弗里德曼方程由蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼于1922年提出，至今依然是理解宇宙運動和演化的核心方程，描述我們所處在一個均勻且各向同性的膨脹宇宙。如今，物理學(xué)家終于找到方程的解析解，并根據(jù)新的理論，我們所處宇宙正如所觀察的那樣“平”，并不特殊。

撰文?|?董唯元

引子

當我們在太陽系里發(fā)現(xiàn)個陌生的天體，只要記錄一小段運行軌道，就可以判斷出這個天體到底是系內(nèi)小行星還是系外過客。天文學(xué)家是如何做到窺一斑而知全豹的呢？其實就是靠我們中學(xué)時候?qū)W過的離心率e。
我們知道在引力作用下，天體的軌道是條圓錐曲線。如果e＞1，說明軌道是雙曲線；如果e=1，軌道是拋物線。這兩種情況都說明軌道是開放的，這個天體是系外過客，在太陽旁邊溜達一次之后就不會再回來。而如果e＜1，說明軌道是閉合的橢圓，天體會周期性地繞著太陽轉(zhuǎn)。

標度因子

類似地，我們在描述宇宙整體演化的時候，也需要些指示性的參數(shù)。其中最基礎(chǔ)也最重要的就是標度因子a，它代表隨宇宙同步膨脹/收縮的坐標系中，坐標距離與實際物理距離的比例關(guān)系。所謂宇宙在膨脹，就是指a在變大。
現(xiàn)在的宇宙膨脹速度大約為每10億年兩點間物理距離增加7%。如果定義今天的a=100光年，即共動坐標系中的單位坐標距離1，對應(yīng)實際物理距離100光年，那么10億年后隨著宇宙膨脹，共動坐標系也被拉伸了，單位坐標距離1就對應(yīng)實際物理距離107光年，也就是a=107光年。

出于對自我中心主義的“鄙夷”，以及天文觀測的事實，我們相信宇宙各處的各個方向都在均勻同步膨脹，只是在不同時間階段的膨脹速度有所不同。于是a就與空間位置和方向都無關(guān)，僅是時間的函數(shù)a(t)。如果有讀者聽過那個“處處均勻且球形對稱”的老梗，宇宙學(xué)中的標度因子絕對算是典型代表之一。
就像中學(xué)物理課本上用位移、速度和加速度刻畫物體運動一樣，宇宙學(xué)家依靠a、

和

就可以描述宇宙的運動，其中

和

分別代表a對時間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，也就是宇宙膨脹的速度和加速度。不過，宇宙的動力學(xué)方程比牛頓第二定律要稍微復(fù)雜一點，因為影響到

和

的因素不止一個。

宇宙學(xué)運動方程

翻開任何一本宇宙學(xué)的教科書，開篇就會提到兩個方程。

這就是弗里德曼第一方程和第二方程。1922年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家弗里德曼（Alexander Friedmann，1888-1925）從廣義相對論方程推導(dǎo)出了這組方程。時至今日整整100年已經(jīng)過去，它仍然是研究宇宙演化規(guī)律的理論核心。
為了看起來更清爽，我們可以用普朗克單位制，約定c=8πG=1，于是方程組就變成了

ρ代表能量密度，包括質(zhì)量形式的能量密度ρm和輻射形式的能量密度ρr兩部分。隨著宇宙的膨脹，質(zhì)量密度會被稀釋。物理長度膨脹了a倍后，體積就膨脹了a3倍，同時質(zhì)量沒變，所以

