法國數(shù)學(xué)家André Weil是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他的研究涉及諸多數(shù)學(xué)領(lǐng)域，主要集中于在數(shù)論和代數(shù)幾何。他是數(shù)學(xué)界的傳奇人物，創(chuàng)建了布爾巴基學(xué)派，并幾乎見證了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展。本文為著名數(shù)學(xué)Jean-Pierre Serre（三大數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主）在Weil去世后為紀(jì)念他所作，主要介紹Weil的學(xué)術(shù)工作。

撰文?|?Jean-Pierre Serre

翻譯?|?馮克勤

校對(duì)?|?戴新生

André Abraham Weil，1906.5.6-1998.8.6

André Weil于1998年8月在普林斯頓去世，終年92 歲，因?yàn)樗蛉?Eveline先離開人世，自己因?yàn)槟昙o(jì)大身體衰弱，他的最后幾年是在憂傷中度過的，死亡對(duì)他來說或許是一種解脫。

法國科學(xué)院要我向諸位介紹他的生平和工作，以表悼念之意。

他于 1906 年生于巴黎一個(gè)猶太人的家庭，父親是醫(yī)生，原籍阿爾薩斯。母親生在俄國，原籍奧地利。他有一個(gè)比他小三歲的妹妹Simone，兄妹一直非常親近，一直到 Simone于1943 年去世。后來Weil曾為出版他妹妹遺留下來的一些文稿而盡力。

人們發(fā)現(xiàn)他的《學(xué)徒回憶》([1991][1])中精彩地?cái)⑹隽怂艿降膰?yán)格和比較傳統(tǒng)的教育，總而言之：對(duì)古典語言（拉丁文、希臘文和梵文）強(qiáng)烈地愛好，并且很有數(shù)學(xué)天賦。這使他在 1922 年十六歲那一年進(jìn)入了高等師范學(xué)校。1925 年畢業(yè)時(shí)通過了法國教師的學(xué)銜考試，盡管理論力學(xué)考試交了白卷，因?yàn)樗X得這不是數(shù)學(xué)的一部分。他去了意大利，以后又到德國，遇到了那個(gè)時(shí)代一些真正優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家：Hilbert，Artin，von Neumann，Siegel。他在 1928 年二十二歲時(shí)完成了學(xué)位論文，后來去印度 Aligarh大學(xué)當(dāng)了兩年教授，印度學(xué)學(xué)者 Sylvain Levi 幫他獲得這個(gè)職位；他在 College de France曾跟Levi學(xué)習(xí)過梵文。后來在1933年到1939年在馬賽和斯特拉斯堡任教。在斯特拉斯堡時(shí)與昔日在師范學(xué)校的朋友（Henri Cartan，Jean Dieudonn，Jean Delsarte等）創(chuàng)建了Bourbaki 小組。1939 年二戰(zhàn)爆發(fā)時(shí)他去了芬蘭；他被當(dāng)作蘇聯(lián)間諜差一點(diǎn)被槍斃，后來他被轉(zhuǎn)到法國監(jiān)禁在Rouen。在對(duì)他的不服兵役加以譴責(zé)之后，他不久獲得自由，在經(jīng)歷了各種驚險(xiǎn)后（都寫在《學(xué)徒回憶》中），他于 1940 年去了美國，居留幾年后又去巴西呆了兩年，一直到 1947 年才得到跟他水平相稱的職位：芝加哥大學(xué)教授。從1958 年起他到普林斯頓高等研究院，在那里度過了他一生的最后四十年，這個(gè)研究院對(duì)他非常合適，給他充分的從事研究與講課的自由（如果他愿意，也可以不講課），也有高水平的教授同事和訪問人員。（他的位置就象我們的College de Erance 一樣是終身的，我一直希望他能在此占據(jù)一個(gè)數(shù)學(xué)講座！但這不是想做就能做到的。)

要想介紹 Weil 的學(xué)術(shù)業(yè)績(jī)，我只需列舉他得到的某些頭銜（或者說是他接受的一些頭銜）他是美國科學(xué)院院士和倫敦皇家學(xué)會(huì)成員，他是 1979 年 Wolf獎(jiǎng)獲得者（同時(shí)得此獎(jiǎng)的是 Jean Leray，比 Henri Cartan早一年得）他于1994 年獲得京都大獎(jiǎng)[2]，最后這個(gè)獎(jiǎng)令他特別感到高興，因?yàn)樗恢焙腿毡緮?shù)學(xué)家保持良好的關(guān)系。

