鄭濤（Tao Steven Zheng）著

笛卡爾（Rene Descartes，1596 年 - 1650年）在1643年送給波希米亞的伊麗莎白公主（Princess Elizabeth of Bohemia）的一封信有提出這個著名的幾何定理（雖然他沒有證明）。雅各布·施泰納（Jakob Steiner，1796－1863）在將近200年后的1826年首次證明了這個定理。在江戶時代日本，這道題最早出現(xiàn)于1796年的算額（sangaku）。日本數(shù)學(xué)家Hashimoto Masataka 在《筭法點(diǎn)竄初學(xué)抄》（Sanpo Tenzan Shogakusho，1830年）也有記載。

【問題】

假設(shè)有四個圓 位于同一個平面上，每個圓與其他三個圓相切。設(shè)各圓的半徑為，證明

提示： 如果有三個角度 其中 ，那么。

【題解】

設(shè) ， ，， ? ， 和 ，還有三個角度 ， 和 。

通過在三角形ADB上應(yīng)用余弦定律，得

展開以上方程式

然后求 ，得

用同樣的方法，能得出

設(shè)

使用提示中的三角恒等式，得

展開以上方程式，可以得到

在方程式兩邊除以 :

把變量 ? 換用 表達(dá)：

展開方程式的左手邊：

展開方程式的右手邊：

所以，

在方程式兩邊除以 :

在方程式兩邊加 ：

這可以簡為

注

求解 給出兩個答案：一是內(nèi)切圓的半徑，二是外切圓的半徑。

內(nèi)切圓的半徑

外切圓的半徑

【和算題系列】