? ? 大家好，又是新的一年，一個新的周期，有多少朋友即將畢業(yè)，又有多少準(zhǔn)備高考，高考題難么？不要被名字嚇倒，告訴你高考題還可以用初中知識解呢，不信你看。

? ? 下面是2020年高考最后大題，高考題都有故事，這是關(guān)于方程系數(shù)關(guān)系的問題：

已知函數(shù)，f(x)=x3+bx+c，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0.5,f(0.5))處的切線與y軸垂直

(1)求b

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，

證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1

2020年高考全國卷Ⅲ(理數(shù))21題

? ? 下面用初中方法解一下……

?#(1)?

? ? 學(xué)過二次函數(shù)應(yīng)該知道出現(xiàn)等根時曲線會與坐標(biāo)軸相切（據(jù)說當(dāng)年笛卡爾非常喜歡這個方法），根據(jù)題意，與y軸垂直的切線應(yīng)該是形如y=k的方程，這里在點(diǎn) (0.5,f(0.5))處，可知該切線方程應(yīng)該為

y=0.125+0.5b+c

將方程與曲線聯(lián)立，得

0.125+0.5b+c =x3+bx+c

x3+bx-0.125-0.5b=0

設(shè)該方程的等根為t，其余根是X，根據(jù)韋達(dá)定理

t2X=0.125+0.5b? ? -①

? ? ? ??? t2+2tX=b? ? -②

? ? ? ? ? ?? ?2t+X=0? ?-③

由③得

X=-2t???-④

代入②，有-3t2=b? ?-⑤

④⑤代入①得

-2t3+1.5t2-0.125=0

16t3-12t2+1=0

16t3-8t2-(4t2-1)=0

8t2(2t-1)-(2t+1)(2t-1)=0

(2t-1)(8t2-2t-1)=0

(2t-1)(4t-1)(2t+1)=0

根據(jù)題意，在點(diǎn)(0.5,f(0.5))處相切，那么該方程存在的等根為0.5，由⑤得

b=-3t2=-0.75

?#(2)?

? ? 根據(jù)題(1)可得，f(x)=x3-0.75x+c

題(2)表述還算清晰，若有一個根的絕對值不大于1，那么設(shè)這個根為sinα，再求其他零點(diǎn)，令f(sinα)=0，即

sin3α-0.75sinα+c=0

-4sin3α+3sinα=4c

? ? 我這有個非常奇葩的結(jié)果，就是

sin3α=4c，為啥呢？難道是-4sin3α+3sinα=sin3α ？當(dāng)然了！

至于怎么出來的，且聽下回分解。

? ? 這樣就可以確定其余的根都是絕對值不大于1的，因?yàn)槎伎梢杂谜液瘮?shù)來表示，其值域就是-1到1之間的。

? ? 還有個問題出現(xiàn)了，必須要明確，使sin3α=4c的sinα應(yīng)該有3個值才對，不過目前來看只有1個值呢？這個比較復(fù)雜了，其實(shí)初中階段我們看到的正弦并非全貌，它還有非銳角的情況，畢竟是高考壓軸題么。

? ? 一般同學(xué)都會知道圓內(nèi)接三角形有個公式a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r

如果遇到鈍角三角形豈不是玩不轉(zhuǎn)了？其實(shí)如果將正弦拓展一下，那么所有內(nèi)接三角形就都有這個公式了，太復(fù)雜的平角周角等的正弦值今天就不提了，就說說鈍角情況吧，其實(shí)有sin(180°-C)=sinC，你品，你仔細(xì)品，對吧？真實(shí)情況確實(shí)如此，畫個圓看看吧。

根據(jù)△ABC（其中，△ABC的邊a，b，c所對的頂點(diǎn)為A，B，C）的外接圓，找出直徑(=2r)作輔助線，發(fā)現(xiàn)△ABC和△ABD都滿足那個公式，只是∠D變成了∠C的補(bǔ)角，因此規(guī)定了sin(180°-C)=sinC。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 那么會發(fā)現(xiàn)如果方程的根x=sinα，那么根據(jù)sin3α=4c可知，x=sin(60°-α),x=-sin(60°+α)也是方程的根，其實(shí)三角函數(shù)可以轉(zhuǎn)好多圈的，這樣滿足sin3α=4c的sinα可以找到3個值，有些亂吧，畢竟是高中知識，初中階段只要知道sin3α=4c就可以證明完畢了。

? ? 如果還是不理解，可以根據(jù)圖像形狀來證明。f(x)=x3-0.75x+c只是將x3-0.75x沿著y軸平移罷了，設(shè)f?(x)=x3-0.75x，那么

f?(-x)=-x3+0.75x=-f?(x)，是奇函數(shù)，只考慮正半軸就行了，負(fù)的那邊根據(jù)旋轉(zhuǎn)分析即可，f?(x)=x(x-sin60°)(x+sin60°)，過原點(diǎn)，由于

f?(0)=f(sin60°)=0，因此在0<x<sin60°時，只有一處改變函數(shù)增減性，且三次方程最多存在3個根，那么如果存在1個絕對值不大于1的根，有

f(1)≥0;f(-1)≤c，則-0.25≤c≤0.25，那么有

當(dāng)c=-0.25時，第三個根最大，此時方程為

x3-0.75x-0.25=0

4x3-3x-1=0

4(x3-1)-(3x-3)=0

(x-1)(4x2+4x+1)=0

(x-1)(2x+1)2=0

當(dāng)c=0.25時，第三個根最小，同理此時方程為

(x+1)(2x-1)2=0

? ? 因此，根據(jù)對稱性，所有根的絕對值都不大于1，了解沒？高考壓軸題用初中知識解總會有些牽強(qiáng)，明白其中道理即可。不過這種題用高中知識也很難解釋明確，更不用期待完美的初中方法了，高考壓軸題就是這么特別。

? ? 不過用初中知識，還是可以將前面那個3倍角的公式證明出來的，更多內(nèi)容歡迎品鑒下篇文章。