張量微分學 主要包括：

（1）體積介質(zhì)上張量場場論-微分學

（2）曲面介質(zhì)上張量場場論-微分學

（3）張量場場論-單位正交標架

（4）非完整基理論-一般理論

（5）非完整基理論-曲面主方向正交基單位化的非完整基理論（本組研究）

（6）張量映照的微分與導數(shù)

上述（1）-（5）部分為 張量場場論的微分學（涉及體積、曲面、曲線上張量場的微分學）；（6）部分隸屬 張量賦范線性空間的微分學

（1）體積介質(zhì)上張量場場論-微分學?

1-1 分析基礎 曲線坐標系與局部基

基于 微分同胚 誘導 局部協(xié)變基；基于 對偶關(guān)系 確定 局部逆變基

1-2?分析基礎?標架運動方程

基于 向量相對于協(xié)變基與逆變基的表示形式，獲得 協(xié)變基向量與逆變基向量關(guān)于坐標分量的變化率?相對于協(xié)變基與逆變基的表示，自然引入Christoffel符號。進一步獲得 第一類Christoffel符號 由?度量張量協(xié)變分量的確定形式。

1-3?分析基礎?張量場的一階變化率

引入 張量范數(shù)，基于 極限分析 獲得??張量場整體相對于坐標分量的變化率

基于 標架運動方程 整理 極限分析的結(jié)果，自然引入 張量分量的協(xié)變導數(shù)

基于 張量場整體相對于坐標分量的變化率 定義 梯度算子；基于 梯度算子 定義 相關(guān)微分算子。?

1-4?分析基礎?Eddington張量

為表示 在三維歐氏空間中兩個基向量的叉乘 相對于局部基的表示 引入 Eddington張量，并且研究 Eddington張量的基本性質(zhì)

1-5?分析基礎?協(xié)變導數(shù)的性質(zhì)

協(xié)變導數(shù)的 線性性 與 Leibniz性

基于直接計算 說明 體積介質(zhì)中 度量張量 與 Eddington張量相對于坐標分量的變化率 為零

說明 體積介質(zhì)中張量場關(guān)于坐標分量的二階變化率的分量表示 與?可交換性?

（2）曲面介質(zhì)上張量場場論-微分學?

2-1 分析基礎 參數(shù)坐標與正則點

光滑曲面正則點上 切平面的局部協(xié)變基

2-2?分析基礎 局部基

基于切平面上的基 與 法向量 確定 全空間的 局部基（曲面半正交基）

2-3?分析基礎 法向量的表示

引入 Hodge 星算子（為此首先引入 反稱張量的外積表示）表示 高維曲面的單位法向量

2-4?分析基礎 標架運動方程

建立 曲面半正交基的標架運動方程，引入 曲面上的Christoffel符號、度量張量?與 曲率張量；同樣有 Christoffel符號可以由度量張量確定

2-5?分析基礎 曲面上張量場的一階變化率

基于極限分析 獲得 曲面上張量場關(guān)于坐標分量的一階變化率；并且基于 標架運動方程 整理極限分析的結(jié)果，以此引入 張量分量的協(xié)變導數(shù)（僅對切平面上的指標有效）

2-6?分析基礎 曲面上張量場的二階變化率

基于?曲面上張量場關(guān)于坐標分量的一階變化率的表達式 獲得 曲面上張量場關(guān)于坐標分量的二階變化率的表達式

歐氏空間中高維曲面上張量場關(guān)于坐標分量的二階變化率具有可交換性，就此通過 配平的方式 獲得 Gauss-Codazzi方程 與 Ricci等式，自然引入 Riemann-Christoffel張量（通過曲率張量定義）

（3）張量場場論-單位正交標架?

3-1?基本結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu) 單位正交標架關(guān)于單參數(shù)的變化率依然由此單位正交標架表示的系數(shù)矩陣為反對稱陣

3-2?曲線上Frenet標架

基于弧長參數(shù) 獲得 曲線上Frenet標架

基于 結(jié)構(gòu)，結(jié)合 無限小分析，獲得 曲率 的幾何意義：二階精度下，曲線的相對變化 等同于 密切平面中的曲率圓（半徑為曲率的倒數(shù)）

弧長參數(shù) 與 一般參數(shù) 情形，計算 曲率 與 撓率，引入結(jié)構(gòu)：向量相對于指向的正交分解

相關(guān)應用：速度、加速度、加速度的時間變化率 在 Frenet標架下的表示

相關(guān)應用：曲線上張量場相當于弧長參數(shù)的變化率

3-3?曲面上主方向單位正交標架

結(jié)構(gòu)：同時對角化

同時對角化的幾何意義：度量張量的協(xié)變分量矩陣合同到單位陣 解釋為 確定切平面上的主方向單位正交基?

