復(fù)習(xí)筆記 Day116

2023-03-13 23:54 作者:間宮_卓司 0人讀過 | 我要投稿

前幾天收到了網(wǎng)友的一份復(fù)試面試常見問題，上面的問題大部分我都是會(huì)的，但是萬一回答的時(shí)候一緊張就說錯(cuò)了可就不好了，不過定義感覺沒什么好整理的，所以這里只整理了一部分的問題。我只整理了我復(fù)試會(huì)問的部分

數(shù)學(xué)分析部分：

1.黎曼函數(shù)的定義和性質(zhì)

定義略，不過需要注意到在 $x%3D0$ 處的定義為 $R(0)%3D1$ ，性質(zhì)：黎曼函數(shù)在無理點(diǎn)處連續(xù)，有理點(diǎn)為第三類不連續(xù)點(diǎn)（即可去間斷點(diǎn)）。證明思路：只需要注意到分母為 $p$ 的有理數(shù)的個(gè)數(shù)在區(qū)間 $%5B0%2C1%5D$ 上有限即可（這么簡(jiǎn)單的證明我當(dāng)初怎么就看不明白呢？）

2.閉區(qū)間套定理改成開區(qū)間套對(duì)不對(duì)？

閉區(qū)間套定理：設(shè)數(shù)列 $%5C%7Ba_n%5C%7D%2C%5C%7Bb_n%5C%7D$ 分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，且 $a_n%5Cle%20b_n%2C%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20a_n-b_n%20%5Cright)%20%3D0$ ，那么存在唯一的 $%5Cxi%5Cin%20%5Ba_n%2Cb_n%5D$ ，且 $%5Cxi%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Da_n%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7Db_n$

改成開區(qū)間套結(jié)論就不一定成立了，例如取 $a_n%3D0%2Cb_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D$ ，不過如果把條件加強(qiáng)一下，改成 $%5C%7Ba_n%5C%7D%2C%5C%7Bb_n%5C%7D$ 分別嚴(yán)格單調(diào)遞增和嚴(yán)格單調(diào)遞減，并且 $a_n%3Cb_n$ ，結(jié)論又成立了

3.駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn))一定是極值點(diǎn)嗎, 若不是舉反例

駐點(diǎn)是指使函數(shù)的一階導(dǎo)為0的點(diǎn)，不一定是極值點(diǎn)，例如y=x^3，x=0是駐點(diǎn)，但是不是極值點(diǎn)

4.敘述定積分與不定積分的關(guān)系

給定函數(shù) $f$ ，如果存在函數(shù) $F$ ，使得 $F'%3Df$ ，就稱 $F$ 為 $f$ 的一個(gè)原函數(shù)， $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$ 就是全體原函數(shù)構(gòu)成的集合，如果 $f$ 存在原函數(shù) $F$ ，那么通過牛頓-萊布尼茲公式，可知 $%5Cint_a%5Eb%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%3DF%5Cleft(%20b%20%5Cright)%20-F%5Cleft(%20a%20%5Cright)%20$ 對(duì)任意 $a%2Cb$ 都成立

反過來，如果 $f$ 存在原函數(shù)，那么 $%5Cint_%7B%7D%5E%7B%7D%7Bf%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%3D%5Cint_a%5Ex%7Bf%5Cleft(%20t%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%2BC$

5.舉出收斂的無界反常積分的例子

其實(shí)這樣的例子隨便舉都可以吧···

$y%3D1_%7B%5Cmathbb%7BN%7D%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

6.(0,1)是完備的嗎？

一個(gè)數(shù)集完備是指以這個(gè)數(shù)集中的元素為數(shù)列的極限仍然在這個(gè)數(shù)集里面，所以(0,1)顯然是不完備的

7.敘述壓縮映射的概念和不動(dòng)點(diǎn)定理

這個(gè)按道理是泛函分析的東西，就按泛函分析上面的知識(shí)來寫吧

設(shè) $(X%2Cd)$ 是完備的距離空間， $T%3AX%5Crightarrow%20X$ ，如果對(duì)任意 $x%2Cy%5Cin%20X$ ，成立不等式

