最近與小朋友談到被蘋果砸到的牛頓就問小朋友說蘋果為何會落下呢？小朋友得意的說我知道是重力！但再接著問小朋友那月亮為何不會被地球吸下來呢呢？小朋友困惑一下說是不是月亮太遠(yuǎn)了！說實在我在 10 年前還也答不出這問題！

針對這問題我就動手做了個 GGB 來模擬演示探究一下。在這 Geogebra 中，我將地球重量、半徑與萬有引力參數(shù)丟到萬有引力公式，讓 Geogebra 計算不同位置下，位置影響加速度，加速度再去影響速度、速度再改變位置，通過迭代模擬還原出運行軌跡！可了解到原來其實衛(wèi)星其實是會受到地球引力吸引的，只不過他的速度剛剛好，讓他轉(zhuǎn)圈圈！如果速度太慢就會回到地球表面，但速度太快，就會像暑假ㄧ樣一去不復(fù)返。

學(xué)習(xí)指引

在這節(jié)的學(xué)習(xí)的核心點就是，模擬實際問題。通過萬有引力的參數(shù)，來計算不同高度下的物體的運行速度，受重力影響的軌跡。主要學(xué)習(xí)用表格區(qū)來進(jìn)行迭代。最后再學(xué)習(xí)利用按鈕的腳本來切換顯示的區(qū)域。

任務(wù)1?受重力影響的前10秒

【目的】在地球表面高 h =500m?處水平拋射一個初速度為 v=0.3 km/s 的物體，每秒更新受萬有引力影響下的位置、速度、與加速度。

【說明】先建立半徑R、高度 h、萬有引力常數(shù) G 、地球質(zhì)量 Me，其中長度的單位為 KM。給定初始位置 B2=(0,R+h)?，初速度 C2=(v,0)，而加速度 D2 利用 GM/R^2 由 B2 的位置來決定。接著利用表格區(qū)來更新每秒的位置、速度、加速度的變化。

【操作】

R = 6470? ? ? ? ? ? ? ? ??#?以KM 為長度單位

G = 6.67*10^(-20)?? ?# 萬有引力常數(shù)?以KM 為長度單位

Me = 5.96*10^(24)? ?# 地球質(zhì)量 單位 kg

h = 0.5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??#?離地表高度，以KM 為長度單位

cE = 圓周(O,R)? ? ? ? ? # 地球?

v = 0.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?# 初速度大小

B2 = (0,R+h)? ? ? ? ? ? ? ?# 初始位置

C2 = (v,0)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?# 初速度

D2?= G*Me/長度(向量(V2,O))^3*向量(V2,O)? # 初始加速度?

A3 = 0?

B3 =? P0?

C3 = C2 + D2?

D3 =?G*Me/長度(向量(B2,O))^3*向量(B2,O)?

A4 = A3 + 1

B4 = B3 + (C1+C2)/2?

C4 = C3 + D3

D4?=?G*Me/長度(向量(B4,O))^3*向量(B4,O)?

# 將 A3:D3 的公式往下復(fù)制 10 行。

任務(wù)2?更改更新的間隔

【目的】在地球表面高?h = 320km?處水平拋射一個初速度為 v=5 km/s?的物體，在萬有引力影響下每 tgap 秒更新的位置、速度、與加速度。

【說明】這段主要模擬在國際太空站的位置 h =350km 的圓周運動。其速度約為 v=7.7 km/s。為了讓移動的效果比較清楚，增加個取樣的時間間隔 tgap=10。這時同時要更新 A3， B3， C3?的設(shè)置，使其改為每 tgap 更新一次。

完成后，將 A3:D3?往下復(fù)制? N= 60 份（若電腦速度太慢可選較少的點）。再將 B3:B63 建一個點列 Ps, 并用一個滑動條 n ，來取得 Ps 的前 n 個點。并用折線將這些點連線。

h = 350

v = 7.7

tgap=5

A4 = A3 + tgap

B4 = B3 + tgap*(C1+C2)/2?

C4 = C3 +?tgap*D3

D4?=?G*Me/長度(向量(B4,O))^3*向量(B4,O)?

# 將 A4:D4?的公式往下復(fù)制到 63?行。

Ps = 扁平列表({B2:B63})

N = 長度(Ps)

n = 滑動條(1,N,1,1,100)?

nPs = 最前元素(Ps,n)? ?#最前元素 First

LnPs = 折線(nPs)

任務(wù)3?參數(shù)與版面調(diào)整

【目的】模擬同步衛(wèi)星的運行，在地球表面高?h = 35786 km?處水平拋射一個初速度為 v=3??km/s?的物體，在萬有引力影響下每 tgap=60?秒更新的位置、速度、與加速度。并加入些快速切換的按鈕。

【說明】這小節(jié)在增加一組同步衛(wèi)星的數(shù)據(jù)。但現(xiàn)在數(shù)據(jù)量較多就利用按鈕來作快速切換。同時對三個參數(shù)加入輸入框的關(guān)聯(lián)按鈕。在制作按鈕同時，利用 [放大] ZoomIn 來調(diào)整視窗到合適的范圍。最后同時提供在不同高度 h 時，要達(dá)到等速圓周的速度，與圓周運動的周期。

【操作】

h = 35786

v = 3.08

tagp = 60

g = 1000*G*Me/(R+h)^2

vc = (G*Me / (R+h))^0.5 #圓周運動的速度

tc = 2*pi*((R+h)^3/(G*Me))^0.5? #圓周運動的周期

?

限時任務(wù)

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任務(wù)：S6G5 衛(wèi)星繞地的萬有引力模擬

姓名：朱安強???

心得：每次用 Geogebra 在模擬實際問題都還是感受到數(shù)學(xué)的實用之美通過這些規(guī)則就可還原出這些現(xiàn)象。當(dāng)然，以前是理論上知道個大概，但現(xiàn)在通過 Geogebra 則是讓自己親眼見證，對這些知識的體會又有很深的不同感受。

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