在之前的專欄中, 我們推導(dǎo)了一些, 常用的三角函數(shù)的公式, 并討論了這些公式的應(yīng)用. 這期專欄中, 我們討論反三角函數(shù).

15. 反正切函數(shù)

利用單位圓, 可以得出如下結(jié)論:

對(duì)于 ?

使得

并且, 這樣的 是唯一的.

在這種情況下, 我們定義反正切函數(shù):

其中, "arc" 是表示圓弧的單詞的縮寫;

我們可以將 arctan x 理解為, 正切等于 x 的角, 在單位圓內(nèi)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng):

反正切函數(shù)的作用, 是根據(jù)正切求角, 例如,

已知? , 且? , 則

于是, 我們就求出 ?.

如果不限定 ?的范圍, 那結(jié)果就不唯一.

我們平常用三角函數(shù), 是由角得到長(zhǎng)度的比值關(guān)系; 而反三角函數(shù), 則用于完成其逆過程.

對(duì)于反正切函數(shù), 直接求導(dǎo)比較困難, 需要用反函數(shù)求導(dǎo)的方法,

所以,

反正切函數(shù), 可以展開成冪級(jí)數(shù)的形式,

我們考慮如下等式:

當(dāng)? 時(shí),

注意, 左側(cè)是 arctan 的導(dǎo)函數(shù), 所以

令 x = 0, 可知 C = 0, 所以

注意, 該展開式的適用范圍, 是

求這個(gè)范圍, 需要用到無窮級(jí)數(shù)的知識(shí), 這里不做討論.

如果我們, 需要在這個(gè)范圍之外, 展開反正切函數(shù), 那就需要代數(shù)變換,?

∵?

∴?

∴?

于是, 對(duì)于? 的情況, 我們可以這樣計(jì)算:

16. 反正弦函數(shù)

對(duì)

使得

于是, 我們定義反正弦函數(shù):

同樣地 , 對(duì)于每一個(gè) x, 這樣的 θ 都是唯一的.

根據(jù)定義直接求導(dǎo), 是很麻煩的, 所以, 我們利用反函數(shù)的性質(zhì),

所以,

17. 反余弦函數(shù)

對(duì)于?

使得?

并且,?對(duì)每個(gè) 來說, 這樣的? 是唯一的.

由此, 我們定義反余弦函數(shù):

反余弦的導(dǎo)數(shù)的求法, 和反正弦類似, 我就不再啰嗦啦.

不過, 有一個(gè)更簡(jiǎn)單的辦法:

設(shè)???

則?? ?

由此得出

常用的反三角函數(shù), 只有?arctan, arcsin, arccos 這 3 個(gè),?對(duì)于另外的 3 個(gè)三角函數(shù), 一般不研究其反函數(shù).

關(guān)于三角函數(shù)的公式, 我暫時(shí)就寫到這里.

如果大家有問題, 可以隨時(shí)反饋, 我會(huì)盡量更新的. ^_^