? 汪林教授編寫了好幾本數(shù)學(xué)中的反例書，Strongart教授也準(zhǔn)備開一個(gè)【數(shù)學(xué)反例】系列，既是做一點(diǎn)門檻不高的小視頻吸引觀眾，也是在告訴同學(xué)們?nèi)绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)思維，不要被小鎮(zhèn)做題家的套路給框住。

? ?反例的英文是counterexample，其中的counter在游戲中喜聞樂見，特指那種打斷對(duì)方技能的反擊，通常都會(huì)造成對(duì)手的技能反噬，比如傷害增加、僵直時(shí)間變長等等。一般來說，這樣的counter都是比較精彩的，數(shù)學(xué)反例就可以理解為數(shù)學(xué)中的精彩鏡頭，就像初音籃球的每月666佳球一樣。

? ?數(shù)學(xué)中的反例有廣義與狹義之分。狹義的反例指證偽某個(gè)命題的例子，此時(shí)命題需要被重新修正。比如說，球面上兩點(diǎn)之間大圓弧最短，對(duì)此命題我們可以給出反例，兩點(diǎn)之間幾乎繞球一周的大圓弧顯然不是最短，大圓弧最短只有在局部才能成立。廣義的反例也包括讓命題看似不成立的例子，其實(shí)是沒有注意到命題的某個(gè)（可能是隱藏的）條件。比如說，三角形的內(nèi)角和等于180°，但球面上的三角形內(nèi)角和就會(huì)大于180°，主要是前面的命題有個(gè)“在平面內(nèi)”隱藏條件。顯然，廣義的反例也可以是精彩的，不管是汪林的反例書，還是Strongart教授的反例視頻，都是在廣義的意義上討論反例。

? ?在數(shù)學(xué)教育中有個(gè)說法，檢驗(yàn)學(xué)生有沒有理解某個(gè)數(shù)學(xué)概念，最好的辦法就是舉例子。如果學(xué)生能夠找到合適的例子，那就說明他基本上是理解的，哪怕是在表述上還有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)，也不必過于吹毛求疵，總比那種把精確表述背下來囫圇吞棗的好。一般來說，這樣找到的例子大都是平凡的，或者是搬運(yùn)了書上的經(jīng)典例子，若是能夠找到屬于自己的精彩反例，那就是一件非常了不起的事情！實(shí)際上，找例子就是最基本的數(shù)學(xué)思維，不需要太多的知識(shí)儲(chǔ)備，就可以從小鎮(zhèn)做題家的框架里跳出來。有些做題家認(rèn)為只有到前沿才能有創(chuàng)新，多半已經(jīng)是學(xué)廢了，就像某些背書家認(rèn)為只有讀原著才能有論證一樣傻得可笑。

? ?Strongart教授在大約上大學(xué)之前，就找到了一個(gè)屬于自己的精彩反例，立體幾何中直線之間的距離不滿足度量空間的三角不等式（參見我的泛函分析視頻02），比起做題家推崇的那個(gè)繁瑣的韋東奕不等式，完全可以說是高下自現(xiàn)了啊~

? ?思考題：能不能通過舉例子的方式教會(huì)學(xué)生什么是舉例子？