【種花家務·代數(shù)】1-3-06整式的乘法『數(shù)理化自學叢書6677版』

2023-09-22 11:18 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教中學甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠對偶平衡；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第三章整式? ?

§3-6整式的乘法

1、同底數(shù)的冪的乘法

【01】讓我們計算：a3·a2，這里我們要做的是乘法。兩個相乘的代數(shù)式叫做因式，求得的結果叫做積。這里的兩個因式都是以 a 做底數(shù)的冪，一個是 a 的三次冪，另一個是 a 的二次冪。因為這兩個冪的底數(shù)相同，我們把這兩個冪叫做同底數(shù)的冪，這個乘法叫做同底數(shù)的冪的乘法。

【02】我們先復習一下冪的意義.，a3 的意義是 a·a·a，a2 的意義是 a·a? 。因此 a3·a2＝(a·a·a)·(a·a)? 。再根據乘法的結合律，(a·a·a)·(a·a) 與 a·a·a·a·a 是相等的，而 a·a·a·a·a 可以寫成冪的形式a?，于是有?a3·a2＝(a·a·a)·(a·a) ＝a·a·a·a·a＝a?? 。

【03】同樣，b?·b?＝(b·b·b·b)(b·b·b·b·b)＝b·b·b·b·b·b·b·b·b＝b?? 。

【04】從這兩個例子，我們可以看出，兩個同底數(shù)的冪的乘積還是這個底數(shù)的冪，它的指數(shù)等于兩個因式的指數(shù)的和。

【05】例如：a3·a2＝a3?2＝a?；b?·b?＝b???＝b?? 。

【06】同樣地，x?·x?=x???=x13；y12o·y2o1=y12o?2o1=y321? 。

【07】一般地說， $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0Aa%5E%7Bm%7D%5Ccdot%20a%5E%7Bn%7D%26%20%3D(%5Cunderbrace%7Ba%5Ccdot%20a%5Ccdot%20a%5Ccdots%20a%7D_%7Bm%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7D%20)%20(%20%5Cunderbrace%20%7B%20a%20%5Ccdot%20a%20%5Ccdot%20a%20%5Ccdots%20a%20%7D_%7Bn%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7D%20)%3D%5Cunderbrace%7Ba%5Ccdot%20a%5Ccdot%20a%5Ccdot%20a%5Ccdot%20a%5Ccdots%20a%7D_%7B(m%2Bn)%E4%B8%AA%7D%3Da%5E%7Bm%2Bn%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$ ? 。

【08】這樣，我們就得到同底數(shù)的冪的乘法法則：同底數(shù)的兩個冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即 $a%5Em%C2%B7a%5En%3Da%5E%7Bm%2Bn%7D$ （m，n是自然數(shù)）。

