小學數(shù)學名師觀摩研討課：蔡宏圣（江蘇特級教師）認識方程

同學們，上課。
老師您好。
同學們好。
學了幾年數(shù)學了。
五年。
五年至少要四年學習了數(shù)學對吧？我給大家有一個建議。因為我交了30年的數(shù)學了，我就覺得學數(shù)學實際上就學三件事情。有誰知道會是哪三件事情？隨便說。
認真。細心。學習。
可以有自己的想法，我覺得學數(shù)學就只有三件事情。學會數(shù)學地來看周圍的世界。學會數(shù)學的去思考問題，就是你們所說的想。想之后一定要有話要說，有想法要把它表達出來。學會數(shù)學的方式，把它表達出來。學數(shù)學實際上就是學這三件事情【看思寫】也許你一直不察覺自己有這方面的能力，今天我們就來試一試，我們一起來看屏幕?？吹搅耸裁矗?/span>
我看到一個稱上面有有一個大的瓶子，有150克，還有兩個小瓶子，分別是100克和50克。
謝謝，不錯。
那個不是瓶子，而是砝碼。
大家發(fā)現(xiàn)這個稱其實有一個什么？叫天平，天平上用來稱東西的那個叫什么？叫砝碼，對了？剛才我們說從數(shù)學的角度來看，看到了什么？
我發(fā)現(xiàn)一個150克的砝碼等于一個100克的砝碼和50克的砝碼。一個100克的砝碼和一個50克的砝碼，正好等于一個150克的砝碼的重量。
是嗎？對不對？這個是用眼睛來看到的嗎？你自己說吧。因為100+50=150，正好等于150克。
從這個圖上您看到了等于嗎？
沒有。
看到什么？
他們?nèi)齻€法碼，一個法碼是150個跟一個一百一百克加50克的法碼的重量都是平等的。
看到的是平等的，腦子就想成了什么？
相等。
非常好，我們很多時候真的看和想幾乎都結(jié)合在一起的，但稍稍一分析，實際上還真的是兩碼事情，已經(jīng)看到了是平衡的，或者說我看到了什么？中間那個指針指著正中間，我腦子里想他，們那就是相等的?，F(xiàn)在你看，我們無意中已經(jīng)做了第一件事情，也做完了第二件事情，現(xiàn)在我們做第三件事情，剛才說了，就要用數(shù)學的方式把你想到的東西表達出來，筆拿出來，草稿上寫一寫。寫什么？寫你看到了什么，想到了什么？我們比的是誰寫的更數(shù)學。
寫完的同學不用浪費時間，坐端正，我就覺得沒價值，數(shù)學課上坐端正真的沒多少價值，寫完了拿著你的想法去找人交流，反正我發(fā)現(xiàn)了，有的同學寫的有點快，有的同學寫的有點慢。我們不用等每位同學都寫完。來一起作證，來一起作證，不要不舍得放下筆，因為自己思考之后的交流，實際上更為重要的。我找了一位能剛剛放下筆寫完的孩子?！緦W生作業(yè)拿去投影】
這位同學寫的有點慢，為什么？
因為他要思考。
寫的慢，找到原因了嗎？他想一定是想明白了，寫得慢。寫的特別快的還有有沒有？我找一位寫的特別快的有嗎？一比就找到原因啦?？吹搅藛?？為什么上面的同學寫的比較慢？找到了嗎？說吧。
因為上面的同學寫的比較多。
多在哪里呢？還沒有說到本質(zhì)。
我覺得因為上面的同學是用文字來表示，而下面的同學是用算式來表示。
說清楚了嗎？為什么慢？因為寫的太多的文字。為什么快？
……
看明白了嗎孩子們？回過來想，這叫做誰寫得更加的數(shù)學？現(xiàn)在明白了嗎？用數(shù)學的方式表達就是寫算式或者說要寫數(shù)。
這個叫什么
叫點
大聲。對了？盡量的要用符號，盡量不用什么
文字
