預(yù)備知識：

1. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮??；

2. 收斂數(shù)列必有界；

3. 有限個無窮小的和還是無窮??；

4. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮??；

5. 設(shè)lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 設(shè)lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 定比分點：在線段P1P2上求一點P，使得由P分成的兩個有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ，則P為線段P1P2以λ為定比的分點，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點公式。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強?編著）》）——

設(shè)lim an=a，lim?bn=b，求證：lim（a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n=ab

證明：設(shè)an=a+ɑn，bn=b+βn，其中{ɑn}，{βn}為無窮小——

1. 根據(jù)定義，{ɑn}，{βn}為無窮小，即lim ɑn=lim βn=0；

2. 由1：lim（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n=0，lim（β1+β2+……+βn）/n=0

3. （a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n

   =[（a+ɑ1）（b+βn）+（a+ɑ2）（b+βn-1）+……+（a+ɑn）（b+β1）]/n

   =[nab+a（β1+β2+……+βn）+b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）+（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）]/n

   =ab+a（β1+β2+……+βn）/n+b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n；

4. 對（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n，{ɑn}為無窮小，則存在M，使得|ɑn|<=M，則

   0

   <=|（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n|

   <=（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n

   <=（M|βn|+M|βn-1|+……+M|β1|）/n

   =M（|β1|+|β2|+……+|βn|）/n，

   又lim M（|β1|+|β2|+……+|βn|）/n=Mlim|βn|=0，

   則lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n=0，

   且-lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n=0，

   -lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n

   <=lim?（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   <=lim（|ɑ1||βn|+|ɑ2||βn-1|+……+|ɑn||β1|）/n，

   則lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n=0；

5. lim（a1bn+a2bn-1+……+anb1）/n

   =ab+lim?a（β1+β2+……+βn）/n+lim b（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   =ab+alim（β1+β2+……+βn）/n+blim（ɑ1+ɑ2+……+ɑn）/n+lim（ɑ1βn+ɑ2βn-1+……+ɑnβ1）/n

   =ab+0+0+0=ab.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

已知空間四邊形ABCD.四點M，N，P，Q分別將AB，AC，DB，DC以同比分之，即AM/MB=AN/NC=DP/PB=DQ/QC，試證MNQP是平行四邊形.

證明：設(shè)空間任取一點O，AM/MB=AN/NC=DP/PB=DQ/QC=λ——

1. 由定比分點公式OM=（OA+λOB）/（1+λ）；

2. 由定比分點公式ON=（OA+λOC）/（1+λ）；

3. MN

   =ON-OM

   =（OA+λOC）/（1+λ）-（OA+λOB）/（1+λ）

   =λBC/（1+λ）；

4. 同理：PQ=λBC/（1+λ）；

5. MN=PQ，MNQP是平行四邊形。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子胥 編）》）——

設(shè)A，B為n階方陣，且B=E+AB.證明：AB=BA.

證：

1. B=E+AB，則B-AB=E；

2. （E-A）B=E，即E-A與B互為逆方陣，所以B（E-A）=E；

3. B-BA=E，則B=E+BA；

4. 于是AB=BA.證畢。

到這里！