給大數(shù)看面相：整除特征
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01．整除特征在數(shù)論體系中的地位
小學(xué)奧數(shù)七大體系中，數(shù)論體系可按以下18個(gè)講次來(lái)教學(xué)——
奇數(shù)與偶數(shù)
數(shù)的拆分
帶余除法
周期問(wèn)題
頁(yè)碼問(wèn)題
整除性質(zhì)與特征
位值原理
進(jìn)位制
因數(shù)與倍數(shù)
質(zhì)數(shù)與合數(shù)
因數(shù)定理
短除模型
余數(shù)性質(zhì)
同余
同余式與不定方程
完全平方數(shù)
中國(guó)剩余定理
數(shù)論綜合（與其他體系交叉，常見(jiàn)的有組合體系、計(jì)數(shù)體系）
以上講次可粗略分為“整除性質(zhì)”“因倍質(zhì)合”“余數(shù)性質(zhì)”三大階段．
“整除特征”可以說(shuō)是小學(xué)數(shù)論體系里面非常重要的入門(mén)內(nèi)容——在學(xué)習(xí)“整除特征”之前，從“奇數(shù)與偶數(shù)”到“頁(yè)碼問(wèn)題”，全都可以當(dāng)做算術(shù)題、應(yīng)用題來(lái)看待，不必專(zhuān)門(mén)強(qiáng)調(diào)它的“數(shù)論屬性”；而從“整除特征”開(kāi)始，數(shù)論知識(shí)的“天梯”才第一次在學(xué)生面前鋪開(kāi)，由于之后的講次層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，想要學(xué)好數(shù)論，就必須溯源到“整除特征”．
“整除特征”最主要的教學(xué)目標(biāo)是——讓學(xué)生熟練判斷一個(gè)大數(shù)能否被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,33,99,101,111,125,333,999,1001整除，以及，在不能整除的情況下，能否快速算出余數(shù)．
在學(xué)習(xí)“整除特征”時(shí)，會(huì)提前涉及到“位值原理”“因數(shù)倍數(shù)”“余數(shù)性質(zhì)”等后續(xù)知識(shí)，這也為今后正式學(xué)習(xí)做了一定的鋪墊．
02．如何從整體把握整除特征？
無(wú)論是老師授課，還是學(xué)生學(xué)習(xí)，在正式刷題之前，最好要對(duì)整除特征的整體脈絡(luò)有一個(gè)初步把握．
本文嘗試按照“整除、因倍、位值原理”、“整除性質(zhì)”、“整除特征”、“末尾系整除特征”、“和系整除特征”、“差系整除特征”、“整除特征表”這七塊內(nèi)容進(jìn)行梳理，最終得出結(jié)論——整除特征其實(shí)就是“給大數(shù)看面相”，“一葉而知秋”．
03．整除、因倍、位值原理
【整除】
我們知道，對(duì)于帶余除法，可總結(jié)出以下關(guān)系式——
被除數(shù)÷除數(shù)＝商……余數(shù)
如果用非負(fù)整數(shù)a、b、q、r分別表示被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)（其中b不等于0），那么以上關(guān)系式可寫(xiě)成——
a÷b＝q……r
如果r＝0，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a，記為b|a．
例如對(duì)于帶余除法“105÷5＝21……0”，我們可以說(shuō)105能被5整除，也可以說(shuō)5能整除105，記為5|105．
【因倍】
如果r＝0，我們也可以說(shuō)a是b或q的（整）倍數(shù)，又因?yàn)閍÷b＝q可化為a＝b×q，我們還可以說(shuō)b和q是a的因數(shù)．
例如對(duì)于帶余除法“105÷5＝21……0”，我們可以說(shuō)105是5或21的倍數(shù)，也可以說(shuō)5和21是105的因數(shù)．
【最大公因數(shù)】
因?yàn)?0＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，所以30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15、30．
因?yàn)?6＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36．
觀察發(fā)現(xiàn)1、2、3、6既是30的因數(shù)也是36的因數(shù)，于是把1、2、3、6稱為30與36的公因數(shù)，而這些公因數(shù)中最大的是6，我們就把6叫做30與36的最大公因數(shù)，記為(30,36)＝6．
【位值原理】
一個(gè)多位數(shù)比如“1111”，哪怕都是數(shù)字“1”，但由于“站位”不同，所表示的數(shù)值也不同——也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”，兩者共同決定了該位上數(shù)的大?。?/p>
例如： 1111＝1×1000＋1×100＋1×10＋1×1，123＝1×100＋2×10＋3×1．
04．整除性質(zhì)
在知道了整除、因倍等概念之后，我們可以用它們來(lái)推導(dǎo)以下性質(zhì)——
【性質(zhì)1】和差
如果整數(shù)a和整數(shù)b都能被整數(shù)c整除，則它們的和或差也能被c整除．
