一，問題總述和疊甲（不明的樂）

如標(biāo)題和例圖所示，本專欄研究的問題便是在給定點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的情況下，尋找點(diǎn)P使點(diǎn)B落在∠APC的角平分線所在的直線。

在正式介紹研究前，本人申明，該問題從屬是自娛自樂所為，在網(wǎng)上搜了下發(fā)現(xiàn)沒相應(yīng)解決方案就自己寫了寫，如果有前人已經(jīng)研究了這個(gè)問題，請當(dāng)本人是小丑。

另外，如果前人的思路和我有雷同，純屬巧合（不會(huì)真的有大佬和我一個(gè)思路吧。。。）

二，討論2種簡要的分類

這里建系為A(-d,0) B(m,n)?C(d,0)

分類1.ABC，三點(diǎn)共線時(shí)（n=0），顯然是阿氏圓加直線AC（除去線段AC），在這里僅簡述一下過程。

如下圖，對于倆定點(diǎn)A,C若PA/PC是一個(gè)定值K，則點(diǎn)P是一個(gè)阿氏圓，這里就不證明阿氏圓的結(jié)論了，感興趣的去網(wǎng)上隨便搜搜吧。

取K=BA/BC然后寫出阿氏圓的方程,加上直線AC（除去線段AC）

對于直線AC上面（除去線段AC）的那些點(diǎn)，我們視為∠APC的平分線就是直線AC。

對于阿氏圓上的點(diǎn)P，根據(jù)阿氏圓的性質(zhì)有PA/PC=BA/BC，顯然BP平分∠APC（角平分線的性質(zhì)）

分類2,點(diǎn)B在線段AC的中垂線上時(shí)（m=0），顯然P也在線段AC的中垂線上。

三，對于一般形式的解決問題思路

我們采取分類1中借助阿氏圓的思路解決這個(gè)問題。

對于一個(gè)不等于1的正值k（這里采取通過控制k0來使k的值遍歷0到正無窮），可以構(gòu)造一個(gè)阿氏圓，記該阿氏圓交直線AC上AC間為點(diǎn)P0，不在AC間為點(diǎn)P1

作直線BP0交阿氏圓另一點(diǎn)P,。類似上文，該點(diǎn)P滿足了BP(P0P)所在直線平分∠APC。

根據(jù)以上思路，我們有了求點(diǎn)P軌跡的具體方法：

以k為參數(shù)出發(fā)，求點(diǎn)P0,點(diǎn)P1，進(jìn)而求出阿氏圓方程和直線BP0方程，然后聯(lián)立接觸P的坐標(biāo)。

四，一般形式的實(shí)際計(jì)算

如圖。手寫的計(jì)算和示圖

解出來是點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程(當(dāng)m=xp0，即k=（d+m）/(d-m）該參數(shù)方程依然成立)

圖里面寫了，我就不打最后的參數(shù)方程了，打起來太麻煩。

五，劃分軌跡的大概區(qū)域

由于對稱性，不妨認(rèn)為B在第一象限，

當(dāng)B在C左側(cè)（m<d）時(shí)，k在0到1之間時(shí)，點(diǎn)p落在綠色區(qū)域

k在1到K(K=BA/BC)之間時(shí)，點(diǎn)p落在藍(lán)色區(qū)域

k大于等于K時(shí)，點(diǎn)p落在紫色區(qū)域

當(dāng)B在C右側(cè)（m＜d）時(shí)，類似上面情況：

有一點(diǎn)要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，到了紫色區(qū)域后的點(diǎn)P并不會(huì)越過直線AD而是直接收斂于點(diǎn)D。

下面是示圖鏈接網(wǎng)址：

https://www.desmos.com/calculator/6cwn9tbjtl?lang=zh-CN