初原載于?工大材料匯????2020-03-24

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材料視角新冠肺炎系列科普

新冠肺炎何以牽動人心

武 / 漢 / 加 / 油，中 / 國 / 加 / 油

三

承上啟下

上期我們講到了病毒與人類之間的博弈。有小朋友就問了：“這疫情什么時候結(jié)束呀？”別著急，別著急，預(yù)測疫情這種事我們還是得交給科學(xué)家們。自疫情爆發(fā)以來，世界各地的學(xué)者發(fā)了大量的paper，其中就有做疫情傳播模型的。

可能又有小朋友問了：“疫情傳播模型是什么？”疫情傳播模型就是將疫情傳播看作數(shù)學(xué)模型，是傳染病傳播進行理論性定量的重要方法，他不僅是如何有效應(yīng)對的重要參考，同時也能夠預(yù)測疫情的走勢比如疫情何時出現(xiàn)拐點、何時能被有效控制等等。傳統(tǒng)的模型主要了利用了微分方程進行建模，而近來人們也在利用各種不同的數(shù)學(xué)工具比如復(fù)雜網(wǎng)格理論等等，讓我們的傳染病傳播模型更加真實貼合實際。今天我就帶大家翻閱一些網(wǎng)絡(luò)上的paper具體來探討一下疫情的未來走勢。

微分方程建構(gòu)模型

我們來介紹一下傳統(tǒng)的利用微分方程建構(gòu)的模型。

最簡單的模型叫SI模型。首先模型把人群分為兩種Susceptible（易感者）和The Infected（已感染者或稱傳染者）假設(shè)已感染者的人數(shù)為I，易感者感染者人數(shù)為S，人數(shù)總和為N，大家每天走來走去，每個人會碰到r個人，傳染給健康者的概率為β。可以列出以下微分方程

解出來是個Logistic函數(shù)

有興趣的可以自己整理一下，自己解一下這個微分方程，新大一的同學(xué)可以拿它當(dāng)練習(xí)題，我知道你們應(yīng)該已經(jīng)學(xué)完了微分方程，不會解的人高數(shù)II重修去吧！連小學(xué)二年級的知識都沒學(xué)好

函數(shù)不怎么直觀，我們需要把函數(shù)畫成圖像才直觀。當(dāng)然我相信看到這么簡單的Logistic函數(shù)，大家心里應(yīng)該早就有圖像了，但我怕有人想不出來，我勉為其難，畫一個圖像。

如下圖：

紅線是感染疾病的人數(shù)，藍線是健康者人數(shù)，N為人群總數(shù)我初始設(shè)定為10人，I為初始感染者我設(shè)定為1人，R為每天接觸的人數(shù)我設(shè)定為3人，感染概率B設(shè)定為0.2 ，最終在x=20.2天時所有人被感染，可見傳播之快。

這個傳染病模型假定人得了病不會好，目前類似于HIV或HBV之類的病毒就屬于這種情況，感染后終生攜帶病毒。由于乙肝疫苗可以防治HBV病毒，模擬偏差比較大，我就來模擬一下全世界HIV病毒的感染情況。

假設(shè)全世界人口N=7,594,000,000人 且維持不變，目前全球感染HIV人數(shù)為I=42,000,000人，每人每天接觸R=1人，當(dāng)然極少數(shù)精力旺盛的可能每天不止接觸一人

我們不考慮在內(nèi)，平均感染概率B=0.3%

結(jié)果如上圖所示大約在9000-10000天左右曲線達到平行，世界上所有人基本都得了艾滋病，也就是約24.65-27.39年左右。所以趕緊珍惜當(dāng)下的美好時光吧。人類沒多少年了，大家還不趕緊去研究艾滋病的治療方法自救？

當(dāng)然這只是理想模型，它與現(xiàn)實有不小差距，比如單身的人感染率要小得多。

咱們繼續(xù)建模，上面的SI模型只是科學(xué)家研究傳染病最簡單的模型，如果你感染的病還能治好，那就是SIS模型，意思就是人會在S（易感者）與I（感染者）之間反復(fù)橫跳。比如感冒。圖像畫出來后感染者與易感者會達到一個類似化學(xué)反應(yīng)的動態(tài)平衡，所以如果你還在問：“為什么經(jīng)常感冒”這樣的問題，那八成是你的《物理化學(xué)》沒學(xué)好，可能重修科目要再加一門了！

上一篇文章最后我們也說過，有些疾病得完身體內(nèi)就會一直有抗體，比如腮腺炎一類的疾病，我們可以加一個康復(fù)者The Recovered 我們用SIR模型來表示。