即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)．
例如：5|15，5|10，那么5|(15±10)．
但必須注意的是，以上敘述反過(guò)來(lái)不成立，即兩數(shù)的和或差能被c整除，這兩個(gè)數(shù)不一定能被c整除．
例如：5|(11＋29)，但11、29均不能被5整除．
【性質(zhì)2】傳遞
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，b又能被整數(shù)c整除，那么a也能被c整除．
即：如果b|a，c|b，那么c|a．
例如：15|45，5|15，那么5|45．
【性質(zhì)3】乘積
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，也能被整數(shù)c整除，且b和c最大公因數(shù)是1，那么a一定能被b與c的乘積整除．
即：如果b|a，c|a，并且(b,c)＝1，那么bc|a．
例如：如果3|60，5|60，并且(3,5)＝1，那么(3×5)|60．
【性質(zhì)4】因數(shù)
如果整數(shù)a能被整數(shù)b與整數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除．
即：如果bc|a，那么b|a，c|a．
例如：(6×9)|108，那么6|108，9|108．
在以上例子中，盡管6與9的最大公因數(shù)不是1，性質(zhì)4依然成立，可見(jiàn)性質(zhì)4并沒(méi)有像性質(zhì)3那樣要求b與c的最大公約數(shù)是1．
【性質(zhì)5】擴(kuò)倍
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，那么am也能被bm整除．（m是非零整數(shù)）
即：如果b|a，那么bm|am．（m是非零整數(shù)）
例如：7|21，那么(7×3)|(21×3)．
【性質(zhì)6】復(fù)合
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，整數(shù)c能被整數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除．
即：如果b|a，d|c，那么bd|ac．
例如：3|9，5|10，那么(3×5)|(9×10)．
05．整除特征
（1）整除是帶余除法的一種特殊情況
在被除數(shù)a很大（比如a＝10154752214576652234155788）并且除數(shù)b相對(duì)很?。ū热鏱＝2,3,5,7,11,13,17,19）的情況下，a除以b的商q會(huì)很大，又因?yàn)橛鄶?shù)r小于除數(shù)b，除數(shù)小，余數(shù)只會(huì)更小，所以比起遠(yuǎn)大于余數(shù)r的商q，我們往往更關(guān)心余數(shù)r是幾．
例如：a在數(shù)表中的位置，a天后是星期幾，某數(shù)的a次方個(gè)位是幾……解決這些問(wèn)題只需要我們用a除以周期b，算出余數(shù)r即可．而余數(shù)有幾種情況，完全取決于除數(shù)，如果除數(shù)是b，則余數(shù)r就有b種情況——比如a除以7的余數(shù)就恰好有7種情況：0,1,2,3,4,5,6．
根據(jù)整除的定義，我們發(fā)現(xiàn)，整除是余數(shù)為0的一種特殊情況．
本文探討的整除特征，其實(shí)就是在討論大數(shù)a的哪些特征可以幫助快速判斷a除以b的余數(shù)r是否為0．
所以我們應(yīng)該知道，余數(shù)問(wèn)題是一個(gè)更大的范圍，它包含了整除問(wèn)題．
（2）部分與整體
接下來(lái)，讓我們進(jìn)一步理解整除特征．
所謂特征，就是一個(gè)整體區(qū)別于其他整體的部分，比如一個(gè)人的臉，臉（部分）就是人（整體）的特征，通過(guò)臉的特征信息，人臉識(shí)別系統(tǒng)就能區(qū)別對(duì)待不同的人．
有一句哲語(yǔ)說(shuō)“一即是全，全即是一”，說(shuō)的是無(wú)論你從微觀還是從宏觀去探索這個(gè)世界，得到的真理其實(shí)是一樣的．這種觀點(diǎn)認(rèn)為，從一個(gè)整體中取走一小塊，這個(gè)小塊卻包含了它所屬整體的全部信息，這就類(lèi)似于采集一只羊的組織樣品，只需用該樣品中的DNA就能克隆一只完整的羊．
不過(guò)在數(shù)學(xué)上，這個(gè)觀點(diǎn)不一定正確，一般來(lái)說(shuō)，你無(wú)法從一個(gè)真子集推知它的全集．不過(guò)，我們有時(shí)候并不關(guān)心全集，而是關(guān)心這個(gè)全集在某個(gè)特定操作下的結(jié)果是多少．一個(gè)集合并非它的所有部分都參與決定這個(gè)結(jié)果，那么針對(duì)該特定操作，我們只需要找到與之相關(guān)的那部分真子集，就足以得出結(jié)論，而這個(gè)真子集，也可以稱為關(guān)于某個(gè)操作的特征．
（3）整除特征
對(duì)于一個(gè)大數(shù)a，除以某些特殊除數(shù)b，a的一些經(jīng)過(guò)精心處理（其實(shí)就是利用位值原理去構(gòu)造）的特征數(shù)確實(shí)是可以透露它的整除情況的——即我們只需要通過(guò)a的一部分信息就能得出a除以b的余數(shù)是多少．
（但如果是求a除以b的商和余數(shù)分別是多少，那就需要知道a的全部信息了．）