【注意】在本章里，遇到一個冪的指數(shù)用字母表示的時候，都假定它是表示某一個自然數(shù)。

例1.化簡：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cquad%20a%5E%7B36%7D%C2%B7a%5E%7B54%7D%3B%5Cquad%5Cquad(2)%5Cquad%20a%5E%7B5%7D%C2%B7a%5E%7B5%7D%3B%5Cquad%5Cquad(3)%5Cquad%20a%5E%7B8%7D%C2%B7a%3B%5C%5C%26(4)%5Cquad%20b%5Ccdot%20b%5E%7B39%7D%3B%5Cquad%5Cquad%5C%3B%5C%3B%5C%2C(5)%5Cquad%20a%5E%7Bm%7D%C2%B7a%5E%7B2n%7D%3B%5C%3B%5C%2C%5Cquad(6)%5Cquad%20a%5E%7B5m%7D%C2%B7a%3B%5C%5C%26(7)%5Cquad%20a%5E3%C2%B7a%5E7%C2%B7a%5E5%3B%5Cquad%5C%2C%5C%2C(8)%5Cquad%20a%5E%7B2m%7D%C2%B7a%5En%C2%B7a%5E%7Bm%2Bn%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5Cquad%20a%5E%7B36%7D%C2%B7%20a%5E%7B54%7D%3Da%5E%7B36%2B54%7D%3Da%5E%7B90%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(2)%5Cquad%20a%5E5%C2%B7%20a%5E5%3Da%5E%7B5%2B5%7D%3Da%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(3)%5Cquad%20a%5E8%C2%B7%20a%3Da%5E%7B8%2B1%7D%3Da%5E9%3B%5C%5C%0A%26%26(4)%5Cquad%20b%C2%B7%20b%5E%7B30%7D%3Db%5E%7B1%2B30%7D%3Db%5E%7B31%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(5)%5Cquad%20a%5Em%C2%B7%20a%5E%7B2n%7D%3Da%5E%7Bm%2B2n%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(6)%5Cquad%20a%5E%7B5m%7D%C2%B7%20a%3Da%5E%7B5m%2B1%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(7)%5Cquad%20a%5E3%C2%B7%20a%5E7%C2%B7%20a%5E5%3Da%5E%7B3%2B7%2B5%7D%3Da%5E%7B15%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(8)%5Cquad%20a%5E%7B2m%7D%C2%B7%20a%5En%C2%B7%20a%5E%7Bm%2Bn%7D%3Da%5E%7B2m%2Bn%2Bm%2Bn%7D%3Da%5E%7B3m%2B2n%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【注意】a 就是a1，∴ a?·a＝a?，不是 a?? 。a?·a2?＝a??2?，不是 a2??? 。

習題3·6(1)

化簡下面各題：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccccc%7D1.%26x%5E7%5Ccdot%20x%5E8.%262.%26x%C2%B7x%5E3.%263.%26x%5E5%C2%B7x%5E7%C2%B7x%5E%7B16%7D.%5C%5C4.%26x%5E5%5Ccdot%20x%5Ccdot%20x%5E2.%265.%26x%5Ea%5Ccdot%20x%5Eb%5Ccdot%20x%5Ec.%266.%26x%5Ea%C2%B7x.%5C%5C7.%26x%5E%5Cmathbf%7Ba%7D%5Ccdot%20x%5Ea.%268.%26x%5Ea%5Ccdot%20x%5Ea%5Ccdot%20x.%269.%26a%5En%5Ccdot%20a%5En%5Ccdot%20a%5E%7B2n%7D%5Ccdot%20a%5E2.%5C%5C10.%26x%5E%5Cmathbf%7Ba%7D%5Ccdot%20x%5E%7B2b%7D%5Ccdot%20x.%26%26%26%26%5Cend%7Barray%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccccccc%7D1.%26x%5E%7B15%7D%3B%262.%26x%5E4%3B%263.%26x%5E%7B28%7D%3B%264.%26x%5E8%3B%265.%26x%5E%7Ba%2Bb%2Bc%7D%3B%5C%5C6.%26x%5E%7Ba%2B1%7D%3B%267.%26x%5E%7B2a%7D%3B%268.%26x%5E%7B3a%2B1%7D%3B%269.%26a%5E%7B4a%2B2%7D%3B%2610.%26x%5E%7Ba%2B2b%2B1%7D.%5Cend%7Barray%7D$

2、單項式乘以單項式

【09】利用同底數(shù)冪的乘法法則，我們可以很方便地做單項式和單項式的乘法。例如，如果我們要計算 (3a3x2)·(－5ax3y2)，應用乘法交換律和乘法結合律，我們可以把兩個單項式里的數(shù)字因數(shù)結合成一組，把同底數(shù)的冪的各個因式也結合成一組，再應用同底數(shù)冪的乘法法則，就得到 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A(3a%5E3x%5E2)%C2%B7(-5ax%5E3y%5E2)%26%20%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D3%C2%B7(-5)%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cleft(a%5E3%C2%B7a%5Cright)%5Cleft(x%5E2x%5E3%5Cright)y%5E2%20%3D-15a%5E%7B3%2B1%7Dx%5E%7B2%2B3%7Dy%5E%7B2%7D%3D-15a%5E%7B4%7Dx%5E%7B5%7Dy%5E%7B2%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【10】一般地說，做單項式和單項式的乘法，可以應用下面的單項式乘以單項式的法則：單項式乘以單項式，只要把它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，把相同字母的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)寫在積里。

