遞歸序數(shù) 1.0.0(零)。這是最小的序數(shù)，也是唯一一個既不是后繼也不是極限的序數(shù)。 1.1.1(一)。這是最小的后繼序號。 1.2.2. 1.3.42 1.4.ω.這是最小的極限序數(shù)，也是最小的無限序數(shù)。 1.5.ω + 1.這是最小的無限后繼序數(shù)。 1.6.ω2. 1.7.ω2. 1.8.ωω. 1.9.ωωω . ω 1.10.ε0 = ?(1, 0).這是ω，ωω，ωω，的極限。。。，ξ→ψψ的最小不動點(diǎn)； 一般來說，α → εα = ?(1，α)定義為枚舉不動點(diǎn)的函數(shù) ξ → ωξ.這是阿砣算法的證明理論序數(shù)。 1.11.ε1 = ?(1, 1). 1.12.εω. 1.13.εε0 . 1.14.?(2, 0).這是ε0，ε0，.。。，ξ → εξ的最小不動點(diǎn)；總的來說， α → ?(γ + 1，α)定義為枚舉ξ → ?(γ，ξ)不動點(diǎn)的函數(shù)。 1.15.?(ω, 0).這是在原始遞歸序數(shù)函數(shù)下閉合的最小序數(shù)>ω([avigad 2002，推論4.5])。 1.16.費(fèi)夫曼-舒特序數(shù)γ0 = ?(1，0，0)(也稱ψ(ψω)為適當(dāng)?shù)奶s函數(shù)ψ)。這是ε0，?(ε0，0)，?(?(ε0的極限)。。。，ξ → ?(ξ的最小不動點(diǎn)，0)。這是ATR0的證明理論序數(shù)。 1.17.阿克曼序數(shù)?(1，0，0，0)(對于適當(dāng)?shù)氖湛s函數(shù)ψ也是ψ(ψω2))。 1.18.“小”維布倫序數(shù)(對于適當(dāng)?shù)氖湛s函數(shù)ψ，ψ(ψψ))。這是?(1的極限，0)，?(1，0，0)，?(1，0，0，0)。。。，具有有限多個變量的凡勃倫函數(shù)的值域。 1.19.“大”維布倫序數(shù)(對于適當(dāng)?shù)氖湛s函數(shù)ψ，ψ(ψψ))。這是凡勃倫函數(shù)的范圍，有那么多變量。 1.20.Bachmann-Howard序數(shù)(對于適當(dāng)?shù)奶s函數(shù)ψ，ψ(ε+1))。這是Kripke-Platek集合論(KP)的證明理論序數(shù)。 一 1.21.εεε+1(“塔庫提-費(fèi)夫曼-布赫霍爾茨序數(shù)”)的可數(shù)坍縮，它是π1-理解+超限歸納的證明論序數(shù)。 0 1.22.εI+1的可數(shù)折疊，其中I是第一個不可接近的(=π1-不可描述的)基數(shù)。這是Kripke-Platek集合理論的證明理論序數(shù)，通過序數(shù)類(KPi)的遞歸不可接近性來擴(kuò)充，或者，在算術(shù)方面 2 ?1-領(lǐng)悟+超限歸納。參見[JaegerPohlers1983]。(對比2.3。) 1.23.εM+1的可數(shù)折疊，其中M是第一個Mahlo基數(shù)。這是KPM的證明理論序數(shù)。參見[Rathjen1990]。(對比2.5。) 一 1.24.εK+1的可數(shù)折疊，其中K是第一個弱緊(=π1-不可描述)基數(shù)。這是KP+π3-Ref的證明論序數(shù)。參見[Rathjen1994]。(對比2.6。) 0 1.25.εξ+1的可數(shù)折疊，其中ξ是第一個π2-不可描述基數(shù)。這是KP+ω-Ref的證明論序數(shù)。參見[steger 2010年，第一部分] X (在他的符號中，這個序數(shù)被稱為ψψ+1，其中X =(ω+；p；?;?;0)). 0 (對比2.7。) 1.26.穩(wěn)定性的證明理論序數(shù):參見[steger 2010，第二部分] 這個序數(shù)將被稱為ψυ+1，其中X =(ω+；p；?;?;0)). X 0 遞歸大的可數(shù)序數(shù) 一 2.1.丘奇-克萊尼序數(shù)ωCK:最小容許序數(shù)>ω。這是最小的序數(shù)，它不是遞歸的順序類型(相當(dāng)于:hyperarith- metic)ω上的良序。ωCK遞歸(分別為。ω的ωCK-半遞歸)子集 一 一 恰好是1。