我現(xiàn)在轉(zhuǎn)到正題上來，即介紹他的工作。他在 1926 年于Comptes rendus上發(fā)表了第一篇摘要性文章。在此后的五十年里出版了十二本書，發(fā)表了許多論文，用法文和英文寫成，有的還用德文。這些文章收集在他的三卷數(shù)學(xué)論文集中，Springer出版社于 1979年出版。Weil對(duì)每篇著作都寫了精確的評(píng)論，或解釋這些論文的產(chǎn)生背景。

我不可能按專題對(duì)這些著作加以分類，因?yàn)樯婕暗膶ｎ}太多。當(dāng)然，也可按美國方式列出關(guān)鍵詞：zeta 函數(shù)，Siegel，有理點(diǎn)，阿貝爾簇，……這可能有趣，但不嚴(yán)肅。我覺得唯一的可能是按時(shí)間次序，何況他的選集就是采取的這種方式。

1. 從 1928 年他的學(xué)位論文開始。它屬數(shù)論，更具體說是不定方程，即代數(shù)簇上的有理點(diǎn)。那個(gè)時(shí)代所知道的唯一方法是費(fèi)馬發(fā)明的無窮下降法，使用這種方法總是要進(jìn)行具體的計(jì)算，雖有些奇妙，但缺點(diǎn)是每個(gè)特殊情形都要算。Weil 首先看出在這些計(jì)算的后面有一個(gè)一般的原則，他稱之為“分解定理”。這個(gè)定理在代數(shù)性質(zhì)（原則上比較容易）和算術(shù)性質(zhì)（比較困難）之間實(shí)行某種轉(zhuǎn)換。由此得到了一個(gè)結(jié)果，現(xiàn)在叫作 Mordell-Weil定理：阿貝爾簇在一個(gè)給定數(shù)域上的有理點(diǎn)群是有限生成的，證明很不容易，那時(shí)的代數(shù)幾何還沒能提供必要的工具。幸運(yùn)的是，Weil在師范學(xué)校時(shí)就深入地了解黎曼的著作，用分析工具（theta 函數(shù)）來代替他所缺乏的代數(shù)方法，他最終達(dá)到了目的。

“目的”一詞不夠準(zhǔn)確。事實(shí)上，正如Weil的幾乎所有工作，它涉及一個(gè)“起點(diǎn)”，由此出發(fā)可以解決其它問題，這篇論文引發(fā)的是以下一些問題：

——證明虧格大于0的仿射曲線只有有限個(gè)整點(diǎn)，這是以后由 Siegel 做出的，組合了Weil 的思想和超越數(shù)論中的結(jié)果。

——證明 Mordel 猜想，即虧格大于 1的曲線上只有有限多有理點(diǎn)，這是五十五年后由 Faltings 做出的。

——Mordell-Weil定理，Siegel定理和 Faltings 定理的有效（即明顯）定量結(jié)果。1966-68年期間，Baker只對(duì) Siegel 定理的特殊情形給出有效的定量結(jié)果；對(duì)Mordell-Weil定理和 Faltings定理整個(gè)問題仍未解決（數(shù)論學(xué)者們對(duì)此有極大的興趣）。