。而輻射能量除了波數(shù)被稀釋之外，波長也被拉長，頻率也就相應(yīng)降低，所以

。因此能量密度又可以拆成兩項ρ=μa-3+ra-4。如果忽略兩種形式之間能量轉(zhuǎn)換的話，μ和r就都是固定的常數(shù)。

代表在某一時刻宇宙全體三維空間的曲率。k=1意味著宇宙空間總體是個 “三維超球面”，朝任何方向一直走出足夠遠就會回到起點。k=-1則意味著空間像馬鞍面那樣具有負曲率，只不過馬鞍面是二維，而宇宙空間是三維。k=0就對應(yīng)著宇宙空間“平直”，目前的天文觀測數(shù)據(jù)顯示，我們身處的宇宙應(yīng)該非常接近“平直”的情況。當僅探討我們這個宇宙時，往往都直接取k=0再進行推演。
Λ本來是廣義相對論方程中的“宇宙常數(shù)”，數(shù)學(xué)意義上可以是任意常數(shù)，物理意義上代表著真空本身所具備的能量，其密度不會隨著膨脹而衰減。弗里德曼方程最初的形式中并不含此項，因為當時物理學(xué)家壓根不會接受真空還能具有能量這回事。
可是，當宇宙在加速膨脹被確認之后，現(xiàn)代宇宙學(xué)模型就不得不拾起Λ項這塊補丁貼上，以此來代表使宇宙膨脹加速的真空能量。從弗里德曼第二方程就能清楚的看出，如果Λ≦0的話，方程就不可能描述

?的情況。然而這種真空能量究竟為何物，卻使宇宙學(xué)家傷透腦筋。

宇宙暗能量

其實，量子場論已經(jīng)對真空能量的來源提出了好幾種理論，有些甚至都有實驗驗證?？上У氖牵瑹o論哪種理論所給出的真空能，都遠大于天文實際觀測數(shù)據(jù)，最懸殊的相差了120個數(shù)量級，最小的差距也在40個數(shù)量級以上。也就是說，宇宙中一定還存在某種壓制機制，能夠恰到好處地抵消那些實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的真空能量。
至今仍沒有自洽的理論，能夠?qū)φ婵漳芰康默F(xiàn)狀做出解釋。在這種局面下，宇宙學(xué)家只好稱其為“暗能量”，并略顯簡單粗暴地用一個常數(shù)項Λ來表示。根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，如今宇宙中輻射能量的密度可以忽略不計，而包括暗物質(zhì)在內(nèi)的所有質(zhì)量密度ρm與真空能量密度ρΛ之比大約為ρm:ρΛ≈3:7。也就是說，已知物質(zhì)和暗物質(zhì)總共占比約30%，剩下的70%能量都是隱藏在真空中的“暗能量”。
于是，一般科普文章中就出現(xiàn)了一個流傳很廣的說法，“我們對宇宙中70%的能量一無所知”，這顯然是不嚴謹?shù)?。因為這個ρΛ是已知的巨量真空能與未知的“壓制機制”之差，兩者的數(shù)量級恰好相等，且都遠大于ρΛ本身。

圖中橙色代表認知空白部分，藍色代表存在理論解釋和實證的部分，兩者分量幾乎相當，所以我們未知的部分其實只有50%。
真正厘清了這些關(guān)系之后，我們反倒會感覺這“50%”背后所帶來的困惑，遠遠超過了原本對那個“70%”的解讀。我們目力所及的一切，無論閃爍的繁星還是黯然寥落的塵埃，甚至包括那些只能通過引力效應(yīng)向我們展示其存在的暗物質(zhì)，所有這一切在我們所認識到的能量形式中占比竟然近乎于零。
如果用百分比寫出其比例的話，它會是一個小數(shù)點后幾十位甚至上百位個0的微小數(shù)字。幸好有宇宙學(xué)和天文觀測數(shù)據(jù)來拯救我們的茫然，否則我們會毫不猶豫地相信，真正統(tǒng)御宇宙的就是真空本身！
另外還有一個困惑也很令人不解。按照弗里德曼方程，質(zhì)量密度隨時間演化的規(guī)律是ρm～t-2，而真空能量密度則不隨時間變化，ρΛ～常數(shù)。在宇宙誕生138億年后的此刻，我們抬頭觀察時居然恰好看到ρm與ρΛ處在同一數(shù)量級，這未免也太過巧合了。
這些種種跡象使一部分研究者開始懷疑廣義相對論在宇宙尺度上的有效性，也許弗里德曼方程根本不能被應(yīng)用在宇宙尺度上。然而這種懷疑并沒有粗看起來那么合理。要知道我們所面臨的是巨大的數(shù)量級上的挑戰(zhàn)，即使如廣義相對論和牛頓力學(xué)相去之遠，也幾乎不可能找到在哪項理論預(yù)言上能夠出現(xiàn)百倍千倍的不同。
我們當然相信未來必然有更完善的理論出現(xiàn)替代廣義相對論，但如果那個理論既能在光年尺度上給出與廣義相對論相同的結(jié)果，又在百億光年的宇宙尺度上與廣義相對論相差了億億億億億倍以上，那實在是令人難以想象的樣貌。所以現(xiàn)下匆匆地拋棄弗里德曼方程另起爐灶，未必會找到更好的出路。