π1)ω的子集，它們也正好是 一 一 子集遞歸(分別為。半遞歸)在E(或E#中，檢查這個【這個在[HinmanMoschovakis1971，2，引言備注]中表述模糊且無證明】， 也間接提到，但有一個論點(diǎn)，在[Hinman1978年，第六章，介紹re-marks 6對第316頁]；但本質(zhì)論點(diǎn)應(yīng)該是甘迪的選擇定理，[Hinman1978，第六章，第292頁上的定理4.1或第294頁上的推論4.3]])。 ω 一 2.2.ωCK:允許的最小極限。這個序數(shù)是不允許的。這是最小的α，使得Lα ∩ P(ω)是π1-理解的模型(參見[Simpson2009，第246頁上的定理VII.1.8和第292頁上的定理VII.5.17以及對第VII.5的注釋 頁（page的縮寫）293]). 2 2.3.最小的遞歸不可訪問序數(shù):這是最小的序數(shù)，是可接受的，也是可接受的限度。這是最小序數(shù)α，使得Lα = KPi，或者，在算術(shù)方面，使得Lα ∩ P(ω)是1-理解的模型(參見[Simpson2009，第267頁上的定理VII.3.24和第292頁上的定理VII.5.17以及第293頁上的VII.5注釋的勘誤表1])。(對比1.22。) 一 這是最小的序數(shù)ωE1，而不是有序遞歸的有序類型 在圖古埃泛函E1中([Hinman1978，第八章，第421頁上的定理6.6])，或者等價(jià)地，在超跳躍中遞歸；并且對于這個α，α-遞歸(分別為。ω的α-半遞歸)子集恰好是遞歸(相應(yīng)地。半遞歸的)，在E1 ([Hinman1978，第八章，推論4.16對p. 412])。 這是最小的α，使得lα= KP+β，其中β斷言對于任何有充分根據(jù)的關(guān)系，傳遞折疊的存在，或者等價(jià)地，最小 一 容許α使得Lα認(rèn)為是良序的任何序確實(shí)是良序:參見[Nadel1973，定理6.1 on p. 291](比較[Harrison1968]關(guān)于2.1的序數(shù)ωCK的否定結(jié)果；另請比較[Gostanian1979] 相關(guān)事實(shí)見2.9)。 2.4.最小遞歸超不可達(dá)序數(shù):即最小遞歸不可達(dá)序數(shù)，它是遞歸不可達(dá)序數(shù)的一個極限。 2.5.最小遞歸Mahlo序數(shù):即最小容許序數(shù)α，使得對于任何α-遞歸函數(shù)f : α → α，存在一個在f下閉的容許β < α。這是最小序數(shù)α，使得Lα = KPM。(對比1.23。)這是最小的序數(shù)，而不是 superjump ([AczelHinman1974]和[harrington 1974])；對于這個α，α-遞歸的 一http://www.personal.psu.edu/t20/sosoa/typos.pdf (resp。ω的α-半遞歸)子集恰好是超跳(相應(yīng)地。超跳的部分正規(guī)化中的半遞歸[Harrington1974，第50頁上的定理5])。 關(guān)于這個序數(shù)還要注意:[RichterAczel1974，推論9.4(ii)第348頁]。 2.6.最小的π3-反射(“遞歸弱緊”)序數(shù)。這也可以被描述為最小的“2-容許”序數(shù):參見[RichterAczel1974，theo- rem 1.16 on p. 312]。(對比1.24。) 還有σ3歸納算子的閉包序數(shù)的sup:[richteraczel 1974， 303頁上的定理A】。對于這個α，ω的α-半遞歸子集恰好是ω的σ3-歸納可定義子集([RichterAczel1974，第303頁上的定理A和第304頁上的定理D]；參見[Simpson1978，第370頁上的例子4.12]。 2.7.最小(+1)-穩(wěn)定序數(shù)，即最小α使得Lα ≤1 Lα+1。這 0 是最小的π1-反射(即對于每個n∈ωπn-反射)序數(shù):[RichterAczel1974，定理1.18在第313和333頁]。 (對比1.25。) 一 2.8.最小(+)-穩(wěn)定序數(shù)，即最小α使得Lα ≤1 Lα+，其中α+是>α的最小容許序數(shù)。