對了，這就是數(shù)學和其他的不同。說就是說150=100+50這件事情，對不對？對不對？好，回過來看，您看啊，實際上我們屏幕上現(xiàn)在所看到的說的就是一件事情，或者我用圖片的方式，或者我用文字的方式，當然，我們剛才同學們多數(shù)都是用文字的方式的，也有少數(shù)同學直接用了非常數(shù)學的方式，比比看用數(shù)學的方式好在哪里？
方便
還有？
用數(shù)學的好處是第一寫得快，第二他的表達十分的清楚。
我贊同寫的特別的干凈。所以呢，你學了四年數(shù)學一直覺得數(shù)學就是用來做題目的，實際上并不如此，數(shù)學還可以用來表達你的想法，比如說剛才這個情景，我們就可以用數(shù)學的方式把它寫成150，等于100+50?；剡^來再來看，我眼睛是看不出這個的，對嗎？我是通過思考找到的，換句話說，我們思考實際就是……
關系
思考實際從數(shù)學角度來看世界，實際上就是把不是數(shù)學的東西都去掉，只留下什么。
數(shù)
對呀，只留下數(shù)唄！當然，不過今天這節(jié)課我們更多的來關注其中的數(shù)，或者叫數(shù)量好了，你看看一幅圖，原來我們就是做這一件事情。有一句話你一定知道，叫做重要的事情，
……
對，做三遍，還有兩張啊，兩張圖，下面來看看的明白嗎？（老師讀題）把這個信息擺看懂了嗎？會用數(shù)學的方式把你看到的想到了什么表達嗎？剛才說用數(shù)學的方式就是意味著什么？
……
少用文字，多用數(shù)和符號。下面再來寫一寫。寫完了，我剛才說不用做端正，坐端正就是浪費時間找你的同學去交流。寫完了嗎？我們又可以交流了是吧？好嘞，那個暫時那個設備不是不好用，我就不用放過來了啊，我看到有孩子是這么寫的，第二個圖有孩子這么寫的，你舉個手。哦，你反過來吧，或者把它寫成800等于橙子加700。文字的有嗎？舉手這孩子，現(xiàn)在你可以舉什么吧？你是這樣嗎？這個舉手了，文字的。畫圖的有嗎？你就把橙子……
我畫了一個圈。中間加上幾個點。
表示什么？
橙子。
也就是我剛才說的也有畫圖的。直接畫個圖表示。還有其他的嗎？有您呢？
我是用問號來表橙子的。
就是問號加700等于八百。
還有不同的嗎？您說。
橙子改成x等于未知數(shù)
x+700=800
我們就把第二個先搞清楚就明白了，來，一起瞧這幾種寫法。我就問啊，有寫漢字的，有畫圖的那些孩子，你寫的那個漢字字表示什么意思？
表示未知數(shù)
那我寫的x表示什么意思？
也表示未知數(shù)
哦，那我就明白了，表示未知數(shù)的方式可以有好多誒，對不對？原來如此，這就是第二個圖，那您覺得這當中最數(shù)學的是哪個？
我覺得是最后一個
最后一個是吧？那意味著我們要用數(shù)學的方式來表達，今天的就是要用數(shù)，用符號還要用什么
字母
是啊，話筒不用你一直霸占的，那樣子沒有價值？因為應該每位孩子就有這個寬闊的胸襟，讓話筒在我班里面飛起來。哎，這個孩子話筒你不用保管了。我就覺得這個話題已經(jīng)害了你了。
還要多用字母，那既然如此，老師就把其他的方法也給擦了，不過其他寫法也特別有價值。所以我們把掌聲送給自己。那既然如此，第三個圖怎么表達？
X+700＞800
怎么是大于呢？想到了什么？
因為x+700那邊重。
所以應該用什么符號？
用大于號
用大于。好了，同學們來看，現(xiàn)在我們得到三條算式。因為我們這節(jié)課的課題叫做認識方程，聰明的同學一上課，腦海當中一定就有個問題方程呢，現(xiàn)在我謎底揭開，我就告訴你，寫的第三道才是方程。根據(jù)老師給公布的這個結(jié)果，給推理書方程的特點。
必須要有一個字母的字母，表示未知數(shù)，。
你說哪里看出？
因為圖中那個不知道橙子的重量？
