古希臘是人類數(shù)學(xué)史上的第一個(gè)黃金時(shí)期。人們?cè)诖藭r(shí)開創(chuàng)了平面幾何。平面幾何的重要性不言而喻，它是人類歷史上第一個(gè)非平凡的數(shù)學(xué)系統(tǒng)（大多數(shù)人第一次覺得數(shù)學(xué)比較困難應(yīng)該就是在初中的平面幾何）。

我們首先澄清，平面幾何是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，它主要包含了以古希臘數(shù)學(xué)家為代表的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的幾何公理和邏輯系統(tǒng)，所以說一些看起來并不是平面幾何的東西，也在我們所談的平面幾何的范疇之內(nèi)。換言之，我們這里討論的平面幾何可能叫做歐氏幾何更合適。包括高中的立體幾何、圓錐曲線的一些高級(jí)定理（如Pascal定理），都是歐氏幾何中的內(nèi)容。與之對(duì)應(yīng)的幾何是射影幾何、仿射幾何、非歐幾何、微分幾何、黎曼幾何和更高級(jí)的內(nèi)容。

毫無疑問，《幾何原本》是平面幾何的集大成者。雖然在這之后也有不少結(jié)果，但是至少在哲學(xué)上它們是一脈相承的。我們下面的討論都基于歐幾里得的《幾何原本》。

幾何原本本質(zhì)上反映了亞里士多德的形式邏輯學(xué)。這或許是最重要的哲學(xué)思想。亞里士多德認(rèn)為，邏輯學(xué)是一切科學(xué)的工具。他力圖將形式邏輯和現(xiàn)實(shí)存在聯(lián)系起來，史無前例地創(chuàng)建了“三段論”的論證方法，對(duì)后世的科學(xué)產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響。

不得不承認(rèn)，亞里士多德的形式邏輯的觀點(diǎn)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)占據(jù)了科學(xué)發(fā)展的主要地位，這個(gè)時(shí)間從古希臘的幾何開始，一直發(fā)展到近現(xiàn)代，直到現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、集合論和數(shù)理邏輯的興起，人們才對(duì)亞里士多德的形式邏輯觀點(diǎn)進(jìn)行了一定的微不足道的修正。毫不夸張地說，亞里士多德的觀點(diǎn)在今天仍然占據(jù)著主流。正如愛因斯坦評(píng)價(jià)道：

“我們推崇的古希臘是西方科學(xué)的搖籃。在那里，世界第一次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡。這個(gè)邏輯體系如此精密地一步一步推進(jìn)，以至它的每一個(gè)命題都是絕對(duì)不容置疑的——我這里說的就是歐氏幾何。推理的這種可贊嘆的勝利，使人類理智獲得了為取得以后的成就所必需的信心。如果歐幾里得沒能激起你少年時(shí)代的激情，那你就不是一個(gè)天生的科學(xué)思想家?！?/p>

古希臘的平面幾何理論第一次以一個(gè)公理系統(tǒng)和完全的形式邏輯的方式給出了一個(gè)自然世界（至少是古希臘人認(rèn)為的自然世界）的一個(gè)刻畫。從此之后的一切科學(xué)都幾乎完全地照搬這個(gè)步驟，這也是為何說它奠定了從此之后所有科學(xué)研究的基調(diào)。

我們提醒一下，歐氏幾何之所以偉大，很大的原因是它只采用了很少的公理和公設(shè)，就推出了很多不可思議的結(jié)論。《利維坦》的作者霍布斯原本認(rèn)為所有的科學(xué)不過是文字游戲，直到有一天他走到書攤，看見了《幾何原本》中關(guān)于勾股定理的這個(gè)章節(jié)，他的第一反應(yīng)便是“這個(gè)定理簡(jiǎn)直是在胡說八道”，不服氣的他試圖推翻歐幾里得的證明，于是他不斷地向前翻，最后發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明全部歸結(jié)為“顯然”的事實(shí)。這使得霍布斯正式進(jìn)入了哲學(xué)和社會(huì)學(xué)研究的領(lǐng)域。

歐幾里得的《幾何原本》采用了二十三條定義、五條公理和五條公設(shè)。利用這些假設(shè)，他就構(gòu)建了整個(gè)平面幾何的結(jié)構(gòu)。關(guān)于歐幾里得公理化體系的建立，因?yàn)樵奶L(zhǎng)所以就不放出來了，具體內(nèi)容可以參考?xì)W幾里得的原文，或者是Hartshorne的《Geometry:Euclid and Beyond》（想看這本書但是又不想買的朋友可以私信我，為了避免版權(quán)問題所以不公開）。但是，因?yàn)闆]有經(jīng)過系統(tǒng)研究，他的公理系統(tǒng)有諸多缺陷。下面就他的某些缺陷做一些批判，這些批判選自劉思齊老師的《幾何與對(duì)稱講義》。

1.歐幾里得的公設(shè)和公理到底有何區(qū)別？這是一個(gè)讓歷代注釋者爭(zhēng)論不休的問題。比如一種說法是，公設(shè)總是涉及幾何內(nèi)容，但公理則是某種更一般的規(guī)律。還有一些人認(rèn)為，公理本身是自明的，公設(shè)沒有公理那樣自明。從我們之前的文章看，公理是更加代數(shù)的、邏輯的，而公設(shè)是更加幾何的。還可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看它們的差別。