例2.計算：

$%0A%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cquad(a)(-b)%3B%5Cquad(2)%5Cquad(-a%5E2)(-ab)%3B%5C%5C%26(3)%5Cquad(-5a%5E3b%5E2c)%C2%B7(-7a%5E2b%5E4c%5E3d)%3B%5C%5C%26(4)%5Cquad(%5Cfrac23x%5E3y%5E5.)%C2%B7(-%5Cfrac95xy%5E3z%5E2)%3B%5C%5C%26(5)%5Cquad(3a%5Emb%5En)%C2%B7(-2a%5E%7B3m%7Db).%5Cend%7Baligned%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(1)%5Cquad(a)(-b)%3D-ab%3B%5C%5C%26(2)%5Cquad(-a%5E2)(-ab)%3D%2Ba%5E3b%3B%5C%5C%26(3)%5Cquad(-5a%5E3b%5E2c)%C2%B7(-7a%5E2b%5E4c%5E3d)%3D%2B35a%5E5b%5E6c%5E4d%3B%5C%5C%26(4)%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx%5E3y%5E5%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(-%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7Dxy%5E3z%5E2%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7Dx%5E4y%5E8z%5E2%3B%5C%5C%26(5)(3a%5Emb%5En)%5Ccdot(-2a%5E%7B3m%7Db)%3D-6a%5E%7B4m%7Db%5E%7Bn%2B1%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

習題3-6(2)

計算(1~16)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%261%E3%80%81(%2Ba)(%2Bb).%5C%5C%262%E3%80%81(-c)(-d).%5C%5C%263%E3%80%81(%2Bm)(-n).%5C%5C%264%E3%80%81(%2B2a)(-b).%5C%5C%265%E3%80%81(3x%5E3)(2x%5E2).%5C%5C%266%E3%80%81(%2B6y%5E3)(-3y).%5C%5C%267%E3%80%81(-6a%5E4)%5CBig(-%5Cfrac12a%5E3%5CBig).%5C%5C%268%E3%80%81(%2B5a%5E2b%5E3)(-6a%5E5b%5E2c).%5C%5C%269%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac23x%5E3y%5E4%5Cright)%5CBig(-%5Cfrac45x%5E2y%5E5z%5CBig).%5C%5C%2610%E3%80%81(-6x%5E3)(-6x%5E3).%5C%5C%2611%E3%80%81(-0.6a%5E3b%5E2c)%5Ccdot(%2B0.5a%5E3b%5E3).%5C%5C%2612%E3%80%81(0.1a%5E2b%5E3)%5Ccdot(0.2ab%5E4).%5C%5C%2613%E3%80%81(%2B5a%5E2b%5E3)(-4a%5E3bc)%5Ccdot(-5ab%5E2).%5C%5C%2614%E3%80%81(-3x)%5CBig(-%5Cfrac23x%5E2y%5CBig)%5CBig(-%5Cfrac34y%5E3z%5E2%5CBig).%5C%5C%2615%E3%80%81(-3x%5E4)(%2B3x).%5C%5C%2616%E3%80%81(-8x%5E3)(-9x%5E%7Bn-3%7D)%5Cquad(n%5Ctext%7B%20%E6%98%AF%E5%A4%A7%E4%BA%8E%203%20%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%7D).%5C%5C%2617%E3%80%81%5Ctext%7B%E6%8A%8A%7D%5B-3(a-b)%5E2%5D%5Ctext%7B%5B%7D%2B2(a-b)%5E3%5D%5B-%5Cfrac23(a-b)%5D%5Ctext%7B%E5%8C%96%E6%88%90%20%7Dk(a-b)%5En%5Ctext%7B%20%E7%9A%84%7D%5Ctext%7B%E5%BD%A2%E5%BC%8F%7D.%5C%5C%2618%E3%80%81%5Ctext%7B%E6%8A%8A%7D(-5%5Ctimes10%5E5)%5Ccdot(-3%5Ctimes10%5E6)(-5%5Ctimes10%5E4)%5Ctext%7B%20%E5%8C%96%E6%88%90%20%7Dk%5Ctimes10%5En%5Ctext%7B%20%E7%9A%84%E5%BD%A2%E5%BC%8F%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D15.-9x%5E%7Ba%2B1%7D%3B%5C%3B16.%5C%3B72x%5En%3B%5C%3B17.%5C%3B4(a-b)%5E%7B6%7D%3B%5C%3B18.-75%C3%9710%5E%7B15%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

