牛頓361、變上限定積分函數(shù)，簡稱積分上限函數(shù)；證明積分上限函數(shù)求導(dǎo)定理

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積分上限函數(shù)（百度百科）：設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積，對任意x∈[a，b]，y=f（x）在[a，x] 上可積，且它的值與x構(gòu)成一種對應(yīng)關(guān)系（如圖所示），稱Φ（x）為變上限的定積分函數(shù)，簡稱積分上限函數(shù)。

…積、分、積分：見《牛頓353~358》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…∈：數(shù)學(xué)符號“屬于”…見《牛頓303》…

（…符、號、符號：見《歐幾里得160、161》…）

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…關(guān)、系、關(guān)系：見《歐幾里得75》…

…Φ：第21個希臘字母。讀音：fài…見《牛頓359》…

…定、定積分：見《牛頓338》…

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“可積”是什么意思？——網(wǎng)友提問

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2017-12-08，庭院有幾許：可積[kě?jī]

解釋：可積一般就是指：可積函數(shù)；

如果f（x）在[a，b]上的定積分存在，我們就說f（x）在[a，b]上可積。即f（x）是[a，b]上的可積函數(shù)。

可積函數(shù)：

數(shù)學(xué)上，可積函數(shù)是存在積分的函數(shù)。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…

定義

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可積。

根據(jù)定積分對區(qū)間的可加性，有：對任意x（a≤x≤b），f（x）在[a，x]上也可積。

這時，稱變上限定積分∫[a，x]f（t）dt為f（x）的積分上限函數(shù)，記為Φ（x），

即：?

…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…

…∫：積分符號，為字母s的拉長…見《牛頓338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細(xì)微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

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當(dāng)f（x）≧0時，Φ（x）在幾何上表示為可以變動的曲邊梯形的面積（圖中的陰影部分）。

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

定理

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

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設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，（a≤x≤b）在[a，b]上可導(dǎo)，并且Φ’（x）=f（x）。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

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可導(dǎo)的含義是什么？——網(wǎng)友提問

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2021-10-13，百度網(wǎng)友695eeef2：

就是：若f（x）在x0處連續(xù)，則當(dāng)a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導(dǎo)。

…極、限、極限：見《牛頓202~321》…

……

定理

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設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，（a≤x≤b）在[a，b]上可導(dǎo)，并且Φ’（x）=f（x）。

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證明：對于任意給定的x∈[a，b]，給x以增量△x，使得x+△x∈[a，b]，

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。

在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

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根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，得：Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x

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由Φ（x）的定義及定積分對區(qū)間的可加性，有：

Φ（x+△x）-Φ（x）=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt=∫[x，x+△x]f（t）dt

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再由定積分中值定理，得：

△Φ（x）=∫[x，x+△x]f（t）dt=f（ξ）△x，

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機(jī)變量…

{定積分中值定理：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）

證明見《牛頓351》。}

其中，ξ在x和x+△x之間。

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∴ Φ’（x）=lim（△x→0）[Φ（x+△x）-Φ（x）]/△x

??????????=lim（△x→0）△Φ（x）/△x

??????????=lim（△x→0）f（ξ）△x/△x

??????????=lim（△x→0）f（ξ）

∵?f（x）連續(xù)

∴?lim（△x→0）f（ξ）=f（x）

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即：Φ’（x）=f（x）

（∫[a，x]f（t）dt）’=f（x）

證畢。

這個定理說明，任何連續(xù)函數(shù)都有原函數(shù)存在，且積分上限函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt?就是f（x）在[a，b]上的一個原函數(shù)。

上述定理也叫做原函數(shù)存在定理。

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“定義一個變上限積分函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，讓函數(shù)Φ（x）?獲得增量△x，則對應(yīng)的函數(shù)增量為：

△Φ（x）=Φ（x+△x）-Φ（x）

=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt

=∫[x，x+△x]f（t）dt （定積分對區(qū)間的可加性）

請看下集《牛頓362、證明牛頓-萊布尼茨公式》”

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