你沒有回答我的問題。找到了方程一定要有未知數(shù)，而老師的問題是，你從哪里看出來？方程組一定要有未知數(shù)。思考比最終這個結(jié)果我認為更加重要，怎么思考的？
我是從方程中那個x，可以看出方程一定要有未知數(shù)。
我是沒看出來。
……
你就沒說清楚方程中為什么有未知數(shù)？沒聽清楚我的問題，沒有有條理的來思考。
應該是，如果有沒有未知數(shù)的話？那你可以用普通的方法來計算，為什么還要用方程呢？
說不清楚，我來出手，孩子們，您瞧噢。三道算式把誰和誰放在一起比？
第道和第三道
把1和3放在一起比，什么發(fā)現(xiàn)？1和3放在一起比什么發(fā)現(xiàn)？
我發(fā)現(xiàn)第一道是沒有未知數(shù)，而第三道卻有未知數(shù)。
沒有未知數(shù)，什么？
對了它更重要，沒有未知數(shù)，它不是方程。哎，可見有了方程，他就是未知數(shù)。清楚了，有條理了，學數(shù)學就學習有條理的思考問題，那除了這以外。方程還有另外的條件嗎？
方程必須要有等號，因為像第二道算是但是他用的是大于號，所以就它就不是方程，而第三道會有一個等號，所以它是方程。
謝謝，提醒各位同學。這位孩子提醒我們把2和3放在一起比較，發(fā)現(xiàn)了方程得有等號。為什么不是方程？用語文中的雖然怎么怎么了？但是他怎么所以他怎么？
雖然第一道有等號，但是沒有未知數(shù)，所以它不是方程。
同意嗎？
同意。
說的真棒，我把掌聲送給他。你可以保留意見，不要跟著我啊，不要跟著我那第二道呢？
第二道算式，雖然他有未知數(shù)，但是沒有等號，所以它不是方程。
這兩個意思，誰又給總結(jié)一下？看到方程我怎么判斷他？
知道了，方程不僅要有未知數(shù)還要有等號。
說的真好，他用上了不僅而且。用上了不僅而且說明了有，必須，并列?；蛘哒f缺一不可。我的同學們，您看，方程有這么一回事情，再來回想一下，方程怎么來的？我們上課到這一會兒，怎么來的？天上掉下來的嗎？方程怎么來的？
應該是數(shù)學家研究出來的。
你可真會糊弄人。
我們怎么坐著坐著，方程就來了？我們做出來的，什么數(shù)學家想出來的。
我覺得的話是我們思考出來的。
還有？
經(jīng)過看思寫出來的。
用數(shù)學的眼睛看看你周圍的世界。而找一找它們之間有沒有？
關聯(lián)
也就是說什么關系
說的更準確一點
等量關系，噢，找一找它們之間有沒有相等關系？或者說你們所說的那個等量關系，對不對？然后用非常數(shù)學的方式寫出來，就可能會得到方程，對吧？有時候我就希望呀，剛才怎么過來的？好好的去總結(jié)一下，你會收獲更多，來現(xiàn)在我又有問題了，你看我現(xiàn)在再寫一個是不是方程？比如說，括號加3=5我們一年級經(jīng)常做這樣的題，是方程嗎？
不是方程，因為他沒有字母。
是方程，因為它既含有未知數(shù)，還有等號，所以我認為它是方程。
我聽到了他們說一個說沒有字母，一個說有未知數(shù)。你說這個字母，它到底表示什么？
這個字母表示未知數(shù)。
噢，所以括號加3=5，是不是方程？
是
因為什么？
因為它既有未知數(shù)，也有等號。
現(xiàn)在的未知數(shù)用什么表示？
括號。
剛才我還記得有的同學說看到括號，我是這么表示的。橙子加700等于800（板書）這個是方程嗎？
是
他不是因為他沒有用字母來表示
它是方程，因為一個橙子是一個未知數(shù)
橙子用來表示什么？通過剛才那個爭論，你收獲在哪里？
因為方程它的未知數(shù)，不一定都是字母
