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【數(shù)學(xué)競賽-幾何】四邊形的余弦定理

2022-04-30 13:06 作者:Rotas-math_lover 0人讀過 | 我要投稿

一.什么是四邊形的余弦定理

如圖，記四邊形 $ABCD$ 的邊 $AB%3Da%E3%80%81BC%3Db%E3%80%81CD%3Dc%E3%80%81DA%3Dd$ ，記對角線 $AC%3De%E3%80%81BD%3Df$ ，則有 $e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(A%2BC)%5C%5C%0Ae%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(B%2BD)$

（這兩個式子等價）

二.四邊形余弦定理的證明

這個等式的形式看起來很像余弦定理，但我們只要稍微變下形，它就更像了，如下 $e%5E2%3D(%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D)%5E2-2%C2%B7%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D%C2%B7cos(B%2BD)%5C%5C$

這告訴我們，要構(gòu)造一個角度為 $A%2BC$ 的角，并且其兩邊分別為 $%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%E3%80%81%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D$ ，這樣就可以用余弦定理直接證得

因此，我們以 $DA%E3%80%81DC$ 為邊向外作 $%5Ctriangle%20DCE%E3%80%81%5Ctriangle%20DAF$ 使得 $%5Ctriangle%20DCE%5Csim%20%5Ctriangle%20BDA$ $%5Ctriangle%20DAF%5Csim%5Ctriangle%20BDC$

因此，在 $%5Ctriangle%20EDF$ 中用余弦定理可得

$EF%20%5E2%3D(%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D)%5E2-2%C2%B7%5Cfrac%7Bac%7D%7Bf%7D%C2%B7%5Cfrac%7Bbd%7D%7Bf%7D%C2%B7cos(B%2BD)%5C%5C$

從而，只要證到 $EF%3De$ ，這只需要證四邊形 $AFEC$ 為平行四邊形

觀察圖形，計算可得 $AF%3DCE%3D%5Cfrac%7Bcd%7D%7Bf%7D$ ，因此，只需要證 $AF%2F%2FCE$

這只需要證 $%5Cangle%20FAC%2B%5Cangle%20ECA%3D180%C2%B0$ ，根據(jù)相似，這個等式顯然

故得證

三.四邊形余弦定理的推廣

若 $%5Cangle%20A%2B%5Cangle%20C%3D%5Cangle%20B%2B%5Cangle%20D%3D180%C2%B0$ ，則四邊形 $ABCD$ 共圓，

此時四邊形的余弦定理就變成了托勒密定理，如下

$e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2-2abcd%C2%B7cos(A%2BC)%0A%5C%5C%5CRightarrow%20e%5E2f%5E2%3Da%5E2c%5E2%2Bb%5E2d%5E2%2B2abcd%0A%5C%5C%5CRightarrow%20(ef)%5E2%3D(ac%2Bbd)%5E2%0A%5C%5C%5CRightarrow%20ef%3Dac%2Bbd$

標(biāo)簽：托勒密定理相似三角形余弦定理平面幾何數(shù)學(xué)競賽誘導(dǎo)公式