每周一題：隨機切蛋糕和五門問題
### 本期題目： 隨機切蛋糕 題目來源：new scientist
你有一塊長條形的蛋糕（不常見，但是確實有），你在蛋糕上隨機兩個位置上插上了兩根蠟燭。
現(xiàn)在你把蛋糕給了你的好友，你的好友也隨機在蛋糕上挑了一個點，你過這個點，以平行于蛋糕短邊的方向，將蛋糕切成兩塊。
問題是：這兩塊蛋糕上恰各有一根蠟燭的概率是多少？
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加餐題：五門問題
題目來源：new scientist
你參加一個娛樂奪寶節(jié)目，主持人告訴你這五扇門后的某一扇門后有一件獎品，其他門后則什么都沒有。你如果正確打開這扇“幸運門“，則可以帶走獎品。
主持人先讓你選擇了三扇門，你選了A, B, D。如同多數(shù)娛樂節(jié)目，主持人會搞些噱頭。主持人（并不知道哪扇門后有獎品）依次打開了A, D, E門，發(fā)現(xiàn)這些門后面并沒有獎品?，F(xiàn)在，獎品只可能在B, 或C門后面。
主持人說：你確定要繼續(xù)打開B門嗎？我給你一次機會，你可以選擇打開C門，但這是你的最后一次機會，你換還是不換？
你陷入了思索中，到底換還是不換？還是換與不換一個樣？ 附加思考：主持人知道或不知道哪扇門后有獎品，對這個問題有影響嗎？
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上周題目：丟失的襪子
大老李的洗衣機會“吃”襪子，每洗一次后，總是會丟一只襪子（大老李深有體會！）。上周，大老李丟了所有襪子，只好新買了三雙。每次我總是把所有襪子丟進洗衣機一起洗。
那么，洗過三次之后，剩下三只單獨襪子的概率是多少？或者說，大老李剩下至少一雙完整的襪子的概率是多少？
答案：剩下三只單獨襪子的概率是2/5或40%。
第一天洗過之后，必定剩下兩雙和一只襪子。第二天，又有一雙襪子變單只的概率是4/5=0.8，此時剩下1雙和兩只單只的襪子。第三天，唯一一雙完整襪子再丟掉一只的概率是2/4=0.5
因此，三天后剩下三只單獨襪子的概率是0.8*0.5=0.4=40%，留下至少一雙完整襪子的概率是60%。
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上期加餐題：立方體的最大投影面積
大老李閑來無事，拿了一個骰子在太陽底下玩，我發(fā)現(xiàn)這個骰子在地面上能投下的陰影最小面積是一個正方形，面積為1平方米。
請問：這個骰子能在地面投下的陰影面積最大是多少？
答案：最大面積為√3，約等于1.73平方米。圖形見下圖：
這是當(dāng)骰子的一條體對角線垂直于地面時形成的陰影，此時等邊三角形ABC的面積是 √3/2，因此整個陰影面積為 √3。
所有答對者的答案已置為精華。
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