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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于Heston隨機波動率的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

在本文中，我將向您展示如何模擬股票價格的Heston隨機波動率模型

Heston模型是一種期權(quán)估值方法，它考慮到同一資產(chǎn)在給定時間交易的不同期權(quán)的波動性變化。它試圖通過使用隨機過程來模擬波動率和利率來重新創(chuàng)建市場定價。Heston模型的特點是將波動率函數(shù)的平方根包含在整個定價函數(shù)中。

對于固定的無風(fēng)險利率，描述為：

通過使用這種模型，可以得出歐洲看漲期權(quán)的價格 。

這是函數(shù)的描述。

callHestoncf(S, X, tau, r, v0, vT, rho, k, sigma){# S = 股價在到期日的價格, X = 行權(quán)價格, tau = 到期日# r = 為無風(fēng)險利率, q = 股息收益# v0 = 初始方差, vT = 長期方差# rho = 相關(guān)系數(shù), k = 是Vt回歸至θ的速度；# sigma = 波動率}

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現(xiàn)在，進行蒙特卡洛定價。我們將為3個歐洲看漲期權(quán)定價，具有3種不同的行權(quán)價格。我們在15年中使用100000個模擬，每個月進行一次。以下是仿真的參數(shù)：

#初始價格S0 <- 100# 模擬次數(shù)（可以隨意減少）n <- 100000# 抽樣頻率freq <- "monthly"# 波動率均值回復(fù)速度kappa <- 0.003#波動率volvol <- 0.009# 相關(guān)性。成交量和現(xiàn)貨價格rho <- -0.5# 初始方差V0 <- 0.04# 長期的方差theta <- 0.04#初始短期利率r0 <- 0.015 ?# 期權(quán)到期日horizon <- 15#期權(quán)行權(quán)價格strikes <- c(140, 100, 60)

為了使用模擬Heston模型，我們首先需要定義如何進行模擬。

此函數(shù)提供一個包含2個成分的列表，每個成分包含模擬的隨機高斯增量。

#? 隨機波動模擬sim.vol <- simdiff(n =? n, horizon =? horizon,frequency =? freq, model = "CIR", x0 =? V0,theta1 =? kappa*theta, theta2 =? kappa,theta3 =? volvol, eps =? shocks[[1]]) ?# 股票價格模擬sim.price <- simdiff(n = n, horizon = horizon,frequency = freq, model = "GBM", x0 = S0,theta1 = r0, theta2 = sqrt(sim.vol),eps = shocks[[2]])

現(xiàn)在，我們可以計算3種不同的期權(quán)價格。

# 到期股票價格（15年）print(results) ? ? strikes mcprices? lower95? upper95 pricesAnalytic 1???? 140 25.59181 25.18569 25.99793???????? 25.96174 2???? 100 37.78455 37.32418 38.24493???????? 38.17851 3????? 60 56.53187 56.02380 57.03995???????? 56.91809

從這些結(jié)果中，我們看到這三個期權(quán)的蒙特卡洛價格與使用函數(shù)（直接使用公式來計算價格）計算出的價格相當(dāng)接近。95％的置信區(qū)間包含理論價格。

下面是期權(quán)價格，作為模擬次數(shù)的函數(shù)。計算出的理論價格用藍色繪制，蒙特卡洛平均價格用紅色繪制，陰影區(qū)域表示均值（蒙特卡洛價格）周圍的95％置信區(qū)間。

本文摘選?《?R語言用加性多元線性回歸、隨機森林、彈性網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測鮑魚年齡和可視化?》?，點擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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