我們把一個(gè)大數(shù)a的末一位（末n位），數(shù)字和（數(shù)段和），數(shù)字奇偶差（數(shù)段奇偶差）統(tǒng)一命名為這個(gè)大數(shù)的特征數(shù)x，如果x能被整數(shù)b整除，那么a也能被整除；如果x除以b的余數(shù)是r，那么這個(gè)a除以b的余數(shù)也是r．
所以特征數(shù)x就好比大數(shù)a的臉部特征，我不需要看清大數(shù)a的全身，只看臉（特征數(shù)x）就能知道它的整除情況或余數(shù)情況．
（4）構(gòu)造特征數(shù)的整體思路
在分別介紹“末尾系”“和系”“差系”之前，先簡(jiǎn)單提一下構(gòu)造特征數(shù)的整體思路——我們把一個(gè)大數(shù)a分解成兩部分的和，其中一大部分是給定除數(shù)b的倍數(shù)（這部分無(wú)論有多大，除以b的余數(shù)始終為0，可認(rèn)為對(duì)余數(shù)沒(méi)有任何貢獻(xiàn)），那么只需看剩下的一小部分（特征數(shù)x）除以b的情況如何，就能知道a除以b的情況如何了．
06．末尾系整除特征
（1）為什么能被2或5整除的數(shù)的特征數(shù)是末一位？
在小低年級(jí)學(xué)習(xí)奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)，我們就發(fā)現(xiàn)了2的倍數(shù)（即偶數(shù)）的個(gè)位數(shù)字規(guī)律：0、2、4、6、8——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)，只要a的個(gè)位（末一位）能被2整除，a就能被2整除；只要a的個(gè)位（末一位）除以2余1，a除以2就余1．
5也如此，無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)，只要a的個(gè)位（末一位）能被5整除，那么a就能被5整除；只要a的個(gè)位（末一位）除以5余r（r＝1,2,3,4），那么a除以5就余r．
那么，為什么能被2和5的整除的數(shù)的特征數(shù)都是末一位呢？
（為了表述方便，接下來(lái)我們把“能被2和5的整除的數(shù)的特征數(shù)”簡(jiǎn)寫(xiě)為“2和5的整除特征”）
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以2或5的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝1234560＋7＝10×123456＋7．
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“10×123456”這部分能被10整除，又因?yàn)?0＝2×5，根據(jù)整除性質(zhì)4可知——
“10×123456”能被2整除，也能被5整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“10×123456”除以2的余數(shù)為0，除以5的余數(shù)也為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝10×123456＋7）想要被2或5整除，在第一部分“10×123456”已經(jīng)被2或5整除的情況下，第二部分“7”也要被2或5整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被2或5整除的關(guān)鍵．
如果“7”除以2或5余數(shù)為0，那么a就能被2或5整除；
如果“7”除以2或5余數(shù)為r（r＝1,2,3,4），那么a除以2或5的余數(shù)就是r．
（這里用到了余數(shù)的可加性，雖然還沒(méi)有正式學(xué)習(xí)余數(shù)的性質(zhì)，但是可以這樣給學(xué)生講——a＝10×123456＋7，第一部分“10×123456”除以2或5不會(huì)產(chǎn)生余數(shù)，如果a除以2或5出現(xiàn)了余數(shù)，那么這個(gè)余數(shù)一定來(lái)自于第二部分“7”）
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以2或5時(shí)，只有它的末一位參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的末一位稱為2或5的整除特征．
這就好比“1234567”是一條毛毛蟲(chóng)，“7”是它的臉，其余部分是它的身子，我們只需要看臉就能知道這條“毛毛蟲(chóng)”除以2或5的整除（余數(shù)）情況了．
（2）為什么4的整除特征不是末一位而是末兩位？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是兩位數(shù)），只要a的末兩位能被4整除，a就能被4整除；只要a的末兩位除以4余r（r＝1,2,3），a除以4就余r．
——為什么除數(shù)4作為一個(gè)一位數(shù)，它的整除特征卻是末兩位？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以4的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝1234500＋67＝100×12345＋67．