這一次病毒還具有潛伏者the Exposed，我們就加一個潛伏者身份，這個模型稱為為SEIR模型。

我們可以假設(shè)已感染者的人數(shù)為I，易感者感染者人數(shù)為S，人數(shù)總和為N，感染新冠肺炎后，每個人每天會碰到r1個人，傳染給健康者的概率為β1。其中設(shè)γ1為潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者概率，是平均潛伏期時長的倒數(shù)，根據(jù)文獻資料我們設(shè)平均潛伏期為5.2，潛伏者也可以出去瞎逛?？祻?fù)概率為γ2,為平均康復(fù)天數(shù)的倒數(shù)，由于衛(wèi)健委說潛伏期也具有感染性我們設(shè)潛伏期每個人每天遇到r2個人，潛伏期傳染性為β2，列出以下微分方程 （同時N=S+E+I+R）

輸入數(shù)據(jù)：假設(shè)有N=9,000,000人在武漢，初始感染人數(shù)I0=1人,r1= 5 ,β1= 20%,β2= 1%

r2= 20 γ1=20% γ2=10%

（由于該方程組沒有解析解，我們直接用Matlab畫出圖像）

從圖上我們可以看出大約是在疫情開始后的第30天疫情開始大規(guī)模爆發(fā)，大約在第54天感染者人數(shù)達到最多，往后的現(xiàn)存病例逐漸減少，約110天后疫情逐漸消散。武漢的第一例接診病例是12月8日，根據(jù)模型推算，1月7日開始疫情大規(guī)模傳播，1月31日感染人數(shù)達到頂峰，大約在3月27日左右疫情逐漸消散。而根據(jù)湖北目前現(xiàn)狀（如下圖），2月19日感染人數(shù)達到頂峰此后逐漸減少，截止3月2日湖北現(xiàn)存病例30366例

而湖北以外省份在2月10日感染人數(shù)就達到了頂峰，到現(xiàn)在新增病例基本上都是個位數(shù)。

但應(yīng)當(dāng)指出，該模型的模擬與實際差距還是很大的，確診總是有一個滯后時間，而且模型里假定是每一階段所有人感染概率相同，但實際上疫情爆發(fā)后很多人都宅在家里，患者也基本都被隔離，那么感染的概率就不可能相同。因此我增加了if條件句在（x>=46天）也就是1月23日武漢封城，市民減少出行，都戴口罩，傳染概率和見面人數(shù)都降低至原來的50%，我們再看一下模擬數(shù)據(jù)，

結(jié)果非常amazing?。〖幢闶窃谝咔橹行奈錆h全民采取措施后效果真是立竿見影，潛伏者數(shù)量在第46天后陡然下降。感染人數(shù)的最高峰也下降了小一半，這意味著武漢的各大醫(yī)院能減少很多壓力，能少開幾個方艙，幾個“小湯山”，民眾的小舉動卻節(jié)省了很多資源。因此我們宅在家里減少外出，外出記著帶上口罩，于國于己是多么的明智呀。

假如（x>=36天）武漢市在1月13日在確診了幾例后就發(fā)布數(shù)據(jù)提前發(fā)布通知提醒市民戴口罩，減少出行，那么疫情只會在武漢小規(guī)模爆發(fā)。（如下圖）

假如（x>=26天）1月3日在武漢市政府封停了華南海鮮市場后對重點區(qū)域進行了緊急消毒，隔離了疑似病例，告訴民眾出行帶好口罩，

疫情根本就不會爆發(fā)?。?！

是的，就在那20天的窗口期里，抓到了完全就可以控制疫情，如果沒采取積極有效的措施寶貴的機會就徹底流失了。

就在17年前我國爆發(fā)了大型的SARS疫情，雖然影響人數(shù)有限，但是死亡率達到了驚人的9.6%是新冠肺炎的兩倍。

當(dāng)時的中國已經(jīng)很久沒有遇到過大型疫情了，經(jīng)驗也不足。SARS疫情最初在廣東爆發(fā)，很快就席卷了我國南方和華北地區(qū)，其中北京市、臺灣省、香港特別行政區(qū)、廣東省的疫情十分嚴重，內(nèi)蒙、山西、河北較為嚴重，我國其他地區(qū)疫情比較輕微。僅在北京市從2003年3月1日北京301醫(yī)院接診第一例開始到疫情結(jié)束后就累計確診了2772例，死亡192例，是全世界感染人數(shù)最多的一座城市。即便是存活的人不少由于用了激素治療，對人今后的生活影響也很大。SARS疫情開始時，人們不知道這是什么疾病，也不知道是病原體，病人轉(zhuǎn)入302醫(yī)院后更沒做什么防護措施，直到北京的301醫(yī)院和302醫(yī)院出現(xiàn)了醫(yī)生護士感染，人們才逐漸重視起來。最開始大家認為肺炎是衣原體引起的，可以用抗生素治好，可在廣州的鐘南山按衣原體的方法治療發(fā)現(xiàn)無效。

事后證明引起SARS的也是一種冠狀病毒。當(dāng)時北京市政府行動滯后，衛(wèi)生部長張文康在4月3日謊報疫情，他稱北京市民不要恐慌北京市只有12例，而實際上當(dāng)時僅在北京301醫(yī)院非典患者就有46例。

