《筆記<完結(jié)>》

引言

01~

以下等價：

|A| = 0

A 不可逆

r(A) < n

Ax = 0 有非零解

A 的列向量組相關

0 是 A 的特征值

行列式、矩陣、向量

02~

【行列式技巧】對角線、對角線上一行、右下角非零，其余都是零，按第一列展開

03~

零矩陣：O

單位陣：E

對角陣：Λ

04~

行列式某行提公因數(shù)，而矩陣數(shù)乘全體都乘

矩陣初等變換用箭頭連接

矩陣初等變換行列均可，但后續(xù)計算都用行變換

【區(qū)別】左乘和右乘

05~

【注意】轉(zhuǎn)置才有加法

12.22補充：關于A*

※自行補充：不可逆的矩陣方程分塊解法

06~

逆矩陣

對角陣的逆 = 對角線元素分別取倒

對角陣^n = 對角線元素分別^n

分塊后是上三角的矩陣的逆 = 對角線上的每塊取逆

分塊后是山寨上三角的矩陣的逆 = 次對角線上的每塊取逆，順序相反

12月21日補充：用增廣矩陣求逆不一定最簡便

※自行補充：初等矩陣

※自行補充：伴隨矩陣

08~

相關名詞

線性表示：是否有至少一個向量跟其他n-1個向量在同一n-1維空間之中

求表示系數(shù)可轉(zhuǎn)化求為Ax=b的解

線性相關：n個向量降維到n-1維甚至更低維度

線性無關：n個向量存在于n維空間中

判斷相關性可轉(zhuǎn)化為求Ax=0是否僅有零解

了解了以上，則以下結(jié)論容易理解：

1°?部分相關，整體相關（逆否：整體無關，部分無關）

（理解：向量組的一部分降維了，整體肯定達不到n維）

2° 向量組線性無關，再加一個向量，就線性相關了，推出新加向量可由其余向量表示

（理解：無關變?yōu)橄嚓P，肯定是由新加向量造成的，它和其余向量同在n維）

3° m(> n)個n維向量線性相關

09~

【定義】向量組的秩：極大無關組的向量個數(shù)

【定義】矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)

【理解】向量組的秩為n意思是組內(nèi)所有向量存在于n維空間內(nèi)

【定理】矩陣行向量組的秩=列向量組的秩=矩陣的秩

【證明】|A| = 0 <=> A的列向量組相關

r(a)=r

=> A的非零子式的最高階數(shù)是r，且全部r+1階子式值為零

=> 存在r個向量，構(gòu)成的向量組無關，且任意一個由r+1個向量構(gòu)成的向量組都相關（就是極大無關組的定義）

=> A的列向量組的秩=r

由于行列式轉(zhuǎn)置值不變，|A|=0也可描述為A的行向量組相關，所以A的行秩等于列秩。

12.21補充：

例題1：求矩陣A的秩和一個最高階非零子式

例題2：求幾個向量的一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組表示

以上兩個例題做法相同

解線性方程組

10~方程組解的情況

齊次：A(m行n列)x=0

有非零解

<=> A的列向量組相關（08~中有講，不全為零的組合系數(shù)看作x，列向量組看作A，x有非零解時，就是相關的）

<=> r(a)<n (09~)

<=> |A|=0 (09~)

m=n時，推薦用行列式做

非齊次：

|A| != 0 有唯一解

|A| = 0 無解或有無窮多解

行列式是否為零與解的情況不是一一對應的，此時就要用增廣矩陣做

相似矩陣與二次型

11~方陣的特征值/向量

Ax = λx

|A-λE| = 0 ~求特征值λ （行的性質(zhì)、列的性質(zhì)都可用，弄出更多的0，最后按某行/列展開）

12月21日補充：如下圖

(A-λE)x = 0 ~求特征向量x

對角陣、上下三角矩陣的特征值就是主對角線上的元素

【注意】特征向量最后寫上：k1k2...不全為零

【性質(zhì)】全部特征值相加等于矩陣的跡

【性質(zhì)】全部特征值相乘等于矩陣的行列式

【性質(zhì)】A的特征值為λ，則f(A)的特征值是f(λ)

【例題】A的特征值為1，2，-2，則|A*+2A-E|=_______.