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“100×12345”這部分能被100整除，又因?yàn)?00＝4×25，根據(jù)整除性質(zhì)4可知——
“100×12345”能被4整除，也能被25整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“100×12345”除以4的余數(shù)為0，除以25的余數(shù)也為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝100×12345＋67）想要被4或25整除，在第一部分“100×12345”已經(jīng)被4或25整除的情況下，第二部分“67”也要被4或25整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被4或25整除的關(guān)鍵．
如果“67”除以4或25余數(shù)為0，那么a就能被4或25整除；
如果“67”除以4或25余數(shù)為r，那么a除以4或25的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以4或25時(shí)，只有它的末兩位參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的末兩位稱為4或25的整除特征．
并且我們還知道了——之所以4的整除特征不是末一位，是因?yàn)椋ㄔ谝蟪鯇W(xué)者掌握的整除特征中）除數(shù)4沒(méi)有專(zhuān)屬于自己的整除特征，作為100的因數(shù)，它和它的“搭檔”25都依附于除數(shù)100的整除特征，因?yàn)槌龜?shù)100的整除特征是被除數(shù)a的末兩位，所以4和25的整除特征都是末兩位．
（3）為什么8的整除特征不是末一位而是末三位？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是三位數(shù)），只要a的末三位能被8整除，a就能被8整除；只要a的末三位除以8余r（r＝1,2,3,4,5,6,7），a除以8就余r．
——為什么除數(shù)8作為一個(gè)一位數(shù)，它的整除特征卻是末三位？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以8的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝1234000＋567＝1000×1234＋567．
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“1000×1234”這部分能被1000整除，又因?yàn)?000＝8×125，根據(jù)整除性質(zhì)4可知——
“1000×1234”能被8整除，也能被125整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“1000×1234”除以8的余數(shù)為0，除以125的余數(shù)也為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝1000×1234＋567）想要被8或125整除，在第一部分“1000×1234”已經(jīng)被8或125整除的情況下，第二部分“567”也要被8或125整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被8或125整除的關(guān)鍵．
如果“567”除以8或125余數(shù)為0，那么a就能被8或125整除；
如果“567”除以8或125余數(shù)為r，那么a除以8或125的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以8或125時(shí)，只有它的末三位參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的末三位稱為8或125的整除特征．
并且我們還知道了——之所以8的整除特征不是末一位，是因?yàn)椋ㄔ谝蟪鯇W(xué)者掌握的整除特征中）除數(shù)8沒(méi)有專(zhuān)屬于自己的整除特征，作為1000的因數(shù)，它和它的“搭檔”125都依附于除數(shù)1000的整除特征，因?yàn)槌龜?shù)1000的整除特征是被除數(shù)a的末三位，所以8和125的整除特征都是末三位．
07．和系整除特征
（1）為什么9的整除特征不是末一位而是數(shù)字和？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)，只要a的（一位一段和）數(shù)字和能被9整除，a就能被9整除；只要a的（一位一段和）數(shù)字和除以9余r（r＝1,2,3,4,5,6,7,8），a除以9就余r．
那么，為什么9的整除特征不是末一位而是數(shù)字和呢？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以9的余數(shù)，能否只看a的末幾位呢？顯然不能——因?yàn)闊o(wú)論是1234560，還是1234500，又或是1234000，這些整十、整百、整千的數(shù)不一定都能被9整除，我們不能說(shuō)“只有a的末幾位才對(duì)除以9的余數(shù)有貢獻(xiàn)”．所以我們不能只在a的末幾位里尋找9的整除特征．
但是我們可以這樣做：
a＝1234567
＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7
