大膽且簡潔是歐拉研究的一大特色，僅從初等微積分便可略見一斑。

撰文?|?威廉·鄧納姆（William Dunham，美國穆倫堡學(xué)院數(shù)學(xué)教授）

翻譯?|?李伯民、汪軍、張懷勇

圖片來源：rook76 / Shutterstock.com
無論按何種標(biāo)準(zhǔn)衡量歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家，萊昂哈德·歐拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的廣泛興趣的推動(dòng)下，他使數(shù)學(xué)發(fā)生了徹底的變革，他一方面擴(kuò)展了像數(shù)論、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)這樣一些早已確立的分支學(xué)科的研究范圍，同時(shí)又創(chuàng)建了像圖論、變分學(xué)和分拆論這樣一些分支學(xué)科。數(shù)學(xué)界在1911年開始出版他的著作集《歐拉全集》，這本身就是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。到目前為止（編者注：本文出版于2005年），已經(jīng)出版了70余卷，達(dá)25000多頁，還尚未完成此項(xiàng)任務(wù)。這個(gè)耗費(fèi)了將近一個(gè)世紀(jì)時(shí)間的龐大的出版項(xiàng)目，充分證明了歐拉與生俱來的過人數(shù)學(xué)天賦。
這種天賦在分析學(xué)中表現(xiàn)尤為突出。在已經(jīng)出版的歐拉著作集中，就有厚厚的18卷近 9000 頁是論述這門學(xué)科的。這些著作中包含了函數(shù)（1748）、微分學(xué)（1755）和積分學(xué)（1768）的里程碑式的教材，以及數(shù)十篇題材從微分方程到無窮級(jí)數(shù)以至橢圓積分的論文。因此，歐拉被描繪成“分析學(xué)的化身”。[1]

要在這短短一章的篇幅中公允地介紹這些貢獻(xiàn)是不可能的。我們僅選擇5個(gè)主題（編者注：本文僅節(jié)選前兩個(gè)主題：微分和積分），以期能窺探歐拉的成就。首先從初等微積分的一個(gè)例子開始，介紹他大膽的——或許有人會(huì)說是不顧一切的方法，來說明他如此鮮明的工作特色。

無窮小量等于0

◆??◆??◆

歐拉在 1755 年寫的《微分學(xué)原理》（Institutiones calculi differentialis）這本教科書中，給出了微分學(xué)的一些常見的公式。[2]這些公式建立在“無限小量”概念的基礎(chǔ)上，他對這一概念的特征描述如下。

毫無疑問，任何量都可以減小直到完全消失，以至最后不復(fù)存在。但是一個(gè)無窮小量是一種不斷減小的量，因此，它在事實(shí)上等于0……同其他普通的思想一樣，在這種思想中其實(shí)并沒有隱含什么高深莫測的奧秘，使得無窮小的演算變得如此疑難重重。[3]

對歐拉來說，微分dx就是零：既不多，也不少——一句話，什么也沒有。因此，表達(dá)式x和x+dx是相等的，并且在必要時(shí)可以互換。他注意到“同有限量相比，無窮小量消失為零，因此可以忽略不計(jì)”。[4]此外，像(dx)2和(dx)3這樣的無窮小量的乘方比dx還要小，所以同樣可以隨意丟棄。
歐拉通常需要尋求的是微分之比，并且確定這個(gè)比值，這相當(dāng)于對0/0賦予一個(gè)值，這是微積分的使命。正如他所說，“微分學(xué)的強(qiáng)大之處在于它同研究任何兩個(gè)無窮小量的比值相關(guān)”。[5]
我們以他對函數(shù)y=sin x的處理作為一個(gè)例證。歐拉從牛頓級(jí)數(shù)開始（其中我們使用現(xiàn)在的“階乘”符號(hào)）：

用微分dx代換z，他推出

由于微分的高次方相對于dx或者常數(shù)是可以忽略的，這兩個(gè)級(jí)數(shù)化簡成

?
在等式y(tǒng)=sin x中，歐拉用x+dx代替x，用y+dy代替y（這對他來說沒有任何改變），然后利用恒等式

和式(2)，得到

從兩端減去y=sin x，他得到dy=sin x+(cos x)dx-y=(cos x)dx。歐拉把這個(gè)結(jié)果變成一句口訣：“任意弧度的正弦的微分等于弧度的微分與弧度余弦的乘積。”[6]由此推出，這兩個(gè)微分的比值自然就是我們所謂的導(dǎo)數(shù)，

。非常簡單！

善用無窮級(jí)數(shù)

◆??◆??◆

歐拉是歷史上最重要的求積專家之一，被積函數(shù)越是奇特，他做得越是得心應(yīng)手。在他的著作中，特別在《歐拉全集》第17卷、第18卷和第19卷中，隨處可見下面一類非同尋常的例子：[7]

最后這個(gè)公式是超越函數(shù)一種多重組合的積分。

作為一個(gè)獨(dú)特的典型，我們考察歐拉對

的求積過程。[8]

首先，他采用了一個(gè)備受推崇的策略：只要可能就引入一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。

從式（1），他得到

?用積分的無窮級(jí)數(shù)代替無窮級(jí)數(shù)的積分，得到

形如

的積分不禁使人聯(lián)想到前一章的約翰·伯努利積分公式，而歐拉立即看出它們的遞歸形式：

?依此類推。正如前一章所見，

，這說明在這樣一些不定積分中用0代換x，相應(yīng)的項(xiàng)變成零。
當(dāng)歐拉將這個(gè)形式的結(jié)果用于式(3)時(shí)，他求出

這自然是第2章中的萊布尼茨級(jí)數(shù)，所以歐拉得到

從這個(gè)推導(dǎo)可以看出，歐拉同他的前輩們牛頓、萊布尼茨和伯努利兄弟一樣，是對付無窮級(jí)數(shù)的（無畏的）高手。事實(shí)上，人們有理由說，在他的前輩數(shù)學(xué)家們的工作基礎(chǔ)上，一種相當(dāng)高的處理無窮級(jí)數(shù)的水平造就了這樣一位早期的分析學(xué)家。

注釋

[1]?Eric Temple Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, 1937, p. 139.??

[2]?Leonhard Euler, Foundations of Differential Calculus , trans. John Blanton,Spriger-Verlag, 2000.?

[3]?同[2], p. 51.?

[4]?同[2], p. 52.?

[5]?同[2], p. 52.?

[6]?同[2], p. 116.?

[7]?這些積分分別參見 Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 17, p. 407, Opera Omnia, ser. 1, vol. 19, p. 227, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 8.??

[8]?Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 4.??

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《微積分的歷程》（人民郵電出版社，2020年9月版）第4章“歐拉”，小標(biāo)題和圖片為編輯所加。