對了
可以用任何東西來表示這個未知數(shù)
可以用多種方式來表示未知，我一年級的時候?qū)憘€括號或者像剛才有同學所說的我打一個問號，可以嗎？當然，老師也得承認這一點，最數(shù)學的方式寫成什么？
字母
但你不能說，那個就不對是不是？這點要搞明白，這一點要搞明白，現(xiàn)在你能不能給同桌舉一個方程交流一下？
【交流】
口頭就可以啦
您給大家說一個
……
還是家呀？能不能有突破？
……
出現(xiàn)了乘是方程嗎？
噢還有突破的方程嗎？
X-100=90
誒，出現(xiàn)了減。好。還有嗎？
……
同意嗎？都是一步計算，能不能出現(xiàn)兩步計算？有嗎？
X+400減x=300
這是方程嗎？
我把它寫下來他說的是什么？
X加400-x等于300，是方程嗎？
他有等號，有未知數(shù)
當然，你仔細看這個方程是很古怪的，你發(fā)現(xiàn)古怪在哪里？
就是發(fā)現(xiàn)有兩個未知數(shù)，而且那個是擺在中間，
樣子上面發(fā)現(xiàn)400在中間，當然你沒有發(fā)現(xiàn)，我也就不提醒了，這個方程挺古怪的，
答案應該是400
同樣眼睛看到的東西，有沒有想很重要？有的同學看到了，馬上去思考了，就找到問題了，真的是這樣，這里有個x，這里也有個x，減去了之后就變成了400等于300，有問題嗎？所以有的同學說這里應該改成多少？
400
孩子們，你們看這就是什么？就是每個人的感覺不同，我就希望你一定要養(yǎng)成這樣一個習慣，看思考表達很好的結(jié)合在一起，我們把掌聲送給剛才提醒我們的那位同學。
方程說的完嗎？我現(xiàn)在還有一個方程，我請大家來思考一下，這個方程實際上在我們剛才寫方程的過程中出現(xiàn)了，老師只不過把它放一放。 怎么樣？你看第二張圖。因為我們學了四年多數(shù)學，給你一個總的印象就是數(shù)學一定要做題目，看到一個題，馬上就去想這個是多少？所以看第二張圖，第二張圖按照你以前做數(shù)學的習慣，你馬上就想到那個橙子應該是多少？
800-700＝100單位克
這是方程嗎？是不是？
不是
為什么？
沒有未知數(shù)
對啊，那不行?。∧俏野堰@個地方就改成x，現(xiàn)在您看，800-700=x是方程嗎？因為什么？
是，因為現(xiàn)在已經(jīng)有了未知數(shù)和等號，所以它是方程
我們來聽聽他的意見。
未知數(shù)，不能自個
他的意思就是說未知數(shù)不能和等號放在一邊
我沒聽明白
我的意思是那個x可簡寫成100，就不用寫x了
我覺得未知數(shù)，要參與在計算當中
越來越玄乎了
我覺得未知數(shù)，不能成為答案
未知數(shù)，不能做答案
他說的意思還真是這樣，這個地方我們原來一直寫的就是答案，原來這個地方寫的是100，我們?yōu)槭裁匆阉某蓌？因為他沒有未知數(shù)，沒有未知數(shù)就不是方程？所以我把100改成了x，那么未知數(shù)就在答案的地方，對不對？
換句話說，按照方程的兩個條件來說，他是不是方程？
是
毫無疑問，但是那么多的同學一再提醒我們。這個方程真的沒有什么價值，為什么沒有什么價值？因為……
因為已經(jīng)成為答案了，
答案已經(jīng)出來了，你再把它改成方程，沒價值了，對不對。沒有意義了。所以我們列方程一定要把x放在前面或者說得更數(shù)學一點的話，一定要在算式的里邊，算式里邊干什么？
要參加列式和計算，這會兒我們把掌聲再送給那位女生。他剛才所說的……
未知數(shù)要參與在計算當中
