考慮一個動力學(xué)系統(tǒng)

一段時間內(nèi)點的映射為

映射特性

假設(shè)不動點為xc，則v(xc)=0, 隨時間增加軌跡漸進(jìn)于不動點的為穩(wěn)定流形，隨時間減小到漸進(jìn)于不動點為不穩(wěn)定流形。

Example：鐘擺

分析這個系統(tǒng)，具有（0,0）(π,0) (-π,0)等不動點。

(π,0)和(-π,0)都是雙曲不動點，他們的穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形形成了一個分隔線，圖中的藍(lán)色曲線。

在這個藍(lán)色曲線以內(nèi)出發(fā)的軌跡，最終單擺會來回擺動，軌跡形成周期振蕩，如下圖：

在藍(lán)色軌跡以外出發(fā)的，不再來回振蕩，而是不斷旋轉(zhuǎn)，相位不斷增大了

(π,0)是一個雙曲不動點，它的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形起到了分界線的作用，將相平面圖以(π,0)為中心擴(kuò)展一下：

在穩(wěn)定流形兩側(cè)布置點，隨時間它們會不斷遠(yuǎn)離同理，在不穩(wěn)定流形附近布置點，如果反向時間積分的話，它們也會不斷遠(yuǎn)離

所以，在流體問題中，可以通過定量確定分離度來確定穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形。

FTLE計算方法

考慮一個t0-t0+T 的流動映射

t0時刻x附近有一個點y

T0+T時刻兩者分離的距離

它的幅值：L2范數(shù)

Cauchy-Green deformation tensor的最大特征向量和特征值對應(yīng)了最大的拉伸方向和該方向長度，為

定義有限時間李雅普諾夫指數(shù)

那么有限時間李雅普諾夫指數(shù)最大的位置，就是在那里附近放兩個粒子，一段時間會分離的最大的地方，那么該位置就可能是穩(wěn)定流形存在的位置。

流體力學(xué)FTLE具體計算方法

步驟1：在t0時刻在網(wǎng)格點上布置粒子，獲得粒子的位置坐標(biāo)，并根據(jù)流場計算數(shù)據(jù)插值出各個粒子所在位置的速度。

步驟2：利用時間推進(jìn)方法（歐拉法，四階龍格庫塔法等），獲得下一時刻(t0+Δt)這些粒子的位置。通過計算獲得(t0+Δt)時刻的流場信息，獲得該時刻粒子的速度。按照該方法，每次前進(jìn)Δt，直到完成時間T。那么t0時刻布撒的粒子，在(t0+T)時刻的位置可以獲得

步驟3：根據(jù)以上數(shù)據(jù)和差分法，計算出每一個網(wǎng)格點的變形梯度：

步驟4：計算柯西格林張量，并計算其特征值，最大特征值則為FTLE。