這是最小的π1-反射序數(shù):[RichterAczel1974，第313和336頁上的定理1.19]。還有關(guān)閉的sup或者- 一 π-1歸納算子的dinals:【richteraczel 1974，303頁或10.7頁上的定理B 一 在第355頁上]和[Cenzer1974，定理A在第222頁上]。對于這個α，ω的α-半遞歸子集恰好是ω的π1-歸納可定義子集([RichterAczel1974，304頁上的定理D]；參見[Simpson1978，第370頁上的例4.13]。 這是最小的序數(shù) # G ω1 1不是中良好排序遞歸的順序類型 由G#(f ) ≈ f (0) f)定義的非確定泛函G# (f(1))；對于這個α 一 一 (ω1 )+ 一 α-遞歸(分別為。ω的α-半遞歸)子集恰好是遞歸(相應(yīng)地。半遞歸的)。 2.9.最小σ1-反射序數(shù)。也是σ1的閉包序數(shù)的sup 一 一 一 歸納算子:[RichterAczel1974，303頁定理B或355頁10.7]。對于這個α，ω的α-半遞歸子集恰好是ω的σ1-歸納可定義子集([RichterAczel1974，304頁上的定理D]；參見[Simpson1978，第370頁上的例4.14]。 這個序數(shù)大于2.8:[aandera 1974，定理6的推論1，第213頁]；另見:[Simpson1978，定理6.5]和[GostanianHrbácˇek1979]。 這是最小的序數(shù) # E ω1 1不是中良好排序遞歸的順序類型 一 Tugué功能E1的非確定性版本E#;并且對于這個α，α-遞歸(分別為。ω的α-半遞歸)子集恰好是遞歸(相應(yīng)地。表示“半” 一 遞歸)(結(jié)合[Aczel1970，第313頁上的定理1，第318頁上的定理2] 和[RichterAczel1974，第304頁上的定理D])。 這是最小的容許α，它不是Gandy的，即，使得α的每個α-遞歸線性序，其中Lα+認(rèn)為它是一個良序(α+是下一個容許的),實(shí)際上是一個良序:見[Simpson1978，定理6.6 頁（page的縮寫）377]和[Gostanian1979，定理3.3](關(guān)于術(shù)語“Gandy序數(shù)”，參見[AbramsonSacks1976]:在[Gostanian1979]中，相同的序數(shù)稱為“好”)。 【找到這個:這個序數(shù)有多穩(wěn)定？] 一 2.10.最小的(++)-穩(wěn)定序數(shù)，即最小的α使得Lα ≤1 Lα++其中α+，α++是兩個最小的容許序數(shù)>α。這是σ1-反射且大于2.9的序數(shù)([Simpson1978，376頁上的定理6.4]和下面的命題3.1)。 2.11.最小的不可達(dá)穩(wěn)定序數(shù)，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ 其中β是最小的遞歸不可達(dá)(參見2.3)序數(shù)>α。 2.12.最小的Mahlo穩(wěn)定序數(shù)，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ其中 β是最小的遞歸Mahlo(參見2.5)序數(shù)>α。 2.13.最小的雙(+1)-穩(wěn)定序數(shù)，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ ≤1 Lβ+1(參見2.7)。 2.14.不可投射序數(shù)中最小的穩(wěn)定序數(shù)，即最小的α 使得Lα ≤1 Lβ其中β是最小的不可投影(2.15的序數(shù))。 一 這是最小的序數(shù)ωR，不是良序遞歸的序類型 在[Harrington1975]中定義的某種類型3官能R中；對于這個α，ω的α-遞歸子集恰好是r中的遞歸子集。) 2 2.15.最小的不可投射序數(shù)，即最小的β使得β是β穩(wěn)定序數(shù)的極限(序數(shù)α使得Lα ≤1 Lβ(參見2.14)；換句話說，最小的β使得Lβ = KPi+“穩(wěn)定序數(shù)是無界的”。