常用的有限元網(wǎng)格生成方法（上）
有限元網(wǎng)格是有限元走向工程應(yīng)用的橋梁，在有限元分析中占有重要的地位。有限元網(wǎng)格的生成是指將連續(xù)的幾何模型離散成為計(jì)算所需的單元信息，其質(zhì)量的優(yōu)劣直接影響求解的速度與精度。本文簡要為大家介紹幾種常用的有限元網(wǎng)格生成方法。
01 映射法 (Mapping)
映射法是最早出現(xiàn)且最直觀的一種有限元網(wǎng)格生成方法。在有限元網(wǎng)格發(fā)展早期，常采用掃掠法和拖拽法對(duì)簡單四邊界區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格生成。將已剖分的起始邊上各點(diǎn)沿特定的方向移動(dòng)若干次至終止邊，即完成對(duì)區(qū)域的剖分。此類方法實(shí)際上就是一種映射，采用向量作為坐標(biāo)變換方式。
映射法的核心在于坐標(biāo)變換，其基本步驟如下：
通過適當(dāng)?shù)挠成浜瘮?shù)將待剖分物理域映射到參數(shù)空間中形成規(guī)則參數(shù)域；
對(duì)規(guī)則參數(shù)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分；
將參數(shù)域的網(wǎng)格反向映射回物理空間，從而得到物理域的網(wǎng)格。
映射函數(shù)有很多種，可根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行選取。若區(qū)域的四條邊都為直線，可以采用四節(jié)點(diǎn)四邊形的拉格朗日插值函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換；若區(qū)域的邊界為曲線，則可以將邊界表示為參數(shù)形式C=C(t)，同樣可以將待剖分物理域映射至單位正方形參數(shù)域。此外，還可以采用偏微分方程法，通過數(shù)值求解偏微分方程而得到參數(shù)空間與物理空間之間的映射關(guān)系。
映射法最大的優(yōu)點(diǎn)在于既能生成結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，也能生成非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。映射法對(duì)單連通區(qū)域算法簡單、速度快、單元質(zhì)量好，并且適用于曲面網(wǎng)格生成，可與形狀優(yōu)化算法集成。因此，映射法在眾多的商業(yè)有限元分析軟件中占有重要的地位。
然而，映射法在實(shí)際應(yīng)用中也存在許多難點(diǎn)，首先便是如何將復(fù)雜的多連通區(qū)域分解為若干可映射的子區(qū)域。目前在實(shí)際應(yīng)用中，采用映射法處理復(fù)雜幾何體的時(shí)間往往遠(yuǎn)大于網(wǎng)格生成的時(shí)間。此外，處理子區(qū)域之間網(wǎng)格的協(xié)調(diào)性和指定區(qū)域網(wǎng)格的疏密過渡問題，對(duì)用戶有著較高的要求。
02 四（八）叉樹法 (Quadtree/Octree)
四（八）叉樹法是一種基于柵格法的全自動(dòng)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成方法。柵格法的特點(diǎn)是用一組背景柵格覆蓋剖分區(qū)域，刪除區(qū)域之外的柵格，并以剩余部分作為初始條件生成網(wǎng)格。Yerry和Shephard首先將用于近似表達(dá)幾何對(duì)象的四（八）叉樹空間分解法引入到網(wǎng)格剖分領(lǐng)域，利用四（八）叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可對(duì)背景柵格遞歸細(xì)分，逼近邊界。
以二維為例，四叉樹法的基本步驟如下：
將剖分區(qū)域的邊界離散化，得到一組線段集和點(diǎn)集；
創(chuàng)建背景柵格覆蓋目標(biāo)區(qū)域，根據(jù)點(diǎn)集的分布平衡四叉樹；
保留與目標(biāo)區(qū)域相交的柵格，刪除完全落在目標(biāo)區(qū)域之外的柵格；
內(nèi)部柵格與邊界柵格的相容網(wǎng)格剖分；
網(wǎng)格優(yōu)化。
四（八）叉樹法的難點(diǎn)在于內(nèi)部柵格與邊界柵格的相容網(wǎng)格剖分。以四叉樹為例，在平衡叉樹的步驟中，通常會(huì)將相鄰區(qū)域之間的細(xì)分等級(jí)之差限制在1以下，使每個(gè)區(qū)域僅會(huì)在頂點(diǎn)和邊中點(diǎn)處產(chǎn)生網(wǎng)格點(diǎn)，以減少相容網(wǎng)格剖分時(shí)所需的模板數(shù)量。然而，對(duì)于三維八叉樹而言，即使相鄰區(qū)域之間細(xì)分等級(jí)之差不大于1，也需要建立至少78種模板。為此，有許多學(xué)者致力于降低八叉樹法程序?qū)崿F(xiàn)的復(fù)雜度。
圖片出處
[1] S.H. Lo, Finite Element Mesh Generation, CRC PressTaylor & Francis USA, 2015
[2] PJ Frey, L Marechal, Fast Adaptive Quadtree MeshGeneration, 7th International Meshing Roundtable, 1998
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