首先了解一下反演變換，

通俗來說，就是作一圓O，其半徑為r，在平面上任取一點(diǎn)A，再取一點(diǎn)A' ，滿足① O,A,A'三點(diǎn)共線②向量OA與向量OA'的數(shù)量積等于r2。

這樣稱O為反演中心，r2為反演冪，A'為A的反演像。（A與A'關(guān)于圓O互為反演點(diǎn)）

直線

1.經(jīng)過反演中心的直線上的所有點(diǎn)反演之后，依然在原直線上。（證明略）

2.不經(jīng)過反演中心的直線(下圖的實(shí)線)上的所有點(diǎn)反演之后，都在一個(gè)經(jīng)過反演中心的圓上。（證明如下）

過O點(diǎn)作直線(實(shí)線)的垂線，垂足為H，過A'作AO的垂線交OH于點(diǎn)E。

所以△OA'E∽△OHA

所以O(shè)A'/OE=OH/OA

所以O(shè)E*OH=OA*OA'=r2

所以E為定點(diǎn)

因?yàn)榻荗A'E為直角

所以A'在以O(shè)E為直徑的圓上

（代數(shù)證明亦可）

二次曲線

1.等軸雙曲線

? ?以實(shí)軸為直徑作圓，以該圓作為基圓將雙曲線上的所有點(diǎn)反演，其組成一條伯努利雙紐線。

上述兩者均為伯努利雙紐線（代數(shù)證明較為繁瑣，此處省略）

2.拋物線

? ?①以焦點(diǎn)為圓心，作圓，以該圓為基圓將拋物線上的所有點(diǎn)反演，其組成一條心形線

? ?②以頂點(diǎn)為圓心，作圓，以該圓為基圓將拋物線上的所有點(diǎn)反演，其組成一條蔓葉線

（代數(shù)證明較為繁瑣，此處省略）

P.S.

我在圓中偶然發(fā)現(xiàn)，

取一圓O，在圓O上取兩點(diǎn)AB，其中A為定點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，過M做OB的垂線，其垂足為H點(diǎn)。點(diǎn)H的軌跡也是一條心形線。

其實(shí)還沒完，當(dāng)我以將M點(diǎn)以H為對(duì)稱中心對(duì)稱之后，它的軌跡我估計(jì)是阿基米德螺線（等速螺線），關(guān)于是否是阿基米德螺線，我并不確信。