3、多項式與單項式相乘

【11】應用乘法對于加法的分配律和單項式乘以單項式的法則，我們還可以方便地做多項式與單項式相乘的乘法。例如計算 m(a＋b＋c)；根據乘法對于加法的分配律，就得 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc? 。

【12】同樣地，我們要計算 (a＋b＋c)m，根據乘法對于加法的分配律，就得 (a＋b＋c)m＝am＋bm＋cm? 。

【13】單項式與多項式相乘的法則：單項式與多項式相乘，只要把多項式的各項乘以單項式，然后把各個積相加。

例3.求多項式 3x2－2ax＋5a2 與單項式－5ax 的積。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26(3x%5E2-2ax%2B5a%5E2)%C2%B7(-5ax)%5C%5C%26%3D3a%5E2(-5ax)%2B(-2ax)(-5ax)%2B(5a%5E3)(-5ax)%5C%5C%26%3D-15ax%5E3%2B10a%5E2x%5E2-25a%5E3x.%5Cend%7Baligned%7D$

例4.求單項式 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5E2b$ 與多項式 $%5Cscriptsize%5Cfrac23a%5E2-%5Cfrac12ab-b%5E2$ 的積。

【解】 $%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cleft(%5Cfrac12a%5E2b%5Cright)%26%7B%5Cleft(%5Cfrac23a%5E2-%5Cfrac12ab-b%5E2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac13a%5E4b-%5Cfrac14a%5E3b%5E2-%5Cfrac12a%5E2b%5E3.%5Cend%7Baligned%7D$

例5.化簡：x(x－y－z)＋y(x＋y－z)－z(－x－y＋z)? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26x(x-y-z)%2By(x%2By-z)-z(-x-y%2Bz)%5C%5C%26%3Dx%5E2-xy-xz%2Bxy%2By%5E2-yz%2Bxz%2Byz-z%5E2%5C%5C%26%3Dx%5E2%2By%5E2-z%5E2.%5Cend%7Baligned%7D$

習題3-6(3)

計算，并整理(1~13)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81(2a-b%2B3c)d.%5C%5C%0A%26%262%E3%80%812a(4a-2b%2B3c).%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81(2x-x%5E2%2Bx%5E3%2B3)(-3x).%5C%5C%0A%26%26%0A4.%E3%80%81(x%5E3-xy%5E2%2By%5E3)(-2xy).%5C%5C%0A%26%26%0A5%E3%80%81(3x%5E%7B2%7D-5y%5E%7B2%7D%2B4z%5E%7B2%7D)(2x%5E%7B2%7Dy).%20%5C%5C%0A%26%26%0A6%E3%80%81(-4xy%5E%7B2%7D%2B5x%5E%7B2%7Dy%2B8x%5E%7B3%7D)(-3xy%5E%7B2%7D).%20%5C%5C%0A%26%26%0A7%E3%80%81(-9a%5E%7B5%7D-3a%5E%7B3%7Db%5E%7B2%7D-4a%5E%7B2%7Db%5E%7B3%7D-b%5E%7B5%7D)(-3ab%5E%7B3%7D).%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Da%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7Db-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7Dc%5Cright)%5Cbiggl(-%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7Dabc%5Cbiggr).%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5E%7B2%7D-2a%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cbiggr)%5Cbiggl(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5Cbiggr).%5Cright.%20%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7Dx%5E2-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Dx-9%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7Dxy%5Cright).%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81%5Cleft(1%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Da%5E2%2Bab-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Db%5E2%5Cright)%5Cleft(-1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Da%5E2b%5E2%5Cright).%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81(x%5Emy-2x%5Eny%2B6x%5E%7B2n%7Dy)(4xy).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81(7x%5Eay%5Ebz%5Ec-9xyz)(-x%5Eay%5Ebz%5Ec).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

