日內(nèi)瓦大學(xué)的數(shù)學(xué)家雨果-杜米尼爾-科賓（Hugo Duminil-Copin）在國際數(shù)學(xué)家大會上獲得了2022年的菲爾茲獎。菲爾茲獎是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最負盛名的獎項之一。它每四年頒發(fā)一次，"以表彰現(xiàn)有工作的杰出數(shù)學(xué)成就和對未來成就的承諾"。每次最多有四位40歲以下的數(shù)學(xué)家被授予菲爾茲獎。

我們很幸運地在今年大會召開前與杜米尼爾-科賓進行了交談，今年的大會是一個完全虛擬的活動，只有頒獎儀式和講座是在芬蘭赫爾辛基舉行的。他告訴我們，他在統(tǒng)計物理學(xué)方面的工作如何將他的兩個愛好——數(shù)學(xué)和物理學(xué)結(jié)合起來。

處于十字路口的幸福

“我總是有這種兩種愛好的平衡，并不知道如何調(diào)和它們?！?杜米尼爾-科賓這樣描述自己對于從事物理學(xué)和數(shù)學(xué)方面工作的興趣。像許多孩子一樣，他想了解世界是如何運作的，以及為什么它以這種方式運作，但杜米尼爾-科賓也被數(shù)學(xué)證明所提供的純粹性和終極性所強烈吸引，在那里你可以建立一個“不會倒塌，不是由紙牌制成”的“城堡”。

雖然他選擇了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但杜米尼爾-科賓很快就愉快地發(fā)現(xiàn)了統(tǒng)計物理學(xué)領(lǐng)域，在這個領(lǐng)域，概率理論被用來理解物理現(xiàn)象。杜米尼爾-科賓說：“對我來說，這就是‘哦，天哪，發(fā)生了什么！’，我多年來一直在尋找的東西就在我的面前，這是我想要的兩種東西的交匯點！”

相變和普遍性

杜米尼爾-科賓因其改變統(tǒng)計物理學(xué)中相變的數(shù)學(xué)理論的工作而被認可。相變是我們都熟悉的東西，一個例子是水在溫度低于零度時凍結(jié)成冰。相變是指當(dāng)一個復(fù)雜的系統(tǒng)，如一群水分子，在某些參數(shù)，在這種情況下是溫度，通過某個臨界點時，行為發(fā)生一些急劇變化。

杜米尼爾-科賓說：“我們作為數(shù)學(xué)家的工作就是通過對物理現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)漫畫的方式來理解這些相變?！边@樣的數(shù)學(xué)漫畫（也稱為數(shù)學(xué)模型）的一個例子是，使用一個規(guī)則的晶格來描述您正在試圖理解的系統(tǒng)的排列方式。實際上，在液態(tài)水中，分子的位置沒有真正的約束，它們不像在一個晶格上的點那樣在空間中規(guī)則地排列。但是為了研究這個系統(tǒng)，通常想象分子以這種方式規(guī)則地定位可能更簡單。

盡管這種假設(shè)是非常不切實際的，但杜米尼爾-科賓說，以這種方式研究系統(tǒng)可以解釋實際發(fā)生的現(xiàn)象。他說：“這涉及到一個非常深刻的現(xiàn)象——普遍性，作為一個數(shù)學(xué)家，我試圖去理解它?！?/span>

普遍性幾乎就像心愿成真：在某些情況下，數(shù)學(xué)模型的細節(jié)并不影響其全局行為。原因是如果一個系統(tǒng)涉及許多不同的隨機過程，例如許多水分子移動，那么底層機制的細節(jié)不應(yīng)該有影響。在水冰相變的例子中，您可以選擇任何分子排列方式，假設(shè)它們按您選擇的晶格規(guī)則排列，您正在研究的相變將具有相同的性質(zhì)，無論您選擇哪種晶格。

這對數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來說非常令人放心，因為它告訴您許多系統(tǒng)最終具有相同的行為，您可以選擇最簡單的這些系統(tǒng)，即位于晶格上的系統(tǒng)。從數(shù)學(xué)上講，您可以從這個簡單得多的問題描述中得到更多的信息。數(shù)學(xué)模型不一定代表物理現(xiàn)實，但由于普遍性，您最終仍將得到與使用物理上準確描述相同的結(jié)果。

