出現(xiàn)x^2、y^2的話）。

【注：有時候也可以先極坐標變換，然后再分母有理化】

②如果重極限可能為0，考慮使用迫斂性，往往會先對f取絕對值，來做放縮（比較經(jīng)典的有|sinx|≤|x|；|cosx|≤1，x^2/(x^2+y^2)≤1），最后做出兩邊極限為0，利用迫斂性，得出重極限為0.

（2）沒有重極限的求解思路：

①取不同路徑（具體取法可見本專欄二、2的解析，這很關(guān)鍵），注意就算沒有重極限，遇到“根式-根式”情形，也要做有理化！

發(fā)現(xiàn)，隨著不同路徑最后極限值不一樣，這就說明重極限不存在。

②利用兩個累次極限存在但不相等，說明重極限不存在

③要特別注意如果有三角函數(shù)，是否可以利用三角函數(shù)極限的性質(zhì)，比如sinx（x→∞）就沒有極限，sin(1/x)(x→0）也沒有極限，可以充分利用這個來證明。

比如:f(x,y)=sinx*siny（x→∞，y→∞）,就是因為sinx和siny在-1→1之間震蕩，所以沒有重極限，同時也沒有累次極限。

（3）有/沒有累次極限的求解思路：

面對累次極限求解，先求一個，再求另一個。正常算就可以。

如果求第一個的過程中已經(jīng)不存在了，那么整體就是不存在的。

算的過程中要特別注意如果有三角函數(shù)，可以利用三角函數(shù)極限的性質(zhì)，比如sinx（x→∞）就沒有極限，sin(1/x)(x→0）說明沒有累次極限。

注意一點：

就算兩個累次極限都不存在，重極限也可能存在；

就算兩個累次積分都存在，? ?重極限也可能不存在。

（這一點在補充的歷年真題中可以體現(xiàn)到，

①對于求重極限，我就算把兩個累次極限都求出來，就算二者存在且相等也并不能說明重極限存在，只有當(dāng)這兩個累次極限存在但不相等時候，才能說明重極限不存在；

歷年真題1說明了就算累次極限存在且相等，重極限也并不存在；歷年真題2本身就是讓你求二重極限的，說明重極限必然存在，直接按照求解重極限的思路做就可以了，不需要去看累次極限是否存在且不等了。）

4、補充的2道歷年真題 以及3道課后好題：

（1）歷年真題

【真題1】

【真題2】

【注：最后是|sinx|≤|x|，x∈R的證明】

（2）課后好題

三、具體題目

1（合肥工大）

①觀察題目，說是討論，不知道具體有沒有

②那就先求累次極限，注意如果先對x→0，要假設(shè)x,y非0.

發(fā)現(xiàn)由于三角函數(shù)極限不存在，那么兩個累次極限都不存在；同時，也沒法用累次極限存在但不相等來推出重極限不存在；

③下面求重極限，發(fā)現(xiàn)有三角函數(shù)，觀察可能重極限為0，我就利用放縮，使用迫斂性。

【注意：要分xy=0和xy≠0兩種情況討論，不能漏。】

2(西南財大）

①觀察，題目已經(jīng)告訴你重極限不存在了，所以就用三種證明重極限不存在的思路來嘗試，發(fā)現(xiàn)取不同路徑不行；也沒有三角函數(shù)性質(zhì)來利用；只剩下一種通過利用累次積分存在但不相等來做

②算出兩個累次極限，發(fā)現(xiàn)一個為0，一個為-1，不等

③由于2個累次極限存在但不相等，說明重極限不存在。

3（華東師大）

①題目讓你判斷是否存在重極限，也沒具體交代有沒有，只能自己探索。

②感覺可能重極限不存在，所以從重極限不存在三種思路來選擇一種，發(fā)現(xiàn)由于沒有三角函數(shù)，不能用；同時算出兩個累次極限發(fā)現(xiàn)為0，無法利用累次極限存在但不相等來說明重極限不存在；剩下只有一種取不同路徑得到不同極限來做，遇到根式-根式情形，先做一下分母有理化，發(fā)現(xiàn)分母為x+y情形，次數(shù)一樣，首先取一個y=x，得到的重極限為0，接下來要取的這個路徑應(yīng)該使得這個重極限不為0，發(fā)現(xiàn)取y=-x+x^2,算出的重極限為-2≠0（具體取法的原因見本專欄二、2）這才能說明重極限不存在。

4（華南師大）

①題目已經(jīng)讓你求重極限，說明默認重極限存在，選擇重極限存在的兩種思路之一，觀察到重極限可能不為0，不選擇迫斂性做了；又有根式，所以先做了分母有理化

②有理化后發(fā)現(xiàn)有點麻煩，化成極坐標做，注意仔細點，不要弄錯，最后化成關(guān)于r和θ極限，當(dāng)r趨于0時候，重極限為-2.

【注：我選擇了先分母有理化再求極坐標做；但我經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)也可以先求極坐標再有理化，也可以的；兩種思路都可以，結(jié)果都是-2】