化簡下列各式(14~18)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%2614%E3%80%814(x-y%2Bz)-2(x%2By-z)-3(-x-y-z).%20%5C%5C%0A%2615%E3%80%812(x%5E%7B2%7D-2xy%2By%5E%7B2%7D)%2B3(x%5E%7B2%7D-y%5E%7B2%7D)-(x%5E%7B2%7D%2B2xy%2By%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%2616%20%E3%80%812a(a%5E%7B2%7D-ab-b%5E%7B2%7D)-3ab(4a-2b)%2B2b(7a%5E%7B2%7D-4ab%2Bb%5E%7B2%7D).%20%20%5C%5C%0A%2617%E3%80%81x-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(x%2B1)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(x-1)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D(x-2).%20%20%5C%5C%0A%2618%E3%80%814x-2(x-3)-3%5Bx-3(4-2x)%2B8%5D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%2611.-2a%5E4b%5E2-%5Cfrac43a%5E3b%5E3%2B%5Cfrac45a%5E2b%5E4%3B%5C%5C%0A%26%2612.%5C%3B4x%5E%7Bm%2B1%7Dy%5E2-8x%5E%7Bn%2B1%7Dy%5E2%2B24x%5E%7B2n%2B1%7Dy%5E2%3B%5C%5C%0A%26%2613.-7x%5E%7B2n%7Dy%5E%7B2h%7Dz%5E%7B2o%7D%2B9x%5E%7Bn%2B1%7Dy%5E%7Bh%2B1%7Dz%5E%7Bc%2B1%7D%3B%5C%5C%0A%26%2614%5C%3B5x-3y%2B9z%3B%5C%5C%0A%26%2615%5C%3B4x%5E2-6xy-2y%5E2%3B%5C%5C%0A%26%2616%5C%3B2a%5E3-4ab%5E2%2B2b%5E3%3B%5C%5C%0A%26%2617%5C%3Bx-%5Cfrac%7B7%7D%7B6%7D%3B%5C%5C%0A%26%2618.-19x%2B18.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

4、多項式乘以多項式

【14】應用乘法對于加法的分配律和多項式與單項式相乘的法則，我們就可以做多項式乘以多項式的乘法。例如，要計算 (a＋b)(x＋y)，我們先把 a＋b 這個二項式看作一個整體，把 x＋y 看做一個二項式，各項分別與 a＋b 相乘，根據乘法對于加法的分配律，可得 (a＋b)(x＋y)＝(a＋b)x＋(a＋b)y? 。

【15】再根據多項式乘以單項式的法則，得 (a＋b)x＋(a＋b)y＝ax＋bx＋ay＋by? 。

【16】多項式乘以多項式的法則：多項式乘以多項式，只要把一個多項式的所有各項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，有同類項要加以合并。

例6.求多項式 a－b 與 x－y 的積。

【解】(a－b)(x－y)＝ax－ay－bx＋by? 。

【說明】先拿 (a－b) 的第一項 a 分別與 (x－y) 的各項相乘，得 ax－ay，再拿 (a－b) 的第二項－b 分別與 (x－y) 的各項相乘，得－bx＋by，再把這兩個積相加。我們也可以先拿 x 與 a－b 相乘，再拿－y 與 a－b 相乘，再相加，結果是一樣的。

例7.求 (x－3)(x－5) 的積。

【解】(x－3)(x－5)＝x2－3x－5x＋15＝x2－8x＋15? 。

例8.計算：(x2－3x－5)(x－3)? 。

【解】(x2－3x－5)(x－3)＝x3－3x2－5x－3x2＋9x＋15＝x3－6x2＋4x＋15? 。

習題3-6(4)