＝1×(999999＋1)＋2×(99999＋1)＋3×(9999＋1)＋4×(999＋1)＋5×(99＋1)＋6×(9＋1)＋7
＝1×999999＋2×99999＋3×9999＋4×999＋5×99＋6×9＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)
＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”這部分能被9整除，又因?yàn)?|9，根據(jù)整除性質(zhì)2可知——
“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”能被9整除，也能被3整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”除以9的余數(shù)為0，除以3的余數(shù)也為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)＋(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)）想要被9或3整除，在第一部分“9×(1×111111＋2×11111＋3×1111＋4×111＋5×11＋6×1)”已經(jīng)被9或3整除的情況下，第二部分“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”也要被9或3整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被9或3整除的關(guān)鍵．
如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余數(shù)為0，那么a就能被9或3整除；
如果“(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)”除以9或3余數(shù)為r，那么a除以9或3的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以9或3時(shí)，只有它的數(shù)字和（一位一段和）參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的數(shù)字和（一位一段和）稱為9或3的整除特征．
（2）為什么11的整除特征可以是兩位一段和？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是兩位數(shù)），只要a的（兩位一段）數(shù)段和能被99整除，a就能被99整除；只要a的（兩位一段）數(shù)段和除以99余r，a除以99就余r．
那么，為什么11的整除特征也可以是兩位一段和呢？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以99的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝01234567
＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67
＝01×(999999＋1)＋23×(9999＋1)＋45×(99＋1)＋67
＝01×999999＋23×9999＋45×99＋(01＋23＋45＋67)
＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”這部分能被99整除，又因?yàn)?3|99，11|99，根據(jù)整除性質(zhì)2可知——
“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”能被99整除，也能被33整除，還能被11整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”除以99的余數(shù)是0，除以33的余數(shù)也是0，除以11的余數(shù)還是0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝99×(01×10101＋23×101＋45×1)＋(01＋23＋45＋67)）想要被99或33或11整除，在第一部分“99×(01×10101＋23×101＋45×1)”已經(jīng)被99或33或11整除的情況下，第二部分“(01＋23＋45＋67)”也要被99或33或11整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被99或33或11整除的關(guān)鍵．
如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余數(shù)為0，那么a就能被99或33或11整除；
如果“(01＋23＋45＋67)”除以99或33或11余數(shù)為r，那么a除以99或33或11的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以99或33或11時(shí)，只有它的“兩位一段和”參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的“兩位一段和”稱為99或33或11的整除特征．
（特別提醒：“兩位一段和”在分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位，即從右至左的順序，如果最左側(cè)僅剩一個(gè)數(shù)字，可添零補(bǔ)足兩位．）