我那會兒請大家來思考這個問題，大家不一定明白，所以我讓她稍微等了一等，有點玄乎吧！那個說法，誒現(xiàn)在可明白了，X，不能等在答案的地方不干活。未知數(shù)，一定要和已知數(shù)參加列式和計算。這個方程才有價值。我就覺得這點真的很重要。好剩余時間，我們的課正好到點，下課嗎？還要想看思寫是不是？我們來做一道題好嗎？
好
這道題就特別有講究了。老師帶來三幅圖，現(xiàn)在把1和3放下。重點來看二?？炊@個情景，您能看出方程嗎？
能
真噠？這個方程怎么寫呢？
5x加300=800
看明白嗎
明白
有問題問他嗎？
5x表示什么？
五個未知數(shù)。
你這個未知數(shù)是什么呀？
五個小杯
算明白了，不過我有我有一個很重要的問題，我們剛才的方程都是在天平上看出來的。但沒有天平誒，沒有天平怎么有方程？
因為他有等量關系所以它是方程
在天平中，平的話，我就可以看出他是有等量關系?，F(xiàn)在您從哪里看出他有等量關系？
因為他在下面畫了個大括號，寫了800毫升。
從文字里哪里看出來？還也有等量關系？
從文字中的正好可以看出他有等量關系。
最初級的方程，誰會寫？
X+x+x+x+x+300=800毫升
明白意思嗎？把五個x寫成5x這就在計算了，不知道是多少，我也能算。我們本事比以前長多了，厲害呀。您還應該還能體會到一句話，學方程就是學什么？學方程就是學習如何少動腦筋。
您剛才寫的時候動腦筋了嗎？幾乎沒動，是不是？我看著未知數(shù)寫著寫著什么就出來了
方程就出來了
所以學習方程就是學習如何少動腦筋的學習，我想把這句話送給你們，最后我們再來辨析一下，老師寫這個方程，您看有問題嗎？
我把它寫成x+300，等于800，
不能
我這個對嗎？怎么不對了？誰告訴我？我問題出在哪里呢？
她只有一個未知數(shù)
屏幕上有五個未知數(shù)，但算式上它只表達出了一個未知數(shù)。
題目上應該是五個小杯加300毫升一大杯，一共等于800，老師，這么寫是幾小杯？一小杯加300=800，所以我寫錯了對吧？現(xiàn)在就請你們拯救我，對救救我，我有條件的。在這上面不作任何的變化怎么讓他對？
在800后面寫4x就可以了
謝謝你，你這有變化了，你這個寫的是不錯，真好，X+300=800，能讓我變對嗎？
可以在x前面寫一個五，
哦，x前面加一個五又不是變了嗎？我說我就是x+300=800能讓我對嗎？
可以再求出x之后再用那個數(shù)除以五
你明白了，但你沒說明白
說可以先求出那個x，那個x其實就是五個小杯，然后再除以五算出一個小杯
明白嗎？怎么說我這個方程是對的？
我覺得應該是x代表的是五個小杯，然后而算得了X……
不要說后面的事情把前面的事情說清楚就行
我覺得老師寫的那個算式的x代表的是五個小杯。
表示什么？
五個小杯
我寫對了嗎？這個上面這個方程怎么寫？
X表示一個小杯
X表示一小杯，有沒有注意看情景解方程？可以寫好多，對嗎？為了方便在方程前面要寫那么一句話，說清楚，我這個x是什么意思？那么人家都能夠理解了。一句話說清楚，我這個x是什么意思？這么一來的話，人家都能夠理解了，對不對？好，天下沒有不散的課，我們真的要下課了，雖然11:50馬上要吃中飯了，我們下課好吧？
回去吧，我們下課吧。
行嗎？好也有，也有不好的。沒關系，我就覺得那個同學也這么來想啊，你不要以為做到這樣才能夠?qū)W習，回去我們還能繼續(xù)學習。