17日北方交通大學(xué)（現(xiàn)北京交通大學(xué)）發(fā)現(xiàn)第一例非典，18日-20日出現(xiàn)群居性爆發(fā)，疫情的戰(zhàn)火燒到了北京的部分高校，當(dāng)時北方交通大學(xué)宣布進入“戰(zhàn)時狀態(tài)”，采取了對疫情爆發(fā)的源頭——嘉苑學(xué)生公寓整體性封閉并征用了200個學(xué)生床位進行隔離，北京大中小學(xué)全面停課。4月20日官方報告北京市非典病例累計確診339例是五天前報道的十倍多。那天之后北京市委副書記孟學(xué)農(nóng)和衛(wèi)生部張文康被接連撤職，疫情通報改為每天通報，國家緊急征用小湯山療養(yǎng)院用時7天蓋好了一家隔離醫(yī)院，疫情防控逐漸步入正軌。

北京能夠最終從非典危機中走出是天時地利人和的結(jié)果，在眾志成城共同抗疫的共同努力下，好消息頻傳，很多人逐漸被治愈，隨著夏季的到來氣溫明顯升高，病毒肆虐程度顯著收斂。6月24日在疫情爆發(fā)后將近四個月世衛(wèi)組織宣布北京從疫區(qū)名單刪除。

2002年11月16日至2003年7月13日，第一例SARS確診的239天后，全球再也沒有新增病例，一場來勢洶洶的疫情就此結(jié)束，17年以來SARS病毒再也沒有在人群中出現(xiàn)，如何殺滅突如其來的病毒？從古至今人類從不缺乏這方面的經(jīng)驗，沒有人會懷疑我們最終能贏得這場和病毒之間的戰(zhàn)爭，只是如果疫情通報的更快一些，讓醫(yī)療資源盡早集中；消息傳播的更透明些，能夠讓感染者及早的隔離和救治；物資調(diào)配的更有效率一些，避免無謂的傷亡和贊歌。

那或許我們就不會贏的這么慘烈?。。?/p>

最后引用世衛(wèi)組織的一句話：

We must remember that these are people, not numbers.

-----World Health Organization

愿全世界的每一個人都能夠戰(zhàn)勝疫情！武漢加油！中國加油！世界加油！

本期問題：

1.請簡述作者SEIR模型中每個式子含義

Answer：

2.根據(jù)文章表述建立SIS模型列出其微分方程，求解出其通解并畫出大致圖像。（提示：假設(shè)已感染者的人數(shù)為I，易感者感染者人數(shù)為S，人數(shù)總和為N，大家每天走來走去，每個人會碰到r個人，傳染給健康者的概率為β，傳染者變成易感者概率為γ。）

Answer：N=S+I

簡化整理成伯努利方程：

微分方程解得

畫出圖像其中綠線為易感者，紅線為感染者。

3.根據(jù)文章表述試建立SIR模型，并列出微分方程。

Answer：我們可以假設(shè)已感染者的人數(shù)為I，易感者感染者人數(shù)為S，人數(shù)總和為N，感染新冠肺炎后，每個人每天會碰到r個人，傳染給健康者的概率為β?？祻?fù)概率為γ為平均康復(fù)天數(shù)的倒數(shù)，列出以下微分方程 （同時N=S+I+R）

4.SEIR模型是沒有死亡病例的，假設(shè)我們建立一個死亡者Died，疾病死亡率是4.5%，試建立一個SEIRD模型，并列出其微分方程。

Answer：我們可以假設(shè)已感染者的人數(shù)為I，易感者感染者人數(shù)為S，人數(shù)總和為N，感染新冠肺炎后，每個人每天會碰到r1個人，傳染給健康者的概率為β1。其中設(shè)γ1為潛伏者轉(zhuǎn)化為感染者概率，是平均潛伏期時長的倒數(shù)，潛伏者也可以出去瞎逛，潛伏期每個人每天遇到r2個人，潛伏期傳染性為β2，γ2,為康復(fù)+死亡的概率，其中康復(fù)概率為95.5%γ2,，死亡概率4.5%γ2,，，列出以下微分方程 （同時N=S+E+I+R+D）

參考文獻:

[1]范如國,王奕博,羅明,張應(yīng)青,朱超平.基于SEIR的新型肺炎傳播模型及拐點預(yù)測分析[J/OL].電子科技大學(xué)學(xué)報:1-6[2020-03-02].http://kns.cnki.net/kcms/detail/51.1207.T.20200221.1041.002.html.

[2]《簡單算算，你宅在家里竟能為抗擊肺炎疫情做出多大貢獻？》畢導(dǎo)

[3]《如何殺死突如其來的病毒》柴知道

[4].疫情就是命令? 責(zé)任重于泰山——北方交通大學(xué)抗擊“非典”紀實[J].北京教育(高教版),2003(06):8-9.

[5]《秒殺美國！這個全球窮人最多的國家，只用45天消滅疫情》烏鴉校尉

本文作者：于世龍

時任責(zé)任編輯：王雪篪

時任總編輯：李曉萌