這是最小序數(shù)β，使得lβ= KPω+σ1-sep(參見[Barwise1975，第五章，第175頁上的定理6.3])，或者使得Lβ ∩ P(ω)是π1-理解的模型(參見[Simpson2009，第267頁上的定理VII.3.24和第292頁上的定理vii.5.17)。 一 一 在Jensen的術(shù)語中([Jensen1972])，這是最小序數(shù)β使得πβ > ω，事實(shí)上最小序數(shù)β>ω使得πβ=β:即最小序數(shù)β使得ω的每個σ1(lβ)子集是β-有限的。有時(shí)也稱為最小的“強(qiáng)容許”(或“強(qiáng)σ1容許”)序數(shù)。 3 2.16.最小(弱)σ2-容許序數(shù)。這是最小序數(shù)β，使得lβ?= KPω+∏2-sep，或者使得Lβ ∩ P(ω)是∏1-理解的模型(參見[Simpson2009，第267頁上的定理VII.3.24和第292頁上的定理vii.5.17)。 2 2 在Jensen的術(shù)語中([Jensen1972])，這是最小序數(shù)β使得ξβ > ω，事實(shí)上最小序數(shù)β>ω使得ξβ=β:即最小序數(shù)β使得 ω的每個∏2(lβ)子集都是β有限的。 在[MarekSrebrny1973，附錄]的術(shù)語中，這是第一個2-gap序列。 2.17.分枝分析的序數(shù)(常寫成β0)。這是最小的β n lβ?= vσn-sep(完全分離方案)，或者Lβ ∩ P(ω)是一個模型 完全二階分析(二階理解)，事實(shí)上Lβ ?= ZFC (即ZFC減去冪集公理)。 這開始了可構(gòu)造宇宙中的第一個缺口，這個缺口的長度是1:看到了嗎 [Putnam1963]和[MarekSrebrny1973，第374頁上的推論4.5]。 注意，這個序數(shù)是(+1)-穩(wěn)定的(參見2.7)，但不是(+2)-穩(wěn)定的:[MarekSrebrny1973，384頁定理6.14的推論]。 2.18.可構(gòu)造宇宙中長度為2的第一個缺口的起點(diǎn)。如果β是這個序數(shù)，那么β是第β個間隙序數(shù)([MarekSrebrny1973，377頁上的定理4.17])。 2.19.在可構(gòu)造論域中開始長度為β的間隙的第一個序數(shù)β。 一 2.20.序數(shù)β = ωLα其中α是2.21的序數(shù)。然后通過構(gòu)造β開始一個長度為α = β+的間隙(下一個允許的序數(shù))。 2.21.使得lα= KP+“ω1存在”的最小序數(shù)α，即不局部可數(shù)的最小容許α，或者等價(jià)地，使得lα= KP+“p(ω)存在”的最小α(參見命題3.2)。 2.22.最小序數(shù)α，使得lα= zfc+“ω1存在”，或者等價(jià)地使得lα= zfc+“p(ω)存在”(比較命題3.2)。這是可構(gòu)造宇宙中第一個三階間隙的開始。 一 2.23.ZFC最小模型Lα中的最小不可數(shù)序數(shù)ωLα，假設(shè)它存在(見2.24)。這個序數(shù)是α穩(wěn)定的。 2.24.最小序數(shù)α使得Lα = ZFC(假設(shè)它存在)，即ZFC的最小模型的高度。 2.25.最小穩(wěn)定序數(shù)σ，即最小σ使得Lσ ≤1 L，或者等價(jià)地Lσ ≤1 Lω1。集合Lσ是所有x的集合，它們在L中是σ1-可定義的，沒有參數(shù)([Barwise1975，第五章，推論7.9(i)，第182頁])。 一 這個序數(shù)投射到ω上(即在詹森的術(shù)語中)，ψσ=ω([bar wise 1975， 第五章，第183頁上的定理7.10(i))。 這是最小序數(shù)δ1，它不是ω上良序∏1的序類型； 2 2 2 而實(shí)際上，對于這個σ = δ1，σ-遞歸(resp。σ-半遞歸)ω的子集是 恰好是1(分別是。σ1)ω的子集([Barwise1975，第五章，第189頁上的定理8.2 2 2 以及第191頁上的推論8.3])。 2 這也是最小的σ1-反射序數(shù)([Richter1975])。 