tag:兩個事件相互獨立，并不能說兩個事件沒有任何影響，更應(yīng)該看作是“對樣本空間和事件B進行了等比例約束”。

1.從條件概率的定義來看獨立事件的定義

2.從古典概率的定義來看獨立事件的定義

3.P(A|B)和P(A)的關(guān)系是什么？

4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨立”

5.從韋恩圖來看獨立事件的定義

6.為什么多個事件兩兩獨立推不出相互獨立

7.在考研古典概率中，有一個P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨立事件嗎？

8.在考研中，獨立事件可以看作是“獨立”的嗎？

1.從條件概率的定義來看獨立事件的定義

在考研古典概率中，我們最初都是通過條件概率公式來定義獨立事件的。

這從條件概率的角度來理解就是在條件B的情況下，A發(fā)生的概率與之前相比不變。

所以我們常常理解成，如果兩個事件互為獨立事件，則B的發(fā)生對A沒有影響。但這種理解，其實是有謬誤的，因為并不是沒有影響，只是影響沒有體現(xiàn)在比例值上！。

也有一種看法是，B的發(fā)生讓A的事件發(fā)生概率保持不變，保持不變本身也可以看作是一種影響，這種思路也可以理解成：

B發(fā)生的同時，A跟著一起發(fā)生的概率等于全集中隨機選取一個樣本點屬于A的概率

從這個角度來看，似乎獨立事件也不是那么獨立，條件概率值等于全集發(fā)生概率值，似乎還約束了兩個事件之間的關(guān)系。不過導(dǎo)致這一切發(fā)生的根源還要從古典概率來入手。

2.從古典概率的定義來看獨立事件的定義

因為古典概率的定義是根據(jù)分式比例值定義的，條件概率的定義也是根據(jù)比例值定義的，這就導(dǎo)致一個問題就是3/5=6/10。

原來之所以在事件B的條件約束下，事件A的發(fā)生概率沒有變，是因為：

分子和分母被縮小了相同的比例

所以我們能說事件B的條件對事件A發(fā)生沒有影響嗎？不能！

我們只能說事件B的條件對事件A的發(fā)生概率沒有影響！

很明顯條件A讓B的樣本點中的x6,x7,x8都被排除在外了，所以是造成了影響，但是對概率值是沒有影響的，因為概率值是一個比例值，3/5和6/10是一樣大的。

從這一步似乎我們可以看出，為什么多事件的獨立性，兩兩獨立推不出相互獨立。這是因為，樣本點之間有重合的，獨立事件定義中的條件概率可以看作是對樣本空間和事件B進行了等比例約束。這種約束，在多事件中，可能有重合的樣本點，這就導(dǎo)致等比例約束被打破了。

3.P(A|B)和P(A)的關(guān)系是什么？

首先它們不在一個樣本空間中，所以根本不能看做是一個事件（包含的樣本點數(shù)量也不一樣），實際上條件概率更應(yīng)該看作是一個比例值，而不是一個事件。

在考研-古典概率中，如果我們可以得到P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)中的任何一個，我們就可以推導(dǎo)出這倆一定屬于獨立事件。

除此之外，P(A|B)和P(A)之間的其他關(guān)系式，都是沒有太多意義的，不過利用其推出的另外一個關(guān)系式用處更大，那就是P(AB)=P(A)P(B)

4.由P(AB)=P(A)P(B)推出“獨立”

我們之前是利用條件概率來定義獨立事件，我們討論條件概率的定義是用來解決交事件的計算，這里我們把獨立事件也聯(lián)系進來。

兩個概率值相乘其實沒什么實際意義，一般來講，乘法運算表明了兩個事件的發(fā)生邏輯關(guān)系，所以這里也體現(xiàn)了前者的發(fā)生對后者沒有影響。因此從P(AB)=P(A)P(B)中，我們更可以看出來一種獨立性出現(xiàn)。

實際中，獨立性也常用來計算交事件的概率，畢竟如果兩個事件之間“沒有影響”，計算同時發(fā)生的概率值就方便很多，只需要直接相乘就可以，這個我們不學(xué)獨立性，也會計算。

5.從韋恩圖來看獨立事件的定義

說實話，如果兩個事件之間真的沒有任何聯(lián)系，那其實沒法用韋恩圖來表示，因為韋恩圖的基本單位-樣本點事件，之間都是互斥事件，所以你畫出兩個事件之間，都是一定存在某些聯(lián)系的。不過，上文我們也講了，不是沒有聯(lián)系，只是這種聯(lián)系沒有體現(xiàn)在概率值上。

所以我們依然可以簡單的畫出來，只要注意全部等比例縮小相同倍數(shù)即可。

6.為什么多個事件兩兩獨立推不出相互獨立

因為等比例縮放，之間的樣本點可能有重復(fù)的，導(dǎo)致雖然任意選出兩個事件，都是構(gòu)成獨立事件的，但全集和事件C的縮放，可能不再成比例了。

也就是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

多個事件，相互獨立可以推出兩兩獨立，但兩兩獨立推不出相互獨立，也可以從波羅梅奧環(huán)中看出來：

7.在考研古典概率中，有一個P(A|B)=P(A)就可以推出兩者是獨立事件嗎？

可以，我們可以從公式中推導(dǎo)出來，也可以利用古典概率定義的集合性質(zhì)-交換律來想清楚，也可以用韋恩圖來看出來。

因此我們只要看到P(A|B)=P(A)，P(A|B)=P(A)，P(AB)=P(A)P(B)任意一個，就可以認(rèn)為是獨立事件。

8.在考研中，獨立事件可以看作是“獨立”的嗎？

可以的，只要在考研中，如果你遇到任何兩個事件中存在一定關(guān)系，哪怕是非常復(fù)雜不好用或與非來表示的，那也一定不是獨立事件，構(gòu)不成獨立事件的三個等式。

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