這題講的啰嗦了，我仔細想了想，其實三棱臺的內(nèi)切球，就是原三棱錐的內(nèi)切球。這里我說的原三棱錐就是指三棱臺補全之后的三棱錐。

三棱臺的內(nèi)切球與三棱臺的三個側(cè)面和上下底面均相切，那么就與原三棱錐的三個側(cè)面和底面相切，所以三棱臺的內(nèi)切球就是原三棱錐的內(nèi)切球。

而一個三棱臺之所以能有內(nèi)切球，是因為這個三棱臺本身就是由三棱錐切一刀切出來的，而這個切面，就是與三棱錐一個面平行的內(nèi)切球的切面。（這一段話里的兩個“切面”是兩個意思，你能get到嗎）

所以這個題真沒必要算什么三角函數(shù)邊邊角角的，直接宏觀觀察正四面體即可：

根據(jù)側(cè)棱與底面ABC的余弦值是三分之根三，可以得到原三棱錐是一個正四面體，所以這個內(nèi)切球就是正四面體的內(nèi)切球，而正四面體的內(nèi)切球心在高上，而且把高分成了3:1的兩部分，其中四分之一的部分就是內(nèi)切球半徑，那么直徑就占兩個四分之一，也就是高的一半，所以三棱臺的高就是正四面體高的一半，接下來的計算就可以直接用視頻最后的計算了：

那么我把正四面體的相關(guān)計算里，也加上了三棱臺內(nèi)切的圖：