計算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261%E3%80%81(a%2Bb)(c%2Bd).%20%5C%5C%0A%26%262%E3%80%81(a-b)(c-d)%5C%5C%26%26%0A3%E3%80%81(a%2Bb)(c-d).%20%5C%5C%0A%26%26%0A4%E3%80%81(a-b)(c%2Bd).%5C%5C%26%26%0A5%E3%80%81(-a%2Bb)(-c%2Bd).%20%5C%5C%0A%26%26%0A6%E3%80%81(-a-b)(-c-d).%5C%5C%0A%26%26%0A7%E3%80%81%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x%2B5%5Cright).%20%5C%5C%0A%26%26%0A8%E3%80%81(x-12)(x%2B16).%5C%5C%0A%26%26%0A9%E3%80%81(x%2B8)(x-13).%5C%5C%0A%26%26%0A10%E3%80%81(x-15)(x-14).%5C%5C%0A%26%26%0A11%E3%80%81(2x%2B3)(3x-5).%5C%5C%0A%26%26%0A12%E3%80%81(3x-3)(2x-5).%5C%5C%0A%26%26%0A13%E3%80%81(5a%2B8)(6a%2B7).%5C%5C%0A%26%26%0A14%E3%80%81(-2a%2B4)(-5a-6).%5C%5C%0A%26%26%0A15%E3%80%81(a%2Bb)(a%2Bb).%5C%5C%0A%26%26%0A16%E3%80%81(a-b)(a-b).%5C%5C%0A%26%26%0A17%E3%80%81(a%2Bb)(a-b).%26%5C%5C%0A%26%26%0A18%E3%80%81(x%2By)(x-y).%5C%5C%0A%26%26%0A19%E3%80%81(a%5E2%2Ba%2B3)(a-2).%5C%5C%0A%26%26%0A20%E3%80%81(x%5E2-2x-3)(x%2B4).%5C%5C%0A%26%26%0A21%E3%80%81(a%5E2%2Bab%2Bb%5E2)(a-b).%5C%5C%0A%26%26%0A22%E3%80%81(a%5E2-ab%2Bb%5E2)(a%2Bb).%5C%5C%0A%26%26%0A23%E3%80%81(x%5E4%2Bx%5E2%2B1)(x%5E2-1).%5C%5C%0A%26%26%0A24%E3%80%81(x%5E4-x%5E2%2B1)(x%5E2%2B1).%5C%5C%0A%26%26%0A25%E3%80%81(3a%5E2-5a%2B4)(2a%5E2-7).%5C%5C%0A%26%26%0A26%E3%80%81(2x%5E2%2B3x-5)(x%5E2%2B4).%5C%5C%0A%26%26%0A27%E3%80%81(x%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5CBig)%5CBig(x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5CBig).%5C%5C%0A%26%26%0A28%E3%80%81(x%5E2-0.3x-0.5)(x-0.2)%2C%5C%5C%0A%26%26%0A29%E3%80%81(3x%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-4%5CBig)%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-5%5CBig).%5C%5C%0A%26%26%0A30%E3%80%81(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E2-5x-4)%5CBig(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5CBig).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%2625%E3%80%816a%5E4-10a%5E3-13a%5E2%2B35a-28%3B%20%5C%5C%0A%26%2626%E3%80%812x%5E%7B4%7D%2B3x%5E%7B3%7D%2B3x%5E%7B2%7D%2B12x-20%3B%5C%5C%0A%26%2627%E3%80%81x%5E%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%3B%20%5C%5C%0A%26%2628%E3%80%81x%5E%7B3%7D-0.5x%5E%7B2%7D-0.44x%2B0.1%3B%5C%5C%0A%26%2629%E3%80%81%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E%7B3%7D-17x%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7Dx%2B20%3B%20%5C%5C%0A%26%2630%E3%80%81%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E%7B4%7D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7Dx%5E%7B3%7D-2%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7Dx%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

5、多項式乘法的直式運算

【17】在多項式乘法里，如果兩個因式的項數(shù)都比較多時，橫式的寫法在合并同類項時，容易搞錯。我們也可以象算術里做乘法一樣用直式的寫法來進行演算，舉例如下：