（3）為什么111的整除特征可以是三位一段和？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是三位數(shù)），只要a的（三位一段）數(shù)段和能被999整除，a就能被999整除；只要a的（三位一段）數(shù)段和除以999余r，a除以999就余r．
那么，為什么111的整除特征也可以是三位一段和呢？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以999的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝001234567
＝001×1000000＋234×1000＋567
＝001×(999999＋1)＋234×(999＋1)＋567
＝001×999999＋234×999＋(001＋234＋567)
＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“999×(001×1001＋234×1)”這部分能被999整除，又因?yàn)?33|999，111|999，根據(jù)整除性質(zhì)2可知——
“999×(001×1001＋234×1)”能被999整除，也能被333整除，還能被111整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“999×(001×1001＋234×1)”除以999的余數(shù)是0，除以333的余數(shù)也是0，除以111的余數(shù)還是0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝999×(001×1001＋234×1)＋(001＋234＋567)）想要被999或333或111整除，在第一部分“999×(001×1001＋234×1)”已經(jīng)被999或333或111整除的情況下，第二部分“(001＋234＋567)”也要被999或333或111整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被999或333或111整除的關(guān)鍵．
如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余數(shù)為0，那么a就能被999或333或111整除；
如果“(001＋234＋567)”除以999或333或111余數(shù)為r，那么a除以999或333或111的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以999或333或111時(shí)，只有它的“三位一段和”參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的“三位一段和”稱為999或333或111的整除特征．
（特別提醒：“三位一段和”在分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位，即從右至左的順序，如果最左側(cè)僅剩不到3個(gè)數(shù)字，可添零補(bǔ)足三位．）
08．差系整除特征
（1）為什么11的整除特征除了兩位一段和還可以是一位一段奇偶差？
11存在多個(gè)整除特征，其中包括——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)，只要a的“一位一段奇偶差”能被11整除，a就能被11整除；a的“一位一段奇偶差”除以11余r，那么a除以11就余r．
為什么11存在以上整除特征呢？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以11的余數(shù)，除了兩位一段和以外，有沒(méi)有別的巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567
＝1×1000000＋2×100000＋3×10000＋4×1000＋5×100＋6×10＋7
＝1×(999999＋1)＋2×(100001－1)＋3×(9999＋1)＋4×(1001－1)＋5×(99＋1)＋6×(11－1)＋7
＝1×999999＋2×100001＋3×9999＋4×1001＋5×99＋6×11＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)
＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)＋(1－2＋3－4＋5－6＋7)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”這部分能被11整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”除以11的余數(shù)為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)）想要被11整除，在第一部分“11×(1×90909＋2×9091＋3×909＋4×91＋5×9＋6×1)”已經(jīng)被11整除的情況下，第二部分“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”也要被11整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被11整除的關(guān)鍵．
如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余數(shù)為0，那么a就能被11整除；