交流：我就可能要拖一天課了啊，爭取十分鐘做一個簡短的交流啊，那個本來呢嗯，教授是叮囑，最好能上兩節(jié)課，然后我就覺得我也知道老師們特別喜歡聽課，不過我個人的人適應更好的方式，應該是可再加一個小的報告，我覺得這種方式好在哪里？這段話是好在把那個上面上的這個課當中的很多想法，通過這個報告，有這樣一個更徹底的交流，我就覺得這樣的方式才更有利于老師的提高，那么在我的堅持下，那么我們今天上午就用了這個方式，然后和老師交流意思，交流這個話題就是數(shù)學史，因為在交流當中，我也特別有針對性了選了兩章，一篇文章講的就是代數(shù)的問題，算數(shù)到代數(shù)，那是一種怎樣的過程。另外一件事情，就說了數(shù)學史，我備這節(jié)課就是從數(shù)學史的角度來備的，我一直信奉專業(yè)成長，這句話叫做走自己的路，讓老師的發(fā)現(xiàn)這也是一條路，應該來說沒有數(shù)學史，可能不會怎么樣？但有了數(shù)學史是一定不一樣，特別是一個老師，如果您想要往專業(yè)更高端發(fā)展的話，我個人體會你應該要讀一點數(shù)學，那么我備這節(jié)課是因為什么？因為我在教學當中有過困惑。我曾經(jīng)遇到過，就是我們屏幕上出現(xiàn)的，每年總有幾個一年級學生，總有那幾個孩子解答類似這些義序問題的時候，應該要列8-3等于五這條算式的，但總有孩子直接列了加法算式，這到底對還是錯？如果你還放在這個算數(shù)的事業(yè)當中，是得不出答案的，我們應該，跳出算術的視野，從代數(shù)的視野來看，當然我們現(xiàn)在可以明白，我今天有意義的把那個情景擺出來了，那就是什么？那就是括號加3等于5。那實際上已經(jīng)是方程了，然后我就覺得這些問題實際上上完之后，關于方程，孩子們還有很多問題，屏幕上，那么這些問題和這個概念的定義沒有關系，什么叫方程就是那一句話，含有未知數(shù)的等式，但是很多的問題那個概念的定義是解釋不了的，因此我想我們可以得出這一個結(jié)論。一個概念的定義往往是不能包括了一個概念的全部意義的。我很多時候都是從數(shù)學史的角度來考慮問題，非常有意思的是什么關于方程？我們?nèi)祟惖乃拇蠊盼拿鞫喑霈F(xiàn)過，而且我們可以推測那個時候沒有這樣的信息交流的路徑，可以認為四大古文明都獨立的出現(xiàn)了，非常有意思，非常有意思，非常有意思，再加上小學生，每年的小學生都有孩子自發(fā)的會用加法算式來解，應該逆序的題，所以我產(chǎn)生一個判斷，那就是我們?nèi)祟惸莻€把未知數(shù)和已知數(shù)平等的參加列式，應該算我們?nèi)祟惖囊环N本能啊，算我們?nèi)祟惖囊环N本能，而且你去翻讀數(shù)學史，人類用方程去解決問題的歷史至少4000年以上，但是我們國家引進西方數(shù)學那個方程的形式化定義，最多可能200多年，最多可能200多年，可能放在歐洲時間可能要長一點，那么您可以體會到我們?nèi)祟惡茱@然創(chuàng)造方程，絕對不是為了什么，絕對的為了定義來的，而是為了簡便解決問題來的，所以我就覺得我們透過了歷史，然后你會更清楚地發(fā)現(xiàn)原來方程的本質(zhì)是什么？方程的本質(zhì)是在于描繪了一種相等關系，而且應該是不需要任何運算和加工的相等關系，每一個情景可以列好多個方程，但一定有一個有一個方程式最原始的，比如說這個情景當中這個方程x+x+x+x+x+300=800。越是原始方程越可以不動腦筋，今天那個情景中，孩子所說的x+3百等于8百-4x，他也是一個方程，但是你要列方程要動很多的腦筋，我就覺得完全是不同的，完全是不同的，所以我讓孩子們體會什么學方程，學習什么？