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淺用一下垂徑定理（2017課標Ⅲ圓錐曲線）

2022-08-27 17:58 作者:數(shù)學老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2017課標Ⅲ，20）已知拋物線 $C$ ： $y%5E2%3D2x$ ，過點 $%5Cleft(%202%2C0%20%5Cright)%20$ 的直線 $l$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 兩點，圓 $M$ 是以線段 $AB$ 為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點 $O$ 在圓 $M$ 上；

（2）設圓 $M$ 過點 $P%5Cleft(%204%2C-2%20%5Cright)%20$ ，求直線 $l$ 與圓 $M$ 的方程.

解：（1）設直線 $l$ 的方程為 $x%3Dmy%2B2$ ，

與拋物線 $C$ 聯(lián)立，得 $y%5E2-2my-4%3D0$ ，

則 $y_1%2By_2%3D2m$ ， $y_1y_2%3D-4$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09k_%7BOA%7D%5Ccdot%20k_%7BOB%7D%26%3D%5Cfrac%7By_1%7D%7Bx_1%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By_2%7D%7Bx_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7By_1%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By_2%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7By_1y_2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B-4%7D%3D-1%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

所以 $OA%5Cbot%20OB$ ，

坐標原點 $O$ 在圓 $M$ 上.

（2）設 $M$ 的坐標為 $%5Cleft(%20x_0%2Cy_0%20%5Cright)%20$ ，

則 $y_0%3D%5Cfrac%7By_1%2By_2%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B2m%7D%7B2%7D%3Dm$ ，所以

$x_0%3Dmy_0%2B2%3Dm%5Ccdot%20m%2B2%3Dm%5E2%2B2$ ，

所以 $M$ 的坐標為 $%5Cleft(%20m%5E2%2B2%2Cm%20%5Cright)%20$ ，

記線段 $OP$ 的中點為 $N$ ，

易知 $N$ 的坐標為 $%5Cleft(%202%2C-1%20%5Cright)%20$ ，

依垂徑定理可知： $k_%7BMN%7D%5Ccdot%20k_%7BOP%7D%3D-1$ ，

即 $%5Cfrac%7Bm-%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%7D%7Bm%5E2%2B2-2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B-2%7D%7B4%7D%3D-1$ ，

整理得 $2m%5E2-m-1%3D0$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ ，或 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D1%7D$ .

若 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$ ， $l$ 的方程為 $x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dy%2B2$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B2x%2By-4%3D0%7D$ ，

$M$ 的坐標為 $%5Cleft(%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%2C-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20$ ，

$r%5E2%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D-0%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-0%20%5Cright)%20%5E2%3D%5Cfrac%7B85%7D%7B16%7D$ ，

所以圓 $M$ 的方程為

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20x-%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B%5Cleft(%20y%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%5E2%3D%5Cfrac%7B85%7D%7B16%7D%7D$ ，如圖