2. 在這篇論文之后的幾年里，他為 Mordell 猜想所引導(dǎo)研究了各種線索，其中之一是他在 1938 年所寫的巨著《阿貝爾函數(shù)的推廣》。這篇文章的表達(dá)形式是分析學(xué)，其意義本質(zhì)上是代數(shù)學(xué)，而動(dòng)機(jī)卻是算術(shù)?。ㄈ藗兛梢赃@樣的問：除了Weil 和Siegel之外，有誰在1938年能看懂這篇文章？）這篇文章成功地用于阿貝爾簇，特別是用于曲線的雅柯比簇（Jacobian）。Weil指出應(yīng)當(dāng)從阿貝爾的框架出發(fā)，雅柯比簇將秩為1（和0次）的向量從參數(shù)化（換句話說，要從GL1到GLn，這是他喜歡的一個(gè)主題）。他和其他人只知道解析向量叢，還缺乏代數(shù)向量叢，十二年之后才誕生代數(shù)向量叢（也是由Weil給出的）。這并沒有阻礙Weil，他引進(jìn)了與向量叢等價(jià)的概念，即“矩陣除子類，（追隨黎曼和龐加萊）用分析方法證明了黎曼—洛赫公式和我們現(xiàn)在稱為“對(duì)偶定理”的結(jié)果（也叫作非齊性的黎曼—洛赫定理）多么漂亮的大手筆！但是定義這些叢還不夠，他又研究它們的“參量簇”，用來代替雅柯比簇。從代數(shù)幾何觀點(diǎn)，這是一個(gè)涉及構(gòu)造商簇的重要問題，在二十余年之后由Grothendieck 和Mumford 解決。Weil 只得到部分結(jié)果，大部分沒有證明（但他所揭示的本質(zhì)上是正確的），從而他不能給出任何算術(shù)應(yīng)用。這是失敗嗎？不，因?yàn)樵谑迥旰笏蓪⒗杪搴沼糜谄渌Ｐ蜕?，并由此?gòu)作出的參量簇，在其他問題上的影響也被揭示出來：Donaldson在微分幾何中和 Drinfeld 對(duì)特征p>0的情形所作的工作。

3. 在我所講的1928年-1940年這段時(shí)間，Weil不僅限于研究數(shù)論，下面是他的另一些研究活動(dòng)。

——多變量復(fù)分析，引入一種積分作為柯西積分的推廣，現(xiàn)在稱為Weil積分（1932和1935年）；由此給出Runge定理的推廣：若D是由多項(xiàng)式不等式定義的有界區(qū)域，則D是每個(gè)全純函數(shù)對(duì)于緊收斂拓?fù)涠际嵌囗?xiàng)式的極限。.

——緊微 Lie群理論，用拓?fù)浞椒ǎ↙efschetz公式）證明極大環(huán)面彼此共軛（1935年)。

——p-adic分析（這項(xiàng)研究還處于幼年時(shí)期），定義了p-adic 圓函數(shù)（1936年）。

——拓?fù)鋵W(xué)，定義了一致空間（1937年）。

——在Hermann公司出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書（1940年）。書中以簡(jiǎn)潔的Bourbaki方式闡述了該理論被那個(gè)時(shí)期所接受的兩個(gè)方面：緊群情形（特征的正交關(guān)系）和交換群情形（Pontrjagin對(duì)偶和傅里葉變換）。

4. 現(xiàn)在回到數(shù)論和代數(shù)幾何，講他在1940年的一篇重要的短文。

在1925-1940年期間，德國學(xué)者在Artin和Hasse的推動(dòng)下，在代數(shù)數(shù)域和有限域上的單變量函域（用幾何的語言則是有限域上的曲線）之間發(fā)現(xiàn)值得注意的類似。彼此都有zeta函數(shù)，都可提出“黎曼猜想”。對(duì)于函數(shù)域情形，Hasse 對(duì)虧格為1的情形證明了黎曼猜想。如何解決虧格大于1的情形？Weil于1940年在Rouen時(shí)就看出問題的解決方法：這個(gè)關(guān)于一維代數(shù)簇（即曲線）的問題應(yīng)當(dāng)利用更高維的代數(shù)簇（曲面和阿貝爾簇）以及采用（在復(fù)數(shù)域）拓?fù)浠蚪馕龇椒ㄗC明結(jié)果的方案：他于1940年投到 Comptes rendus的短文一開頭便寫道：

“我在這篇短文中打算概括地?cái)⑹鲇邢抻蛏洗鷶?shù)函數(shù)論中一些主要問題的解法……”