$d%5Cleft(%20Tx%2CTy%20%5Cright)%20%5Cle%20Ld%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20$

其中 $0%3CL%3C1$ ，那么就稱 $T$ 是一個(gè)壓縮映射，（其實(shí)拓?fù)淅锩嬉灿衅渌牟粍?dòng)點(diǎn)定理吧，但在這里應(yīng)該指的是這個(gè)）不動(dòng)點(diǎn)定理指的是：如果 $T$ 是一個(gè)壓縮映射，那么存在唯一的 $x%5Cin%20X$ ，使得 $Tx%3Dx$

8.黎普西次連續(xù)和一階可導(dǎo)哪個(gè)更強(qiáng)?

一個(gè)函數(shù)黎普西次連續(xù)是指存在 $L$ ，對(duì)任意給定的 $x%2Cy%5Cin%20%5Ctext%7BR%7D$ ，成立不等式

$%5Cleft%7C%20f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20-f%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%5Cright%7C%5Cle%20L%5Cleft%7C%20x-y%20%5Cright%7C$

這兩個(gè)條件應(yīng)該不存在相互包含的關(guān)系，例如 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cleft%7C%20x%20%5Cright%7C$ 是利普希茨連續(xù)的，卻不是可導(dǎo)的， $f(x)%3Dx%5E2$ (在 $%5Ctext%7BR%7D$ 上)是可導(dǎo)的，卻不是利普希茨連續(xù)的

即使把問題限制在長度有限的閉區(qū)間上，兩個(gè)定義仍然是互不包含的，

例如取

$f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%090%2Cx%3D0%5C%5C%0A%09x%5E2%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D%2Cx%5Cne%200%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D$

那么 $f(x)$ 在 $%5B-1%2C1%5D$ 上連續(xù)可導(dǎo)（按定義可以算出 $f'(0)%3D0$ ），但是

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D2x%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%5Ccos%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D$

所以依拉格朗日中值定理， $f(x)$ 仍然不是李普希茲的

（下冊(cè)的知識(shí)是一點(diǎn)沒有啊···）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分：

1.你對(duì)大數(shù)定律的理解

（大數(shù)定律在應(yīng)堅(jiān)剛的第七章，然后第七章我基本全跳了，有空再補(bǔ)上吧）

大數(shù)定律指的是一列隨機(jī)變量序列如果滿足一定的條件，那么它們的均值就會(huì)依概率收斂于它們的期望的均值，常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律，切比雪夫大數(shù)定律，辛欽大數(shù)定律

2.如何判斷事件和隨機(jī)變量的獨(dú)立性?分別舉出隨機(jī)變量獨(dú)立和不獨(dú)立的例子

事件獨(dú)立的定義是指，對(duì)于給定的事件 $A%2CB$ ，如果成立 $%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20AB%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20A%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20B%20%5Cright)%20$ ，就稱事件 $A%2CB$ 獨(dú)立，對(duì)于隨機(jī)變量而言，兩個(gè)隨機(jī)變量 $%5Cxi%2C%5Ceta$ 相互獨(dú)立是指

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cle%20x%2C%5Ceta%20%5Cle%20y%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%5Cle%20x%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%5Cle%20y%20%5Cright)%20$

對(duì)任意 $x%2Cy$ 都成立

對(duì)于離散的隨機(jī)變量而言，這等價(jià)于

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%2C%5Ceta%20%3Dy%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cxi%20%3Dx%20%5Cright)%20%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Ceta%20%3Dy%20%5Cright)%20$

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，這等價(jià)于

$p%5Cleft(%20x%2Cy%20%5Cright)%20%3Dp_%5Cxi%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20p_%5Ceta%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20$

其中 $p(x%2Cy)$ 是隨機(jī)向量 $%5Cleft(%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%5Cright)%20$ 的概率密度函數(shù)，右邊分別是 $%5Cxi%2C%5Ceta$ 的概率密度函數(shù)

舉例略

3.符合中心極限定理的隨機(jī)變量服從什么分布?

