今天繼續(xù)來聊上下極限的重要定理——

其實(shí)這是一條性質(zhì)+一條定理——

1. 性質(zhì)：數(shù)列{xn}恒有上/下極限；

2. 定理：上下極限相等是數(shù)列收斂的充要條件。

性質(zhì)的證明，書上分兩種情形討論，情形二又分為兩種情形，我們繼續(xù)聊情形二的第二種情況。

情形二：數(shù)列{xn}有上界——

b.數(shù)列{Mn}收斂——

即數(shù)列{Mn}有有限極限，即為M*。

我們上次證明了M*的兩個(gè)性質(zhì)——

1）性質(zhì)一：對(duì)于任意ε>0，存在N'，當(dāng)n>N'，有xn<M*+ε。

2）性質(zhì)二：對(duì)于任意ε>0與給定的N，存在n'>N，有xn'>M*-ε。

現(xiàn)在我們利用這兩條性質(zhì)來證明這種情形下，數(shù)列{xn}上極限存在——

?分析——

1. 先要證明M*是一個(gè)子列的極限，已知極限，構(gòu)造出來一個(gè)子列滿足要求即可。

2. 觀察上述兩個(gè)性質(zhì)，存在類似于數(shù)列極限定義的形式，即給定ε>0，存在N，滿足不等式。其中性質(zhì)一的ε是任意的，而性質(zhì)二的ε是給定的，所以性質(zhì)一的自由度更高。

3. 構(gòu)造數(shù)列，往往從自由度高的部分入手，限制范圍，再與自由度低的部分建立連接。

4. 思維過程則是，從自由度低的開始思考，如何讓自由度高的部分適應(yīng)自由度低的部分。給定一個(gè)確定的ε，與一不沖突，自然滿足二，同時(shí)也確定了N的取值。

5. 問題在于給定一個(gè)ε，只能確定一個(gè)N的取值，所以書上用子列第i-1項(xiàng)生成第i項(xiàng)的方式去構(gòu)造數(shù)列，一次確定一項(xiàng)，無限操作，就可以得到目標(biāo)子列。

證明——

step1：證明M*是一個(gè)子列的極限——

1. 先選出目標(biāo)子列的前i-1項(xiàng)，其在原數(shù)列所在項(xiàng)序號(hào)滿足n1=1<n2<n3<……<ni-1；

2. 根據(jù)性質(zhì)一：給定一個(gè)εi，得出一個(gè)Ni使得，當(dāng)n>Ni，有xn<M*+εi；

3. 根據(jù)性質(zhì)二：給定εi和N=max{Ni，ni-1}，得到ni>N>=Ni，有xni>M*-εi；

4. 綜合2，3，ni>N=max{Ni，ni-1}>=ni-1，有|xni-M*|<εi；

5. 注意εi給出的任意性，我們可以取一列無窮小作為εi，那么數(shù)列{xni}與M*之間相差一個(gè)無窮小，根據(jù)之前學(xué)過的性質(zhì)，得到{xni}的極限為M*。

step2：證明M*是所有部分極限中最大的——

1. 對(duì)于任意收斂子列{xni}，有極限a；
   

2. 根據(jù)性質(zhì)一：對(duì)于任意ε>0，存在N'，當(dāng)ni>N'，有xni<M*+ε；

3. 由極限的性質(zhì)，得出a<=M*+ε；

4. 又由于ε是任意小，得到a<=M*，否則，設(shè)存在a0>M*，則存在ε0>0，a0-M*=ε0，導(dǎo)出矛盾，不等式成立，即M*是所有部分極限中最大的，為數(shù)列{xn}的上極限。

同理可以導(dǎo)出下極限的相關(guān)性質(zhì)——

下面是定理的證明——

定理：上下極限相等是數(shù)列收斂的充要條件——

證明（記數(shù)列下極限為M#，只證有限極限的情況，記M*=M#=a）——

充分性——

1. 由上極限性質(zhì)一：對(duì)于任意ε>0，存在N1，當(dāng)n>N1，有xn<a+ε；

2. 由下極限性質(zhì)一：對(duì)于任意ε>0，存在N2，當(dāng)n>N2，有xn>a-ε；

3. 綜合1,2：對(duì)于任意ε>0，存在N=max{N1，N2}，當(dāng)n>N，有|xn-a|<ε，即數(shù)列{xn}收斂于a。

必要性——

1. 由柯西準(zhǔn)則：對(duì)于任意ε>0，存在N，當(dāng)n，n'>N，有|xn-xn'|<ε；

2. 取定n'=N+1，則xn'-ε<xn<xn'+ε，即n>N之后各項(xiàng)都位于（xn'-ε，xn'+ε）之間；

3. 由2，M*-M#<2ε，其中ε為任意小，即M*=M#。

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