美麗的問題

統(tǒng)計物理學(xué)提供的問題讓杜米尼爾-科賓特別感興趣：它們看起來很簡單，但需要新的數(shù)學(xué)方法才能解決。他告訴我們一個例子，這是他在博士后學(xué)習(xí)期間學(xué)習(xí)的第一個猜想之一。

"想象一下，你在一個蜂巢前面，"杜米尼爾-科賓說。蜂巢的前面形成了平面的六邊形瓦片，而標志著蜂巢墻壁的角和線形成了六邊形或蜂巢格子的點和邊。想象一下，你在格子中選擇一個起點，然后按照一個簡單的規(guī)則在格子中選擇你的路徑：你不能回到格子中任何你已經(jīng)去過的地方。這就是所謂的自我規(guī)避行走。

你能去哪里？你的第一步有三個選擇。那么你的第二步就只有兩個選擇，因為你不能重走你的步子。由于類似的原因，你的第三、第四和第五步各有兩個選擇。但是到了第六步，事情開始變得復(fù)雜，你必須更加小心，因為你有可能開始完全循環(huán)六邊形。

我們可以親身證明，思考這些相對較少步數(shù)的自避行走的所有可能性有多么吸引人。正如杜米尼爾-科賓所說，規(guī)則是如此簡單以至于孩子都可以做到，但問題的復(fù)雜性很快就會出現(xiàn)。很明顯，可能的自避行走數(shù)量隨著步數(shù)呈指數(shù)增長，但隨著步數(shù)的增加，很難跟蹤這個數(shù)字，因為你試圖確保永遠不會重復(fù)自己的步伐。"你很快就會意識到你無法精確計算這個數(shù)字，它是一個非常難以理解的數(shù)字。"

杜米尼爾-科賓說：“這個問題不僅僅是在你應(yīng)該寫文章的時候玩樂的消遣。在20世紀40年代，化學(xué)家保羅·弗洛里（Paul Flory，1974年獲得諾貝爾化學(xué)獎）和W.J.C. Orr引入了自避免步行作為一種研究長鏈狀分子——聚合物，并理解它們?nèi)绾涡袨榈姆椒??！c物理現(xiàn)象非常相關(guān)，例如嘗試理解聚合物，例如DNA分子在做什么。由于它們是一長串不能在同一位置的分子，因此這些聚合物是自避免行走。’”

對于任何點陣，無論是上面我們思考的蜂窩點陣，還是平面的正方形或三角形點陣，或三維空間的立方點陣，目前還沒有已知的精確答案來描述自避免步行數(shù)量的增長速度。但是在這些點陣中，蜂窩點陣是獨一無二的，我們可以接近找到答案。1980年，統(tǒng)計物理學(xué)家伯納德·尼恩休斯（Bernard Nienhuis）假設(shè)在蜂窩點陣上，自避免步行數(shù)量的增長速度近似于(\sqrt{2+\sqrt{2}})^ n，其中n是大量的步數(shù)。

“我發(fā)現(xiàn)真的很神奇，有一個答案，而且是一個非?？岬臄?shù)字！”杜米尼爾-科賓說?！斑@是我在碩士班上首次了解的一個猜想。有趣的是，當(dāng)時看起來似乎沒有希望證明這個猜想，我與我的博士導(dǎo)師討論過，我們都同意嘗試證明它是個可怕的想法?！?/span>

由于這個猜想涉及計數(shù)，聽起來像是需要組合數(shù)學(xué)來證明。但最終的答案來自非常不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。當(dāng)杜米尼爾-科賓開始理解猜想中出現(xiàn)的一些想法時，他正在解決復(fù)分析中的問題，這似乎與自避免步行沒有關(guān)系。他說：“某個時刻，它開始滾雪球般增長，我們得到了這個很酷的證明。”（您可以在杜米尼爾-科賓的這篇可愛的文章（https://www.imaginary.org/sites/default/files/snapshots/snapshots-2019-006.pdf）中了解這個證明的一些細節(jié)。）“這是我們領(lǐng)域中典型的問題之一，你會從許多其他數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域獲得啟發(fā)。它讓你處于許多領(lǐng)域的交叉路口，這是我非常喜歡的事情?！?br>