在現(xiàn)代的公理系統(tǒng)中，我們不再需要去區(qū)分幾何的還是非幾何的、或者作圖的還是非作圖的，因此不再區(qū)分公設(shè)和公理，統(tǒng)一地叫做公理。不過現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本都承認(rèn)邏輯的公理，從這個(gè)角度講邏輯可以認(rèn)為是現(xiàn)代版的公理，而各種數(shù)學(xué)系統(tǒng)的公理都叫做公設(shè)。

2.什么是定義？亞里士多德認(rèn)為定義就是“具有A特征的B”，而這個(gè)定義方式顯然會(huì)導(dǎo)致無窮無盡的追問：什么是“D,E,F……”。雖然看起來這無關(guān)緊要，但是這關(guān)系著能否闡明公理系統(tǒng)。例如在歐幾里得的定義中“點(diǎn)是沒有部分的”、“線只有長(zhǎng)度而沒有寬度”、“直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線”顯然都是極不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。

對(duì)于上面的問題，亞里士多德認(rèn)為存在著“第一推動(dòng)者”，也就是說當(dāng)你問到這個(gè)地步時(shí)，你就不能再問了。這一觀點(diǎn)受到中世紀(jì)教會(huì)的加大推崇，因?yàn)樗麄冋J(rèn)為這認(rèn)定了上帝的存在。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中對(duì)“定義”的理解并沒有超出亞里士多德太多。定義只能是“相對(duì)的”：在每個(gè)理論中都有一些“不能定義”或者說“無需定義”的概念，有了這些概念之后，可以用它們?nèi)ザx其它概念。對(duì)于這些無定義的概念，我們不去談?wù)撍鼈儭笆鞘裁础保ㄓ谑潜苊饬藷o窮追問的問題），我們只規(guī)定它們應(yīng)該具有的性質(zhì)，也就是公理系統(tǒng)中的公理?；谶@樣的觀念，“當(dāng)一條直線和另一條直線交成的鄰角彼此相等時(shí)，這些角的每一個(gè)叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線”的定義就沒有問題了。

3.什么是相等？《幾何原本》中極大地濫用了這個(gè)詞。它們有的是指幾何圖形的量的相等（即面積和長(zhǎng)度的相等），有的指的是干脆就是幾何圖形的相等。根據(jù)前后文可以推測(cè)，古希臘人使用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何圖形的相等的。這是一個(gè)在歐幾里得的公設(shè)和公理中并未出現(xiàn)、但是在后續(xù)命題的證明中經(jīng)常出現(xiàn)的操作。用比較現(xiàn)代的語言來說，如果一個(gè)線段或角度經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)能夠變成另一個(gè)線段或角度，就說這兩者相等。三角形或平行四邊形的相等概念則更復(fù)雜，根據(jù)上面所羅列的公理和歐幾里得在后文中對(duì)其它命題所給出的證明，如果兩個(gè)三角形或平行四邊形經(jīng)過剖分、運(yùn)動(dòng)和重組能夠全等，那么就說它們相等。

但是，這些操作既沒有說明大空間的完備性（即歐氏空間中有沒有漏洞）、也沒有說明大空間的齊次性（即運(yùn)動(dòng)是否是剛性的）。有一個(gè)更有趣的問題：如果一個(gè)圖形經(jīng)過剖分、運(yùn)動(dòng)和重組能夠變成另一個(gè)圖形，那么它們顯然具有相同的面積或者體積；但是反之，如果兩個(gè)平面圖形或者立體圖形具有相同的面積或者體積，那么是否一定可以通過這些操作將一個(gè)變成另一個(gè)？在二維時(shí)，答案是肯定的，這叫做Wallace–Bolyai–Gerwien定理；但是在三維，答案卻是否定的，這是希爾伯特第三問題，由Max Dehn給出反例。

4.在《幾何原本》的很多問題中都涉及圓和圓、圓和直線的相交。這里的問題是，為什么這兩個(gè)圓有交點(diǎn)？我們直覺上認(rèn)為有交點(diǎn)是因?yàn)殡[含地承認(rèn)了圓的連續(xù)性或者完備性，即圓周上是沒有“洞”的。但歐幾里得的公理并沒有明確地向我們保證這一點(diǎn)。

5.歐幾里得的公理系統(tǒng)并不能描述我們見到的所有平面幾何事實(shí)。Rouse Ball悖論并不能從歐氏公理系統(tǒng)中推出矛盾，Psach定理雖然是一個(gè)顯然的事實(shí)，但是無法從歐幾里得的公理系統(tǒng)中推出。其根本原因在于公理中并沒有關(guān)于介于關(guān)系的任何斷言。在《幾何原本》中，所有關(guān)于介于關(guān)系的結(jié)論都是通過畫圖和幾何直觀得到的，沒有證明。

由上可見，從今天的眼光來看，歐氏公理系統(tǒng)本身具有著巨大的問題。其中一些是邏輯方法的問題，另一些是歐氏公理系統(tǒng)自身的問題。在當(dāng)代數(shù)學(xué)中，歐式公理系統(tǒng)被Hilbert公理系統(tǒng)所取代。雖然歐氏公理系統(tǒng)有著巨大的隱患，但是對(duì)它的研究卻催生了很多很多另外的學(xué)科。此外，歐氏公理系統(tǒng)的嘗試也是人類歷史上的偉大壯舉。如今看來，它仍是人類史上最精彩的詩(shī)篇之一。