【分析】

給A的特征值，可算|A|=-4

求|A*+2A-E|，則要算A*+2A-E的特征值，然后相乘即可

12~

相似

【定義】AB相似：存在可逆矩陣P，使P^(-1)AP=B

【定理】AB相似，則特征值相同 反推則不行。

例子：一個對角陣、一個上三角，主對角線元素相同，則特征值相同，但并不相似。

擴：只與自己相似的矩陣是數(shù)量矩陣（數(shù)量矩陣：主對角線元素都相等，其余為0）

【證明】|B-λE|?

= |P^(-1)AP - P^(-1)λP|?

= |P^(-1)||A-λE||P|?

= |A-λE|

相似對角化（矩陣可對角化）

【目的】找可逆陣P，對角陣Λ，使P逆AP=Λ

【分析1】Λ的主對角線元素是A的特征值，因為A和Λ相似

【分析2】P由A的特征向量組成，因為：

AP = PΛ => A(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)diag(λ1,λ2,λ3)

相似標準型：

A的形似標準型，就是Λ

題型：矩陣可對角化的充要條件

例題：

分析：

第一問求出特征值，那么判斷能否對角化，可以看特征值的幾何重數(shù)

步驟：求特征值，對于重根求特征向量，如果個數(shù)小于重數(shù)，不可對角化。

題型：證明矩陣A與對角陣Λ相似

分析：證明A特征值等于Λ主對角線元素

例題：

分析：

證明A的特征值是1，-1，0

A的跡為0，所以A的特征值中至少有一個是0

特征值：Ax = λx

Aa = b，Ab = a

A(a+b)=a+b => λ=1

A(a-b)=b-a => λ=-1

又是一些相關名詞：

正交

【含義】垂直、點乘得0

正交陣

【定義】Q逆=Q轉(zhuǎn)置

【特點】列向量(或行向量)是單位向量且兩兩正交

【正交化方法】施密特正交化然后單位化

別忘單位化~

實對稱陣的相似對角化（區(qū)別于于相似對角化）

【目的】找正交陣Q，對角陣Λ，使Q轉(zhuǎn)置AQ=Λ

【引理】對稱陣對應不同特征值的特征向量兩兩正交

【分析】Λ的主對角線元素就是A的特征值，Q就是A的特征向量組成的，但要正交化（只正交化同一特征值對應的特征向量就可）（由引理，對應同一特征值的特征向量單位化后不會破壞對應不同特征值的特征向量的原有正交關系）

例題1：已知A，求可逆矩陣Q和對角陣Λ，使得Q轉(zhuǎn)置AQ=Λ

用正交化、單位化嗎嗎？

用，因為只有正交矩陣，Q逆才等于Q轉(zhuǎn)置

例題2：已知A，求可逆矩陣Q和對角陣Λ，使得Q逆AQ=Λ

用正交化、單位化嗎？不用

二次型

13-14~

二次型【定義】n元二次函數(shù)

二次型的矩陣【定義】平方項系數(shù)填入對角線，混合項系數(shù)的一半填入相應位置

標準型【定義】只有平方項

規(guī)范型【定義】平方項系數(shù)只能是1，-1，0

二次型化為標準型【步驟】

1.寫二次型矩陣

2.進行“實對稱矩陣對角化”得到正交陣Q和對角陣

3.根據(jù)對角陣寫出二次函數(shù)

辨析“等價、相似、合同、正交相似”

1.?等價可以不是方陣，后三個必須是方陣

2. 定義

【等價】 經(jīng)過初等變換的矩陣與原矩陣【等價】（AB等價 即 PAQ=B）

【相似】 P逆AP=B

【合同】 P轉(zhuǎn)置AP=B

【正交相似】P逆AP=P轉(zhuǎn)置AP=B （P是正交陣）

3.相似于合同本身沒什么關系，當P為正交陣時，相似與合同一致。

2022 - 12- 22 END~