同時對角化的幾何意義：曲率張量的協(xié)變分量矩陣合同到對角陣?解釋為 曲率張量相對于切平面上主方向單位正交基的展開具有 譜表示 的形式?

建立 曲面上主方向單位正交基

曲面主方向單位正交基的標架運動方程，系數(shù)矩陣中含有 主曲率 與 測地曲率

基于 曲面主方向單位正交基的標架運動方程，結(jié)合無限小分析，獲得 主曲率 與 測地曲率的幾何意義

應用：曲面上張量場相對于主方向參數(shù)的變化率

說明：弧長參數(shù)坐標非一般性存在

（4）非完整基理論-一般理論

?4-1?完整基之間的轉(zhuǎn)換

張量場的梯度?相對于兩個完整基的分量（張量分量協(xié)變導數(shù)）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；以此，確定兩個完整基下的Christoffel符號之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

4-2 非完整基上的構(gòu)建

先有一個 完整基，然后基于基轉(zhuǎn)換系數(shù)構(gòu)建 非完整基

首先基于完整基確定 張量場的梯度，然后基于張量分量（張量場的梯度作為一個新的張量）的 坐標轉(zhuǎn)換系數(shù) 確定 張量場的梯度相對于非完整基的分量

考慮?完整基為正交基，非完整基為正交基單位化后的單位正交基，此情形下 基轉(zhuǎn)換系數(shù)、形式偏導數(shù)、形式Christoffel符號、形式協(xié)變導數(shù)的基本形式

4-3?完整正交基單位化的情況

概述 非完整基理論的基本思想與方法

計算 形式Christoffel符號

計算 形式協(xié)變導數(shù)

完整基為正交基，非完整基為其單位化后的單位正交基情形，形式偏導數(shù)、形式Christoffel符號、形式協(xié)變導數(shù)都具有簡潔的形式，就此可以便捷地寫出各種張量微分算子在此單位正交基下的分量表達式。現(xiàn)應用事例為：球坐標系下向量場散度的表達式

（5）非完整基理論-曲面主方向正交基單位化的非完整基理論（本組研究）

?5-1 基本理論

基于微分同胚存在性定理，獲得 基面鄰域上存在曲線坐標系的條件，表現(xiàn)為對法向延拓的限制

當?shù)厍嬷鞣较蛘换腖ame系數(shù)，建立當?shù)厍媾c基面的Lame系數(shù)之間的關(guān)系

計算 形式Christoffel符號，直接聯(lián)系與 當?shù)厍娴闹髑?、測地曲率；建立 當?shù)厍媾c基面的測地曲率之間的關(guān)系

計算 當?shù)厍娴那蕪埩?；建?當?shù)厍媾c基面的主曲率之間的關(guān)系

理論總結(jié)——本組研究成果

5-2?應用事例

應用事例-01：基面為球面的構(gòu)造

應用事例-02：非規(guī)則環(huán)面

5-3 混合形式偏導數(shù)

回顧 曲面上張量場分量的協(xié)變導數(shù)的次序交換，聯(lián)系與Riemann-Christoffel張量。

基于計算研究?形式偏導數(shù)交換次序的問題，自然引入非完整對象

計算獲得 完整正交基單位化的非完整基的非完整對象

曲線主方向正交基單位化的非完整基的非完整對象，獲得形式偏導數(shù)交換次序的關(guān)系式（重要關(guān)系式）——本組研究成果

（6）張量映照的微分與導數(shù)

?6-1?范數(shù) 極限 可微性

引入 張量賦范空間，就此 可以按 賦范線性空間上的微分學 系統(tǒng)性獲得 張量映照的相關(guān)微分學結(jié)果

6-2 仿射量相關(guān)

按可微性分析，獲得仿射量相關(guān)映照的微分或者導數(shù)；微分形式總可以獲得，但導數(shù)形式需要看情況。本部分歸納了 張量映照微分/導數(shù)計算的 基本結(jié)構(gòu)。

6-3 隱映照相關(guān)

按張量映照微分/導數(shù)計算的基本結(jié)構(gòu)，計算 隱映照的一階微分、二階微分

力學數(shù)學 謝錫麟

2023年07月27日 第一次發(fā)布