這篇文章，我們想分析一下 MIMO 信道的信道容量，有個前提：是基于非頻率選擇性衰落信道來分析的，即頻率平穩(wěn)衰落的信道。

(錄制的視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1K24y1S77P/）

信道的容量，就是分析互信息的最大值，用數(shù)學公式表示為：

其中 f(S) 是向量 S 的 聯(lián)合概率分布函數(shù)。上面的公式的含義，就是在所有可能的概率分布 f(S) 中，找到使得互信息最大的那種概率分布。

下面來推導一下互信息 I(S;Y) :

先來分析公式 (3) 的后半部分 H(Y|S)
(注： S 是離散的， Y 是連續(xù)的）

利用公式 (1) 有

則公式 (4) 繼續(xù)推導為：

因為噪聲 w 的概率分布，與 s 的取值無關，所以，公式 (6) 后面的積分就與 s 的取值無關，則求和與求積分就可以獨立開來：

把公式 (7) 代入公式 (3) ：

現(xiàn)在就相當于找 H(Y) 的最大值。

這里給出兩個不加證明（還不知道咋證明 ^_^）的定理：

定理 1： 當給定 Y 的自相關矩陣 ，那么 當 Y 滿足 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布時，Y的 differential entroy( 即連續(xù)熵) H(Y) 取最大值。

推論：根據(jù)公式 (1)， Y 是 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布， 則 S 也需要是 Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布。

定理 2：
（1）當 Y 是Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布時：

（2）當 W 是Zero-Mean Circularly Symmetric Complex Gaussian 分布時，因為各個分量的白噪聲之間相互獨立，則：

把 (9) (10) 代入公式 (8) ：

注意： 本文中的 || 都是表示取方陣的行列式.

推導一下 ：

把公式 (12) 代入公式 (11):

從公式 (13) 可以看出，這個互信息的最大取值位置，只與? 有關。
這篇文章里面都假定 H 不是隨機變量，對于接收方 H 是已知的，是確定的。
把公式(13) 代入公式（2）

在實際應用中 f(S)? 這個分布，其實是要滿足一個總能量一定的約束條件，我們假定能量都歸一化了?？偰芰渴? 的跡：

那么公式 (14) 就變成

參考書：
Introduction to Space-Time Wireless Communications， Arogyaswami Paulraj，Cambridge University Press 2003