這篇短文只敘述了證明輪廓，所有事情都建立在一個(gè)“重要引理”之上，這個(gè)引理是從意大利幾何學(xué)派那里得到啟發(fā)的，但是怎樣證明它？Weil 認(rèn)識(shí)到需要重新構(gòu)造整個(gè)代數(shù)幾何的定義和基本結(jié)果，特別是相交理論的結(jié)果（所缺少的同調(diào)理論用cycles的計(jì)算來代替）。于是他寫了三百頁（有些枯燥的）的巨著《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》（1946 年）。而在二十年后這本書被 Grothendieck更巨大并且更枯燥的《代數(shù)幾何原理》所代替?！痘A(chǔ)》一書出版之后，Weil 便可證明曲線上的黎曼猜想，結(jié)果發(fā)表在1948年同時(shí)出版的兩本著作《代數(shù)曲線和相關(guān)代數(shù)簇》和《阿貝爾簇與代數(shù)曲線》，經(jīng)過八年和五百多頁的著作，他在 1940 年所寫的短文所提出的目標(biāo)終于得到實(shí)現(xiàn)！

有哪些推論呢？首先，黎曼猜想有許多具體應(yīng)用，,對(duì)于單變量的三角和能給出上界（1948 年）。例如下面的三角和估計(jì)（可用于模型式理論）

其中p為素?cái)?shù)，x過整數(shù) 1, 2, … , p-1，而x'x=1 (mod p)。

此外，Weil不僅建立了代數(shù)幾何的牢固基礎(chǔ)，而且他發(fā)展了平行于利用 theta 函數(shù)的解析理論的阿貝爾簇的代數(shù)幾何理論。阿貝爾簇是他多年來喜歡研究的課題（見他1952，1954，1976和1977年的論文），他還與谷山和志村幾乎同時(shí)獨(dú)立地得到復(fù)乘理論（1955年）。

5. 在曲線工作的指引下，及對(duì)單項(xiàng)式超曲面情形進(jìn)行的具體計(jì)算，他于 1949 年提出了被后人稱為Weil猜想[3]的猜想。這是有限域上非奇異射影代數(shù)簇的一組猜想。它們假設(shè)黎曼，Lefschetz和Hodge等人的拓?fù)浞椒捎玫教卣鱬>0的情形；在這種看法之下，方程模的解數(shù)相當(dāng)于不動(dòng)點(diǎn)數(shù)，從而可用 Lefschetz的公式來計(jì)算。這種思想確實(shí)是革命的，喚起一代數(shù)學(xué)家們的熱情（我可作為直接見證人），這也是隨后多年代數(shù)幾何學(xué)重大進(jìn)步的一個(gè)源頭。這項(xiàng)研究經(jīng)過大約二十五年才完成，貢獻(xiàn)者不是Weil，而主要是Grothendieck 和 Deligne。他們發(fā)展的方法是當(dāng)今代數(shù)幾何中最強(qiáng)有力的。應(yīng)用于其他領(lǐng)域如模型式理論（正如Weil先前所預(yù)測(cè)）和決定有限“代數(shù)”群的特征（Deligne-Lusztig）。

6. Weil 的數(shù)論研究在 1951 年轉(zhuǎn)到類域論。Artin在1927年證明一般互反律之后，類域論具有一種確定的形式。采用 Chevalley 的語言，其主要結(jié)果可以敘述成：數(shù)域K的最大阿貝爾擴(kuò)域的伽羅華群同構(gòu)于商群Ck/Dk，其中Ck是K的idele 類群，而Dk是它的連通分支（這樣，可描述經(jīng)提升或擴(kuò)充后K的一些已知性質(zhì)的情況，正如同有一個(gè)拓?fù)鋪砻枋鲇傻缆返葍r(jià)類所構(gòu)成的復(fù)蓋）。這個(gè)理論不盡人意之處是伽羅華群不是Ck而只是它的商群Ck/Dk。Weil 則提出一個(gè)想法：群Ck本身也應(yīng)是某種意義上的伽羅華群（什么意義？我們不知道）。如果這是對(duì)的，則群Ck應(yīng)當(dāng)有好的函子性質(zhì)（例如，若 L/K 是有限伽羅華擴(kuò)張，則 Gal(L/K) 通過CL應(yīng)當(dāng)有某種正則擴(kuò)充。）人們想到是否可直接證明這些性質(zhì)，而 Weil 做了這件事作為后來的發(fā)展，我還列舉下面一些重要事情：