如果“(1－2＋3－4＋5－6＋7)”除以11余數(shù)為r，那么a除以11的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以11時(shí)，只有它的“一位一段奇偶差”參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的“一位一段奇偶差”稱為11的整除特征．
（特別提醒：“一位一段奇偶差”在分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位，即從右至左的順序，第1、3、5…段（奇數(shù)段）相加，第2、4、6…段（偶數(shù)段）相加，然后奇數(shù)段之和減去偶數(shù)段之和．）
（2）為什么少有人關(guān)心101的整除特征？
101是一個(gè)不常被提到的除數(shù)，不常見(jiàn)的原因并非它自身比較大，而是“沒(méi)有更小的除數(shù)是它的因數(shù)”——101是一個(gè)質(zhì)數(shù)．由于沒(méi)有更小的除數(shù)“共享”101的整除特征，所以我們很少會(huì)用到它的整除特征——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是兩位數(shù)），只要a的“兩位一段奇偶差”能被101整除，a就能被101整除；只要a的“一位一段奇偶差”除以101余r，a除以101就余r．
為什么101存在以上整除特征呢？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以101的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567
＝01×1000000＋23×10000＋45×100＋67
＝01×(1000001－1)＋23×(9999＋1)＋45×(101－1)＋67
＝01×1000001＋23×9999＋45×101＋(67－45＋23－01)
＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”這部分能被101整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”除以101的余數(shù)為0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝101×(01×9901＋23×99＋45×1)＋(67－45＋23－01)）想要被101整除，在第一部分“101×(01×9901＋23×99＋45×1)”已經(jīng)被101整除的情況下，第二部分“(67－45＋23－01)”也要被101整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被101整除的關(guān)鍵．
如果“(67－45＋23－01)”除以101余數(shù)為0，那么a就能被101整除；
如果“(67－45＋23－01)”除以101余數(shù)為r，那么a除以101的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以101時(shí)，只有它的“兩位一段奇偶差”參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的“兩位一段奇偶差”稱為101的整除特征．
（特別提醒：“兩位一段奇偶差”在分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位，即從右至左的順序，第1、3、5…段（奇數(shù)段）相加，第2、4、6…段（偶數(shù)段）相加，然后奇數(shù)段之和減去偶數(shù)段之和．）
（3）為什么7作為一位數(shù)，它的整除特征卻是三位一段奇偶差？
我們知道——無(wú)論被除數(shù)a是一個(gè)幾位數(shù)（至少是三位數(shù)），只要a的“三位一段奇偶差”能被7整除，a就能被7整除；只要a的“三位一段奇偶差”除以7余r，a除以7就余r．
——為什么除數(shù)7作為一個(gè)一位數(shù)，它的整除特征卻是三位一段？
讓我們來(lái)看以下例子——
假設(shè)a＝1234567，想要求1234567除以7的余數(shù)，除了直接列豎式計(jì)算以外，有沒(méi)有巧算辦法呢？
還可以這樣做：
a＝1234567＝001234567
＝001×1000000＋234×1000＋567
＝001×(999999＋1)＋234×(1001－1)＋567
＝001×999999＋234×1001＋(001－234＋567)
＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)
通過(guò)以上操作，a被分成了兩部分，其中“1001×(001×999＋234×1)”這部分能被1001整除，又因?yàn)?|1001，11|1001，13|1001，根據(jù)整除性質(zhì)2可知——
“1001×(001×999＋234×1)”能被1001整除，也能被7、11、13整除．
換一個(gè)說(shuō)法：“1001×(001×999＋234×1)”除以1001的余數(shù)是0，除以7、11、13的余數(shù)也是0．
根據(jù)整除性質(zhì)1，如果a（a＝1001×(001×999＋234×1)＋(001－234＋567)）想要被7或11或13整除，在第一部分“1001×(001×999＋234×1)”已經(jīng)被7或11或13整除的情況下，第二部分“(001－234＋567)”也要被7或11或13整除才行——于是第二部分就成了決定a是否能被7或11或13整除的關(guān)鍵．