例9.用直式演算：(－5x＋3x2＋4)(－5＋3x)? 。

【解】

【說明】我們來說明上面這個演算的步驟：

????????(1)先把第一個因式按照 x 的降冪排好，成為 3x2－5x＋4 寫在第一排。

????????(2)再把第二個因式也按照 x 的降冪排好，成為 3x－5，寫在第二排，使左邊第一項對齊。

????????(3)以第二個因式的第一項 3x 乘第一個因式的各項，得 9x2－15x2＋12x，寫在橫線的下面，作為積的第一個部分。

????????(4)以第二個因式的第二項－5 乘第一個因式的各項，得－15x2＋25x－20，是積的另一部分，寫在積的第二排，并且把這個多項式的各項和第一排的多項式里的同類項分別對齊（如果第二個因式還有第三項、第四項等，依次寫在下面，都要使同類項上下對齊）。

????????(5)把各排的部分積相加，就得最后的乘積。

例10.用直式演算：(3x3－5x2＋2x－6)(2x3＋3x2－5x－7)? 。

【解】

答：積是 6x?－x?－26x?－2x3＋7x2＋16x＋42? 。

【注】代數(shù)乘法的直式寫法，與算術乘法的直式寫法，有下列不同點：

????????(1)算術的寫法是兩個因數(shù)右面?zhèn)€位數(shù)對齊，代數(shù)的寫法是兩個因式的左面第一項對齊；

????????(2)算術乘法一般從右到左地進行計算，但是代數(shù)乘法一般要從左到右地進行計算。

例11.求積：(3x?－2x3＋x－3)(4x3－x2＋5)? 。

【解】

答：積是 12x?－3x?－8x?＋21x?－13x3－7x2＋5x－15? 。

【說明】第二個因式 3x?－2x2＋x－3，依照 x 的降冪排列時，缺 x3 這一項，在列式時，要留出這一項的空白地位，在第一排乘積中，就留出項的地位，至于第二個因式 4x3－x2＋5 也缺少 x 這一項，卻可以不空，不過在乘得的各積時，必須注意對齊同類項，否則合并同類項時就不方便，失去直式乘法的作用了。

例12.求積：(2ab－b2＋a2)·(a2－b2－2ab)? 。

【解】這里有兩個字母 a，b，依照 a 的降冪排列，

答：積是 a?－6a2b2＋b?? 。

例13.計算：(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)(b＋a＋c)? 。

【解】這題的第一個因式有三個字母 a,b,c，依照 a 的降冪排列時 a 的一次項有二項－ab 與－ac，沒有 a 的項有三項＋b2，＋c2，－bc，我們可以在 a 的冪相同的各項內，按照 b 的降冪排列，就得

【注1】為了書寫上的方便，最后寫出結果時，也可以簡單地寫做：原式＝a3－3abc＋b3＋c3? 。

【注2】所算得的積也可以將三個三次冪排在前面，按照 a,b,c 的次序排列，寫做 a3＋b3＋c3－3abc? 。

習題3-6(5)

求下列的乘積，用直式演算(1~5)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81(3x%5E%7B2%7D-5x-8)(x-3).%20%20%5C%5C%0A%26%202%E3%80%81(x%5E%7B2%7D-4x%2B3)(3x%5E%7B2%7D-5x-8).%20%20%5C%5C%0A%263%20%E3%80%81(2x%5E3%2B4x%5E2%2B5x%2B10)(4x-3)%E3%80%82%20%20%20%5C%5C%0A%264%E3%80%81(x%5E%7B3%7D%2B4x%5E%7B2%7D%2B5x-24)(x%5E%7B2%7D-5x%2B7)%E3%80%82%20%20%5C%5C%0A%265%E3%80%81(x%5E%7B4%7D%2B2x%5E%7B3%7D%2Bx%5E%7B2%7D-4x-11)(x%5E%7B2%7D-2x%2B3).%0A%5Cend%7Baligned%7D$

求下列的乘積，用直式演算（要注意先按字母的降冪排列）(6~8)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%266%E3%80%81(x%5E2-5%2B3x%5E3-2x)(6%2Bx%5E2-5x).%5C%5C%267%E3%80%81(5x-4%2B7x%5E2%2B2x%5E3)(6x%5E2%2Bx%5E3-3%2B2x).%5C%5C%268%E3%80%81(3x%2Bx%5E3-2x%5E2-4)(2x%2B4x%5E3%2B3x%5E2%2B1).%5Cend%7Baligned%7D$ 6(2－5＋3x3x2a)(6＋x2－5a).