這個(gè)問題問的比較讓人費(fèi)解，按我的理解，中心極限定理指的是

$%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Clim%20_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20%5Cmathbb%7BP%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cleft(%5Cxi_i-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi_i%5Cright)%7D%7B%5Csqrt%7BD%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cxi_i%7D%7D%20%5Cleq%20x%5Cright)%3D%5CPhi(x)%0A%5Cend%7Bequation%7D$

也就是一個(gè)隨機(jī)序列求和再標(biāo)準(zhǔn)化后其分布函數(shù)收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

硬要問服從什么分布的話，那至少是隨機(jī)序列中的每一項(xiàng)的期望都存在，且

$0%3CD%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%3C%5Cinfty%20$ 的分布吧···

4.敘述中心極限定理和它的應(yīng)用

應(yīng)用：如果一組隨機(jī)序列符合中心極限定理，那么可以在不需要對(duì)具體的分布進(jìn)行操作的前提下，知道這組分布求和并標(biāo)準(zhǔn)化后分布函數(shù)大致長什么樣

5.敘述二項(xiàng)分布和泊松分布的關(guān)系

如果一個(gè)離散隨機(jī)變量 $X$ 滿足

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20X%3Dk%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09n%5C%5C%0A%09k%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%20p%5Ek%5Cleft(%201-p%20%5Cright)%20%5E%7Bn-k%7D%2Ck%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20%2Cn$

就稱 $X$ 服從二項(xiàng)分布 $b%5Cleft(%20n%2Cp%20%5Cright)%20$

如果一個(gè)隨機(jī)變量 $Y$ 滿足

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20Y%3Dk%20%5Cright)%20%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7D%2Ck%3D0%2C1%2C%5Ccdots%20$

就稱 $Y$ 服從泊松分布 $P%5Cleft(%20%5Clambda%20%5Cright)%20$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09n%5C%5C%0A%09k%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%20p_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%201-p_n%20%5Cright)%20%5Ek%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D" alt="%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%09n%5C%5C%0A%09k%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright)%20p_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%5Cleft(%201-p_n%20%5Cright)%20%5Ek%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D">，若 $np_n%5Crightarrow%20%5Clambda%20$ ，所以如果 $n$ 很大，可以用 $%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5Ek%7D%7Bk!%7De%5E%7B-%5Clambda%7D$ 去代替，避免組合數(shù)的計(jì)算

6.矩估計(jì)的衡量標(biāo)準(zhǔn)是什么

按道理要寫一下矩估計(jì)的定義，但是我擺了

衡量矩估計(jì)一般有以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

1.無偏性

如果一個(gè)矩估計(jì)滿足 $%5Cmathbb%7BE%7D%20_%7B%5Ctheta%7D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cright)%20%3D%5Ctheta%20$ ，就稱這個(gè)矩估計(jì)是無偏的，即對(duì)由樣本構(gòu)成的隨機(jī)變量 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 的期望恰好就是參數(shù)自身

2.有效性

設(shè) $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1%2C%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2$ 是兩個(gè) $%5Ctheta%20$ 的無偏估計(jì)，如果 $D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1%20%5Cright)%20%5Cle%20D%5Cleft(%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2%20%5Cright)%20$ ，且至少有一個(gè) $%5Ctheta%20$ 使得不等號(hào)嚴(yán)格成立，就稱 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_1$ 比 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_2$ 有效

3.相和性

如果估計(jì)量 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n$ 滿足 $%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft%7C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n-%5Ctheta%20%5Cright%7C%5Cge%20%5Cvarepsilon%20%5Cright)%20%3D0$ ，即估計(jì)量依概率收斂于 $%5Ctheta%20$ ，就稱 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D_n$ 是 $%5Ctheta%20$ 的相合估計(jì)