變化點上的更多對稱性

杜米尼爾-科賓非常高興能夠在數(shù)學(xué)和物理的交叉點上工作。最初，物理學(xué)家在理解相變方面取得了最大進展，但“現(xiàn)在情況幾乎反過來了，數(shù)學(xué)的貢獻非常強大”。

一個例子是杜米尼爾-科賓及其同事最近在理解稱為共形不變性的東西方面取得的進展，這是一套特別豐富的對稱性，可能存在于描述一個物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中。對稱性之所以有用，是因為它們減少了你描述模型所需的信息量。例如，要描述一個棋盤，你只需要說，黑色和白色的方塊被安排在一個格子里，使顏色交替出現(xiàn)。如果你能減少描述一個模型所需的信息量，那么這也意味著模型在臨界點的行為可以得到更精確的描述。

證明共形不變性一直是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域，但自2000年以來，僅有少數(shù)幾個具體模型（例如，僅適用于幾種特定類型的晶格）已被嚴謹證明為共形不變的。杜米尼爾-科賓說：“這里有一份可以用一只手數(shù)出來的清單，上面列出了具有共形不變性的模型。”

為了簡化問題，杜米尼爾-科賓和他的同事們只研究了生存在二維空間中的模型，而不是完整的三維空間。他說：“對于數(shù)學(xué)家來說，對于二維中的共形不變性的理解已經(jīng)取得了很大進展，現(xiàn)在正在為物理理論帶來新的光明。”

為了進一步簡化，他們只關(guān)注旋轉(zhuǎn)對稱性。以蜂窩格子上的自避隨機游走為例，假設(shè)你想知道在格子上從起點到終點的自避隨機游走數(shù)量，那么很明顯，如果你將終點沿著起點旋轉(zhuǎn)三分之一圓，數(shù)量是不變的，這是格子本身固有的對稱性。

“處于臨界點的系統(tǒng)，基本上就是在相變發(fā)生時，最奇妙的特性之一就是系統(tǒng)獲得了更多的對稱性，”杜米尼爾-科賓說。因此，人們認為，在經(jīng)歷相變的系統(tǒng)將在任何角度下都具有旋轉(zhuǎn)對稱性，而不僅僅是在遠離臨界點時明顯的對稱性。

杜米尼爾-科賓和他的同事們能夠為更大一組模型提供旋轉(zhuǎn)對稱性的嚴格數(shù)學(xué)證明。此外，他們的方法還可以提供缺失的成分，從而導(dǎo)致完整共形不變性的證明，以及所有這將帶來的數(shù)學(xué)優(yōu)勢。

分享數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的性質(zhì)使合作變得容易：你不需要一些龐大的實驗儀器來展示你的想法，你只需要在喝咖啡時談?wù)撃愕南敕?。而合作是杜米?科賓作為數(shù)學(xué)家工作的一個關(guān)鍵部分。與具有不同經(jīng)驗的人互動，這些人可以從不同的角度看待你的工作，可以把一個問題從完全注定的問題變成一個了不起的想法。"正是這種不斷的互動和對每個人的想法的改進，使數(shù)學(xué)成為今天的樣子。"

杜米尼爾-科賓認為他的菲爾茲獎是對所有在他的領(lǐng)域工作的人和他們共同開發(fā)的工作的認可，他迫不及待地想在國際數(shù)學(xué)大會上宣布獎項時與他的合作者最終分享這一認可。"他說："數(shù)學(xué)是一項非常社會化的活動，比人們認為的要多得多。他說："人們對數(shù)學(xué)家的印象是孤獨的英雄，但在我看來，這不是我的數(shù)學(xué)或我做數(shù)學(xué)的方式的愿景。沒有這種與他人的互動，我的工作就不會發(fā)生"。

原作者： Marianne Freiberger and Rachel Thomas
翻譯：MathVoice（數(shù)學(xué)開講啦）
審校：MathVoice（數(shù)學(xué)開講啦）