就是學習如何少動腦筋，真的不斷的少動腦筋的去解決問題，數(shù)學才會創(chuàng)造更高明的辦法好，然后，我就覺得讀數(shù)學史你會明白我們以往一直認為一個概念對應的就是一個定義，但你讀了數(shù)學時，你就可以發(fā)現(xiàn)，一個概念，可以有好多個定義，一個概念可以有好多個定義，比如說，我們可以這么來給方程下定義，叫做未知數(shù)參加列式運算的等式叫方程，比如說為了解決問題，在已知和未知建立等量關系也叫方程，但我們現(xiàn)在用的這個定義是，含有未知數(shù)的等式叫方程，這個定義很顯然他沒有真正的觸及方程的本質(zhì)，他只說了外在的形式，這相當于穿花襯衫的就是一個女同志，差不多對不對？是吧，所以從這個角度就會明白了，原來教學當中出現(xiàn)很多紛爭，是因為什么？因為定義出了問題。從外在的形式化定義來說，外在的形式化定義來說，800-700=x，那絕對是個方程，沒有什么問題，但是如果我們從方程的本質(zhì)出發(fā)，未知數(shù)，參加列式計算，或者說為了解決問題，800-700=x，這個方程沒有符合這些要求，所以800-700=x，又不是方程，而且老師也會明白的，在教學中，不要引導孩子列出800-700，等于x這些方程，因為這些方程真的沒什么意思啊，沒什么價值。好了，把這些問題梳理清楚，我就覺得非常有價值，因為是歷史給了你這樣一種視野。然后我就覺得這節(jié)課呃，同樣這段歷史還給我們的啟示是什么？我們的概念教學要基于定義，又要超越定義，給學生更多的生長點，這才是你老師應該做的，也就是說，概念的意義往往會大于這個概念的定義。比如說我今天這節(jié)課很多東西已經(jīng)都滲透了，我今天追問沒有天平了，怎么會有方程的。一個孩子非常一針見血的指出，因為有了什么相等關系，您看這不就是以后列方程解決實際問題的本質(zhì)嗎？又比如說列方程之前為什么一定要寫那一句話，我通過今天通過一個情景讓孩子明白了如果不寫一句話，這樣一個道理我明白了一句話，那真容易帶來誤會，對吧？再比如說方程方程方程方程是怎么來的？我我覺得我們今天那個彭教授，我們這個活動指向核心很素養(yǎng)，但至少現(xiàn)在素養(yǎng)還是很重要的，如何落實到我們老師的一線課堂當中來？我今天也跳出了方程這個概念的這個本身，而立足于更為一般意義上學數(shù)學就是學什么？就是學這三件事情，從數(shù)學的角度來看周圍的世界，從數(shù)學的角度去思考分析，從數(shù)學的角度去表達和交流。學數(shù)學無非就是學這三件事情。我想，這樣就可以把核心素養(yǎng)落實到一線課程當中去。換言之，我們說，以后還得教這些知識，你不可能說把這些知識全盤推翻。你還得教這些知識，那如何改造我們的教學？更好地指向數(shù)學的素養(yǎng)？這，應該來說是我們思考的，然后也限于時間，沒辦法做更多的交流，然后我今天上了這一節(jié)課，包括所做的這些片言假語都收集在我們這個應該來說近十年這樣一個思考研究的這樣一個成果中，我們通過中國教育科學院下面的教育科學出版社出了一套叢書，使數(shù)學史走進小學數(shù)學課堂，我們已經(jīng)正式出版的第一本，第一本是案例與剖析，我今天帶來了十本，而且也簽上了名。歡迎老師們待會兒來選購。其他老師可通過當當網(wǎng)，可能當當網(wǎng)前段時間剛剛那個斷貨了，但他們已經(jīng)在補貨。我希望老師們可以記住這句話，真的就是這樣，沒有數(shù)學史是不會怎么樣？但有了數(shù)學史一定不一樣，只能簡短的做這些交流，謝謝各位老師。

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