——研究了CL的上同調(diào)群，這是類域論上同調(diào)方法的起源，由中山，Hochschild，Artin，Tate 等人所發(fā)展。

——定義了新的“Weil”群，由此得到新型的 L函數(shù)，Artin的非阿貝爾L函數(shù)和具有“大特征”的Hecke L 函數(shù)均為其特例。就像Weil所說的，實(shí)現(xiàn)了Artin和Hecke思想之間的聯(lián)合。

7. 不久，Weil于 1952 年發(fā)表了數(shù)論中的“顯公式”，1972 年又加以完備。這個(gè)公式（本質(zhì)上別的專家們似乎也知道）把對(duì)素?cái)?shù)的一些求和公式和對(duì) zeta 函數(shù)零點(diǎn)的另一些求和式聯(lián)系起來。Weil的寫法很有建設(shè)性，比如說，從中明顯看出阿基米德位和非阿基米德位之間的類比，這又是另一個(gè)Weil感興趣的課題。更有趣的結(jié)果是把黎曼猜想歸結(jié)為某個(gè)分布的正性。這種轉(zhuǎn)化是否可用來證明黎曼猜想？現(xiàn)在預(yù)測(cè)還為時(shí)太早。

8. Weil于1940年到1965年還在微分幾何領(lǐng)域做了許多工作，這些工作是：

——與Allendoerfer一起給出并證明了黎曼多面體的Gauss-Bonnet公式（1943年）。

——證明de Rham定理，（1947年給H. Cartan的一封信），全文于1952年發(fā)表。這對(duì)Cartan 的層論觀點(diǎn)有很大影響（層論是Leray開創(chuàng)的）。

——調(diào)和形式和K?hler流形理論（1947年和1958年）。這是解析方法用于代數(shù)幾何的基本工具。

——連絡(luò)理論和引進(jìn)“Weil代數(shù)”（1949年）。

——齊性局部空間和離散群的形變（1960年，1962年和1964年）。對(duì)于秩>1的單李群的商緊離散子群證明了剛性定理。.

9. 在五十和六十年代，Weil在由 Siegel 的工作所啟發(fā)而提出的課題發(fā)表了一系列文章。Weil 在他的選集第二卷第 544 頁所加的評(píng)注中說：“評(píng)論Siegel，對(duì)我來說，是當(dāng)代數(shù)學(xué)家可以承攬的最有益的“任務(wù)”。注意動(dòng)詞“評(píng)論”：這是一個(gè)沒有充分表達(dá)實(shí)情的說法[4]。Weil的工作有:

——在1961年和1962年他系統(tǒng)地發(fā)展了由 Kuga 和玉河引進(jìn)的 adele 方法。不僅重新證明了二次型的 Siegel定理，而且建議了許多新的問題。例如證明單連通群的玉河數(shù)為1（現(xiàn)在我們知道，由于Langlands，黎景輝和Kottwitz的工作，這問題的答案是肯定的）。

——他于1964年和1965年發(fā)表在Acta Mathematica的兩篇重要文章中，對(duì)二次型和Siegel公式采取了新的觀點(diǎn)。他引進(jìn)并研究了一種新的群：metaplectique 群，及這個(gè)群的表示（現(xiàn)在稱為Weil表示）Siegel公式表示成兩個(gè)分布之間的等式，其中一個(gè)是Eisenstein類型的級(jí)數(shù)，而另一個(gè)則是 theta 函數(shù)的平均。這個(gè)結(jié)果不僅限于二次型，Weil 證明它可用于所有典型群。他在這個(gè)領(lǐng)域引進(jìn)局部整體類型的定理（Hasse原則），并且決定出玉河數(shù)。

10. Hecke 的工作也啟發(fā)著 Weil。他在 1947年《數(shù)學(xué)的未來》的一篇文章中已談到歐拉積并說：“把 Hecke 的工作加以透徹的研究，對(duì)于我們進(jìn)行數(shù)論和函數(shù)論的研究是極為重要的?！倍旰螅?967年）他對(duì) Hecke 理論作了決定性的貢獻(xiàn)，證明了：狄里赫利級(jí)數(shù)和它的“扭曲”（tordues）的某些函數(shù)方程可用來刻畫這些級(jí)數(shù)來源于模形式。以數(shù)學(xué)上的精確形式得出對(duì)應(yīng)關(guān)系：