注意:這份文件可能不應(yīng)該開始列出大樞機(jī)主教，因?yàn)? 一 (0)一個暗示另一個不存在的事實(shí)，這是關(guān)于“序數(shù)”，而不是“基數(shù)”，(1)它們已經(jīng)在其他地方很好地涵蓋了(例如，見[Kanamori1997])，以及(2)我們不想開始作出假設(shè)，例如，關(guān)于ωL是否等于ω1，但是不作出這樣的假設(shè)，就不再可能正確地排列定義。也許一個中間的方法是假設(shè)V = L用于排序，忘記可測量的基數(shù)等等，并且仍然包括不可訪問的、Mahlo、弱緊等等。 各種說法 同樣，這些陳述都不是我的，它們是眾所周知的事實(shí)，我找不到合適的公開證明。 一 提議3.1。如果α使得Lα ≤1 Lα++(其中α+，α++是大于α的兩個最小容許序數(shù))，那么α是σ1-反射的。(在[辛普森1978，定理6.4]中陳述 第376頁上]。) 0 證明。假設(shè)Lα = ?U (?(U))其中?是一個π1(=一階)公式，常數(shù)在Lα中，額外的關(guān)系符號u .我們想證明存在β < α使得Lβ = ?U (?(U))。 現(xiàn)在由[RichterAczel1974，第334頁上的定理6.2](應(yīng)用于否定的 ?U (?(U)))我們可以找到一個π1公式?z(ψ(S，z))(具有與?相同的常數(shù))使得對于任何包含這些常數(shù)的可數(shù)傳遞集a和任何容許的B A我們有B = ?z(θ(A，z))當(dāng)且僅當(dāng)A = ?U (?(U))。 特別是Lα+ = ?z(θ(Lα，z)。所以Lα+ = ?A(trans(A) ∧(一個 =θ+v = l)∧ ?z(θ(A，z .)，其中θ是一個陳述，它解釋了a的充分性(見[耶希1978] (13.9)和引理13.2和13.3 于是依次l α++ = ?c(trans(c)∧(c ?= KP+v = l)∧(c = ?a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧?z(θ(a，z))))。但這是一個σ1公式，常數(shù)在Lα中，所以假設(shè)我們有Lα =，一樣的東西。所以存在C ∈ Lα傳遞的且包含?常數(shù)的，且必然是Lγ(對于γ < α)因?yàn)镃 = KP+V =L，使得lγ= ?a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧?z(θ(a，z))。所以反過來存在一個∈ Lγ傳遞的，它必然是Lβ(對于β < γ)因?yàn)橐粋€=θ+v = l，使得Lγ = ?z(θ(Lβ，z)。所以Lβ = ?U (?(U)。 提議3.2。以下在KP中成立:如果一個? ω是可構(gòu)造的，那么A ∈ Lγ對于某個可數(shù)序數(shù)γ。 特別地，在KP + V = L中，如果存在一個不可數(shù)序數(shù)δ，那么P(ω) 存在并且可以定義為A ∈ Lδ:一個? ω. 證明。我們必須驗(yàn)證通常的證明(參見[Devlin1984，第二章，第84頁上的引理5.5]或[Jech1978，第110頁上的引理13.1]或[Jech2003，第190頁上的定理13.20])在KP中有效。 在L中工作，我們可以假設(shè)V = L成立。同樣，我們可以假設(shè)ω存在 因?yàn)槿绻總€集合都是有限的，那么結(jié)果就是平凡的。 因?yàn)锳是可構(gòu)造的，所以存在δ極限，使得A ∈ Lδ。我們可以為KP內(nèi)的Lδ定義1-Skolem函數(shù)，并且因?yàn)棣卮嬖?，我們可以使用歸納法(參見[Barwise1975，第38頁上定義9.1之后的注釋])來構(gòu)造Lδ內(nèi)Lω ∪ A的Skolem殼m。因?yàn)镸是外延的， → 我們現(xiàn)在可以使用Mostowski坍縮π:M∞N 把M折疊成一個傳遞集N，它必然是一個Lγ?，F(xiàn)在M通過構(gòu)造是可數(shù)的，所以N = Lγ也是，所以γ是。而且我們有π(A) = A所以A ∈ Lγ，γ可數(shù)，如斷言的。