達(dá)朗貝爾公式，波的傳播

首先先來(lái)看疊加原理：

2.達(dá)朗貝爾方程解法

首先從簡(jiǎn)單的情況入手，假定弦振動(dòng)方程中邊界的影響不計(jì)，即考慮如下方程：

并伴隨如下定義：

初值問(wèn)題（柯西問(wèn)題）：方程的定解條件只有初始條件。

初邊界問(wèn)題（混合問(wèn)題）：方程的定解條件有初始條件和邊界條件。

自由振動(dòng)：f恒等于0。

強(qiáng)迫振動(dòng)：f不恒等于0。

為了解初值問(wèn)題，我們利用疊加原理將方程1轉(zhuǎn)換為如下兩個(gè)方程，再將解疊加即可：

對(duì)于方程2，達(dá)朗貝爾的做法如下（傳播波法）：

在物理方面，我們可以波動(dòng)的圖像有如下定義：

F（x-at）：右傳播波

G（x+at）：左傳播波

但是引入的變量在我們看來(lái)似乎是創(chuàng)造性的，難以想象，于是又有如下特征線法：

接下來(lái)類似于常微分方程中生存空間的概念，我們有如下三個(gè)定義：

依賴區(qū)間：

決定區(qū)域：

影響區(qū)域：

接下來(lái)我們看一個(gè)例題：

此題最大的特點(diǎn)就是x的區(qū)間不再是整個(gè)實(shí)數(shù)R，而是受到了一定的限制，而我們的做法就是先不考慮這限制，解出解來(lái)在考慮這限制帶來(lái)的額外條件。

解法如下：

思路就是先設(shè)出無(wú)限制條件后兩個(gè)函數(shù)的延拓，解出延拓與原函數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)邊界條件得到相容性條件即可（為了使得解具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)）。

以上均是f=0的情況，而對(duì)于f不為0，如下圖：

我們有如下操作：

我們可以發(fā)現(xiàn)，這種做法類似于在數(shù)學(xué)分析中積分的構(gòu)建和實(shí)分析中變差函數(shù)的構(gòu)建。

那么現(xiàn)在問(wèn)題是怎么具體求表達(dá)式，只需要利用變量替換將（2.34）換成我們熟知的方程

就能利用達(dá)朗貝爾公式得到

代回可以得到：

其中G為下圖：

我們亦可以驗(yàn)證此解的合理性：