暑假閑來無聊，我翻開塵封已久的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，心想著不用很高深的微積分，就用幾何的知識(shí)來看懂一些證明，結(jié)果發(fā)現(xiàn)我還是太天真了，根本就看不懂QAQ。一方面是牛頓思維太過跳躍，導(dǎo)致我跟不上；另一方面是牛頓那個(gè)年代過于遙遠(yuǎn)，許多表達(dá)方式和概念與現(xiàn)代差異很大。在此我還要吐槽這個(gè)出版社實(shí)在是太辣雞了，把“動(dòng)量”翻譯成“運(yùn)動(dòng)”，哪怕給個(gè)注釋也行，也不至于我看半天理解不了。書中還有一些印刷問題，不一一列舉了。 這次先來注釋書中第一編的問題6：

如果物體沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，求證指向橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的向心力定律。

如圖是物體P的橢圓軌道，C是橢圓中心，AC為半長(zhǎng)軸，BC為半短軸，S,H是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)。過P做橢圓切線PZ，再過C做PZ的平行線交橢圓與于D，K兩點(diǎn)。過P做DK的垂線，垂足為F；過Q做SP的垂線，垂足為T。過Q做SP的平行線交PZ于R，再過Q做PZ的平行線分別交SP,CP于點(diǎn)x,點(diǎn)v。過H做DK的平行線交SP于I。 先證一些幾何方面的性質(zhì)（以下均是以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸建系）：

定理1：S

ΔPCD

=S

ΔABC

證明：

設(shè)P的坐標(biāo)為(acosθ，bsinθ)，PZ斜率為k

1

，CP斜率為k

2

，則：

定理2：對(duì)任意給定的P點(diǎn)，無論Q在橢圓上怎樣移動(dòng)，總有：

證明：

定理3：∠RPS=∠ZPH

此條定理即為橢圓的光學(xué)性質(zhì)，證明方法可自行去網(wǎng)上搜索或翻看我之前的投稿（給自己打波廣告）。

網(wǎng)頁鏈接

橢圓在幾何方面的性質(zhì)已經(jīng)證明完畢了，接下來是物理方面的定理。 是時(shí)候拿出這張圖了。

定理4：物體只收指向固定點(diǎn)S的向心力時(shí)，物體與中心點(diǎn)的連線在任意時(shí)間t內(nèi)掃過的面積S=kt，其中k是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)。

由角動(dòng)量守恒就能直接得出這個(gè)結(jié)論。實(shí)則看牛頓畫的圖也很明白，取一段很小的時(shí)間Δt，近似認(rèn)為物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由A運(yùn)動(dòng)到B。若不受向心力控制，再過相同的Δt，物體將運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，且AB=Bc。但實(shí)際上向心力將物體從c點(diǎn)拉至C點(diǎn)，且Cc∥BS，那么ΔABS與ΔBSC的面積相等，即dS=kdt,兩邊積分就得到S=kt。

定理5：在極小的時(shí)間Δt內(nèi)物體由B運(yùn)動(dòng)到C，向心力F的大小與Δt的平方成反比，與Cc的長(zhǎng)度成正比。

證明：

由于Δt→0，ΔBCc就滿足BC≈Bc，∠BCc≈∠BcC≈90°，所以物體在直線Cc上的分速度幾乎為0，近似認(rèn)為物體從c到C做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

推論：設(shè)在B點(diǎn)（或者C點(diǎn)）的向心力大小為F，ΔBCc的面積為S,線段Cc的長(zhǎng)度為l,則F與l成正比，與S的平方成反比。

這是因?yàn)镾與Δt成正比，所以可以用S來替代Δt。

萬事俱備，我們現(xiàn)在開始攻克這個(gè)難題！

證明：