如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余數(shù)為0，那么a就能被7或11或13整除；
如果“(001－234＋567)”除以7或11或13余數(shù)為r，那么a除以7或11或13的余數(shù)就是r．
（設(shè)a等于一個(gè)任意的七位數(shù)，甚至一個(gè)任意的多位數(shù)，請(qǐng)讀者自證以上結(jié)論仍成立．）
通過(guò)以上例子，我們知道了一個(gè)多位數(shù)a除以7或11或13時(shí)，只有它的“三位一段奇偶差”參與決定余數(shù)r（r＝0則整除），所以我們把a(bǔ)的“三位一段奇偶差”稱為7或11或13的整除特征．
（特別提醒：“三位一段奇偶差”在分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位，即從右至左的順序，第1、3、5…段（奇數(shù)段）相加，第2、4、6…段（偶數(shù)段）相加，然后奇數(shù)段之和減去偶數(shù)段之和．）
并且我們還知道了——之所以7的整除特征不是“一位一段”，是因?yàn)椋ㄔ谝蟪鯇W(xué)者掌握的整除特征中）除數(shù)7沒(méi)有專(zhuān)屬于自己的整除特征，作為1001的因數(shù)，它和它的“搭檔”11、13都依附于除數(shù)1001的整除特征，因?yàn)槌龜?shù)1001的整除特征是被除數(shù)a的“三位一段奇偶差”，所以7、11、13的整除特征都是“三位一段奇偶差”．
09．整除特征表
在分別學(xué)習(xí)了“末尾系”“和系”“差系”的整除特征之后，很有必要通過(guò)一個(gè)表格對(duì)以上知識(shí)進(jìn)行一個(gè)匯總——
以下是對(duì)上表內(nèi)容進(jìn)一步的補(bǔ)充：
11有多種整除特征，通常情況下，建議使用專(zhuān)屬于11的整除特征——“一位一段奇偶差”,因?yàn)檫@個(gè)特征用起來(lái)最方便． （讀者可思考：除了11，別的除數(shù)是否也存在多種整除特征？）
給多位數(shù)分段時(shí)應(yīng)按照從末位到首位（從右至左）的順序，若最左側(cè)僅剩的數(shù)字不足一段，可添零補(bǔ)位．
除數(shù)整除特征數(shù)，則除數(shù)整除被除數(shù)；特征數(shù)除以除數(shù)余幾，則被除數(shù)除以除數(shù)就余幾．
差系特征數(shù)的計(jì)算有兩種方式：①如果僅僅是為了判斷整除，把被除數(shù)分段后先分別計(jì)算奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和，然后用“較大的和”減“較小的和”，所得結(jié)果即特征數(shù)；②如果不僅是為了判斷整除，在不能整除時(shí)還要算出余數(shù)，那么就只能用奇數(shù)段之和減偶數(shù)段之和來(lái)計(jì)算特征數(shù)，但是有可能奇數(shù)段之和小于偶數(shù)段之和導(dǎo)致不夠減，這種情況就要在原算式基礎(chǔ)上加若干個(gè)除數(shù)，直到夠減為止．
為什么在計(jì)算差系特征數(shù)的時(shí)候，可以在原算式的基礎(chǔ)上加若干個(gè)除數(shù)？ 我們用整除性質(zhì)來(lái)證明（會(huì)涉及到同余和余數(shù)性質(zhì)的知識(shí)）： 已知整數(shù)a是被除數(shù)，正整數(shù)b是除數(shù)，整數(shù)q是商，整數(shù)r是余數(shù)，另設(shè)k為正整數(shù)，那么有：a＝bq＋r； 已知1|q，1|k，根據(jù)整除性質(zhì)5，有b|bq，b|bk； 又根據(jù)整除性質(zhì)1，得到：b|(bq＋bk)； 那么(bq＋bk)÷b的余數(shù)是0，則(bq＋bk＋r)÷b的余數(shù)是r，也就是(a＋bk)÷b的余數(shù)是r． 所以在被除數(shù)的基礎(chǔ)上增加若干個(gè)除數(shù)，余數(shù)不變．
根據(jù)整除性質(zhì)2，若較小除數(shù)是較大除數(shù)的因數(shù)，那么較小除數(shù)能共享較大除數(shù)的整除特征．比如5的整除特征原本是末一位，但由于5|25，5|125，所以末兩位、末三位也可以作為5的整除特征．
反之則不然，哪怕較小除數(shù)是較大除數(shù)的因數(shù)，較大除數(shù)也不能共享較小除數(shù)的整除特征．比如25的整除特征原本是末兩位，盡管5|25，但是25無(wú)法使用末一位作為整除特征．
10．總結(jié)
本文從“整除”、“因倍”、“位值原理”等基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，介紹了初學(xué)者有必要了解的“整除性質(zhì)”，然后運(yùn)用“位值原理”去構(gòu)造，運(yùn)用“整除性質(zhì)”去推理，全面系統(tǒng)地得出了“末尾系”、“和系”、“差系”的“整除特征”，最后匯總整理出了具有實(shí)用價(jià)值的“整除特征表”．
無(wú)論是末尾系、和系還是差系，無(wú)論是一位一段、兩位一段還是三位一段，利用整除特征得出的特征數(shù)，都可看作“大數(shù)的面相”——我們只需看到“大數(shù)的臉”，就足以判斷它除以特定除數(shù)的整除情況．