求解方程

說來有些奇怪，弗里德曼方程誕生100年來，宇宙學(xué)家們已經(jīng)反復(fù)研究了它的各種特殊解，但是最一般性的解析解卻是直到2022年10月才剛剛被解出，論文[1]作者是加拿大圓周理論物理研究所的Latham Boyle和蘇格蘭愛丁堡大學(xué)希格斯理論物理中心的Neil Turok。
他們解方程的思路非常容易理解。第一步是先把方程寫成最一般性的樣子：

等式右邊的四項分別對應(yīng)輻射能量密度、質(zhì)量密度、曲率貢獻和真空能量密度。然后再對時間標度做個轉(zhuǎn)換，由坐標時間t變換成共形時間τ，二者之間的關(guān)系是：

于是弗里德曼方程就變成了

把等式右邊的多項式因式分解，方程又能進一步寫成

因為最高只有4次，所以a1、a2、a3、a4都可以用λ、κ、μ、r解析地表示出來，當然有可能會是復(fù)數(shù)。

再經(jīng)過一番眼花繚亂的變換之后，憑借橢圓積分工具，就解出了a(τ)。解析解的大致樣子是

其中A1、A2、A3、A4、ζ、m都是含a1、a2、a3、a4、λ的解析式，C是積分常數(shù)。

sn(z, m)這個二元函數(shù)是解析解的靈魂所在，它是12種雅可比橢圓函數(shù)中的一種，性質(zhì)有些像正弦函數(shù)，是個在實軸和虛軸上都有周期性的雙重周期函數(shù)。所以a(τ)也就具有了雙重周期性，像是定義在輪胎表面的函數(shù)一樣。當然，這個輪胎表面是復(fù)平面。

這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不僅看起來非常有趣，而且為研究宇宙演化提供了非常新穎的思路和工具。復(fù)數(shù)時間中包含著極為豐富的內(nèi)容，通過一種名為“威克轉(zhuǎn)動”（Wick rotation）的操作，循環(huán)的虛時間就變成了溫度；熵就變成了作用量，繼而成了量子態(tài)演化的相位……許多量子場論中的問題都可以與熱力學(xué)問題相互轉(zhuǎn)換。利用這套數(shù)學(xué)技巧，我們甚至可以只用幾步就輕松地推導(dǎo)出黑洞溫度和黑洞熵。（參見返樸先前的文章《溫度與神秘的虛時間 | 眾妙之門》）
復(fù)數(shù)時間相關(guān)的工具已經(jīng)在量子場論和黑洞熱力學(xué)中司空見慣，但是應(yīng)用在宇宙學(xué)方面還是開拓性的創(chuàng)舉。這扇隱藏在方程解析解中的側(cè)門被發(fā)現(xiàn)之后，研究者們立即覺察到了一大片低垂的果實等待著摘取。
論文中二位研究者稍微借助黑洞熱力學(xué)的工具后，很快就得出一個很有價值的成果：在所有可能的宇宙中，曲率為零的平直宇宙占據(jù)絕大多數(shù)。這也就是說，我們所處的宇宙之所以平直，并非出于巧合，而是像空氣分子必然均勻分散在房間中一樣，是個自然而然的演化結(jié)果。這一結(jié)論非常有力地駁斥了“人擇主義”色彩濃烈的“精細調(diào)節(jié)假說”。
另外，論文中還在結(jié)尾處順帶提及了真空能演化的相關(guān)機制。初步的分析顯示，一個初始真空能為正數(shù)的宇宙中，無論初值是多少，總會在演化過程中逐漸減小，這背后其實對應(yīng)著虛時間維度上演化過程的熵增方向。至于更完整詳細的分析論證，只能等待二位研究者后續(xù)的論文了。

參考文獻

[1] “Thermodynamic solution of the homogeneity, isotropy and flatness puzzles(and a clue to the cosmological constant)”arXiv:2210.01142v2 [gr-qc]

出品：科普中國