用直式演算下列乘法（注意按冪排列時有缺項）(9~10)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%26%269.(x%5E3-x%2B5)(3%2Bx).%5C%5C%26%2610.(3x%5E2%2B5x%5E4-x-4)(x%5E3-3x%2B4).%5Cend%7Beqnarray%7D$

用直式演算(11~20)：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%2611%E3%80%81%20(x%5E4%2Bx%5E3%2Bx%5E2%2Bx%2B1)(x-1).%20%5C%5C%0A%26%2612%E3%80%81(x%5E2%2Bxy%2By%5E2)(x%5E2-xy%2By%5E2).%20%20%5C%5C%0A%26%2613%E3%80%81%20(a%5E2-ab%2B2b%5E2)(a%5E2-b%5E2).%20%20%5C%5C%0A%26%2614%E3%80%81%20(4x%2B2y-3z)(4x-2y%2B3z).%20%5C%5C%0A%26%2615%E3%80%81(a%5E3-a%5E2b-b%5E3)(a%5E2-ab%2Bb%5E2).%5C%5C%0A%26%2616%E3%80%81(6a%5E5b%2B3a%5E2b%5E4-2ab%5E5%2Bb%5E6)(4a%5E4-2ab%5E3-3b%5E4)_%5Cbullet%5C%5C%0A%26%2617%E3%80%81(x%5E5-x%5E4y%2Bx%5E3y%5E2-x%5E2y%5E3%2Bxy%5E4-y%5E5)(x%2By).%5C%5C%0A%26%2618%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Da%5E3-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Da%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B8%7D%7B15%7Da%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7Da%5E2-%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cright).%5C%5C%0A%26%2619%E3%80%81(x%5E2%2B1%2By%2Bx%2By%5E2-xy)(y-1%2Bx).%5C%5C%0A%26%2620%E3%80%81(y%5E2%2Bx%5E2%2Bz%5E2-yz-zx-xy)(y%2Bz%2Bx).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

【答案】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%266%E3%80%813x%5E5-14x%5E4%2B11x%5E3%2B11x%5E2%2B13x-%5Cmathbf%7B3%7D0%3B%5C%5C%0A%26%267%E3%80%812x%5E6%2B19x%5E5%2B51x%5E4%2B34x%5E3-35x%5E2%2B23x%2B12%3B%5C%5C%0A%26%268%E3%80%814x%5E6-5x%5E5%2B8x%5E4-10x%5E3-8x%5E2-5x-4%3B%5C%5C%0A%26%269%E3%80%81%20x%5E4%2B3x%5E3-x%5E2%2B2x%2B15%3B%5C%5C%0A%26%2610%E3%80%815x%5E7-12x%5E5%2B19x%5E4-13x%5E3%2B15x%5E2%2B8x-16%3B%5C%5C%0A%26%2615%E3%80%81a%5E5-2a%5E4b%2B2a%5E3b%5E2-2a%5E2b%5E3%2Bab%5E4-b%5E5%3B%5C%5C%0A%26%2616%E3%80%8124a%5E9b-26a%5E5b%5E5%2B4a%5E4b%5E6-6a%5E3b%5E7-5a%5E2b%5E8%2B4ab%5E9-3b%5E%7B10%7D%3B%5C%5C%0A%26%2617%E3%80%81x%5E6-y%5E6%3B%5C%5C%0A%26%2618%E3%80%81%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7Da%5E%7B6%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B20%7Da%5E%7B5%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7Da%5E%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B67%7D%7B360%7Da%5E%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7Da%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Da-%5Cfrac%7B5%7D%7B27%7D%3B%5C%5C%0A%26%2619%E3%80%81x%5E%7B3%7D%2B3xy%2By%5E%7B3%7D-1%3B%5C%5C%0A%26%2620%E3%80%81x%5E%7B3%7D%2By%5E%7B3%7D%2Bz%5E%7B3%7D-3xyz.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D%0A%0A$

標簽：

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【種花家務·代數(shù)】1-3-06整式的乘法『數(shù)理化自學叢書6677版』

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