模形式

狄里赫利級(jí)數(shù)。

Hecke證明了→，并且對(duì)level為1的特殊情形證明了←。Weil的新想法是利用torsion。他的理論最有意義之處是給出函數(shù)方程的常數(shù)隨 torsion 的變化方式（即用張量）。

這項(xiàng)工作引起一系列發(fā)展，其中的一些是 Weil 本人作出的（1971年）。正是在這個(gè)地方產(chǎn)生了所謂“Langlands哲學(xué)”。其中一個(gè)結(jié)果是對(duì)于 1955 年由谷山提出的有些含混的猜想給出一個(gè)精確的形式。

根據(jù)這一猜想，Q上的所有圓曲線都應(yīng)當(dāng)是“?！鼻€。而 Weil 則認(rèn)為模形式的“水平”應(yīng)當(dāng)是對(duì)應(yīng)橢圓曲線的“導(dǎo)子”，后者由壞約化性質(zhì)所決定。這個(gè)論斷可以通過計(jì)算加以定量地驗(yàn)證。1995 年 Wiles 在某種技術(shù)限制之下證明了這個(gè)結(jié)果，但沒有最終解決。（譯者注：谷山-Weil 猜想最終被完全證明）[5]。

11. Weil 最后的一些著作與文章是關(guān)于數(shù)學(xué)史的。Weil長期以來對(duì)數(shù)學(xué)史感興趣，Bourbaki的《歷史注記》的某些篇章（特別是第1至3章單變量實(shí)函數(shù)中的微積分部分）可以作證。他的小冊(cè)子《按Eisenstein和Kronecker 的方式論圓函數(shù)》（1976年）即是數(shù)學(xué)著作又是數(shù)學(xué)史著作。他說他是以十分愉快的心情寫成這本書，而這種愉快也傳遞給讀者！后來的著作則是實(shí)實(shí)在在的歷史。特別要提出他的書《數(shù)論：從Hammurapi到Legendre 的歷史》（1984年）。這本書描寫了1800年以前的數(shù)論史，也就是說，高斯的《數(shù)論探究》以前的歷史。但是他的講演則涉及更廣，向我們介紹了高斯、雅柯比、愛森斯坦、黎曼……人們從他那里聽到的是數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)家們生活的主要方面，而不是他們的私人生活和社會(huì)關(guān)系，只有思想史是重要的，這是多么清新的看法！寫這樣的書顯然是很不容易的，需要有語言和文學(xué)修養(yǎng)（而 Weil在這方面很在行），還要能區(qū)分開哪些是真正的新思想，而那些只是標(biāo)準(zhǔn)的技巧（他在1978年一篇文章中表達(dá)了這種看法）。一個(gè)不懂?dāng)?shù)學(xué)的歷史學(xué)家很難做到這一點(diǎn)（可參見他 1973年，1975年和1978年的文章）。

在我做完上述介紹的時(shí)候，我相信與 Weil 所做的相比，這些介紹是很浮淺的，他的著作在二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中是獨(dú)一無二的，即預(yù)見性的方面（Weil“看”得見未來）與古典的精致相結(jié)合。閱讀和學(xué)習(xí)他的著作，和他一起共同討論，是我數(shù)學(xué)生涯中最大的愉快。

校注

[1]英譯本《TheApprenticeship.ofa Mathematician》（一個(gè)數(shù)學(xué)家的學(xué)徒歷程 ) Birkhauser.?1992.

[2]這是一個(gè)文化獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)在人類文化上有杰出貢獻(xiàn)的人。

[3]猜想的原文 Conjectures 是多數(shù)。

[4]言外之意：不僅是評(píng)論，還更應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)。

[5]谷山-Weil猜想現(xiàn)在被一些人稱為谷山-志村猜想，但 Weil 晚年把這件事看的很淡。他喜歡引用 Siegel的說法：阿貝爾作為形容詞，第一個(gè)字母已被小寫了，如abelian。

原題: La vie et Ioeuvre d'André Weil，譯自: L'enseignement Mathematique, 45 (1999).?5-16. 本文原載于《數(shù)學(xué)譯林》2000年（第19卷）第1期，原標(biāo)題《Andre Weil的生平和工作》。