【趣味物理題】電磁場(chǎng)中的擺線運(yùn)動(dòng)

2021-09-01 16:52 作者:AoiSTZ23 0人讀過(guò) | 我要投稿

鄭濤（Tao Steven Zheng）著

【問(wèn)題】

有一個(gè)指向 x 軸的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（uniform magnetic field），以及一個(gè)指向 z 軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)（uniform electric field）。一個(gè)帶有正電荷（positive charge） $q$ 和質(zhì)量（mass） $m$ 的粒子從原點(diǎn)（origin）釋放出來(lái)，最初處于靜態(tài)（rest）。求粒子隨時(shí)間的軌跡。

【提示】

$%5Cboldsymbol%7BE%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%20%5C%5C%20E%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%2C%20%5Cquad%20%5Cboldsymbol%7BB%7D%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20B%20%5C%5C%200%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

【題解】

使用向量叉積（cross product）計(jì)算磁力

$%5Cboldsymbol%7Bv%20%5Ctimes%20B%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%5Cboldsymbol%7Bi%7D%26%5Cboldsymbol%7Bj%7D%26%5Cboldsymbol%7Bk%7D%20%5C%5C%0A%200%20%26%20%5Cdot%20y%20%26%20%5Cdot%20z%20%5C%5C%0A%20B%20%26%200%20%26%200%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%5C%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%20B%20%5Cdot%20z%20%5C%5C%20-B%20%5Cdot%20y%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20$

所以洛倫茲力（Lorentz force） $%5Cboldsymbol%7BF%7D%20%3D%20q%20%5Cleft(%5Cboldsymbol%7BE%7D%20%2B%20%5Cboldsymbol%7Bv%20%5Ctimes%20B%7D%20%5Cright)$ 是

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5Cddot%20x%20%5C%5C%20m%20%5Cddot%20y%20%5C%5C%20m%20%5Cddot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%20qB%20%5Cdot%20z%20%5C%5C%20qE%20-%20qB%20%5Cdot%20y%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C$

將方程兩邊除以粒子質(zhì)量，然后設(shè) $%5Comega%20%3D%20%5Cfrac%7BqB%7D%7Bm%7D$ 和 $%5Cgamma%20%3D%20%5Cfrac%7BqE%7D%7Bm%7D$ ，那么

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cddot%20x%20%5C%5C%20%5Cddot%20y%20%5C%5C%20%5Cddot%20z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%20%5Comega%20%5Cdot%20z%20%5C%5C%20%5Cgamma%20-%20%5Comega%20%5Cdot%20y%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20$

設(shè) $%5Cddot%20x%20%3D%20%5Cdot%20v_x%2C%20%5Cquad%20%5Cddot%20y%20%3D%20%5Cdot%20v_y%2C%20%5Cquad%20%5Cddot%20z%20%3D%20%5Cdot%20v_z$ 來(lái)求解這個(gè)耦合微分方程組（system of coupled differential equations)

$%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdot%20v_x%20%5C%5C%20%5Cdot%20v_y%20%5C%5C%20%5Cdot%20v_z%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20%3D%0A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%20%5Comega%20v_z%20%5C%5C%20%5Cgamma%20-%20%5Comega%20v_y%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%20$

將第三方程代入第二方程的導(dǎo)數(shù)，得

$%5Cddot%20v_y%20%2B%20%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%20v_y%20%3D%20%5Comega%20%5Cgamma$

以上微分方程是一個(gè)非齊次常微分方程（non-homogeneous ordinary differential equation），因此通解（general soution）等于齊次解（homogeneous solution）與特殊解（particular solution）之和。

(1) 齊次解

$%5Cddot%20v_h%20%2B%20%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%20v_h%20%3D%200$

特征方程（characteristic equation）為 $%20%7B%5Clambda%7D%5E%7B2%7D%20%2B%20%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%20%3D%200%20$ ，其中 $%5Clambda%20%3D%20%5Cpm%20%5Comega%20i$ 。

因此，

$v_h%20(t)%20%3D%20A%7Be%7D%5E%7Bi%20%5Comega%20t%7D%20%2B%20B%7Be%7D%5E%7B-i%20%5Comega%20t%7D$

或

$v_h%20(t)%20%3D%20C%5Csin%7B(%5Comega%20t)%7D%20%2B%20D%5Ccos%7B(%5Comega%20t)%7D$

(2) 特殊解

由于 $%5Comega%20%5Cgamma%20$ 是個(gè)常數(shù)，如果 $v_p%20%3D%20%5Comega%20%5Cgamma$ ，那么 $%5Cdot%20v_p%20%3D%20%5Cddot%20v_p%20%3D%200$ ，然后以下微分方程

$%5Cddot%20v_p%20%2B%20%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%20v_p%20%3D%20%5Comega%20%5Cgamma$

簡(jiǎn)化為

$0%20%2B%20%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%20v_p%20%3D%20%5Comega%20%5Cgamma$

因此， $v_p%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega%7D$ 。

所以，微分方程的通解（general soution）是

$v_y%20(t)%20%3D%20C%5Csin%7B(%5Comega%20t)%7D%20%2B%20D%5Ccos%7B(%5Comega%20t)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega%7D$

因?yàn)楸玖Ｗ幼畛跏菑撵o態(tài)釋放的，

$v_y%20(t)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega%7D%5Cleft(1%20-%20%5Ccos%7B(%5Comega%20t)%7D%5Cright)$

$v_z%20(t)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega%7D%5Csin%7B(%5Comega%20t)%7D$

使用積分法來(lái)推得軌跡，

$%5Cint%20v_y%20dt%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega%7Dt%20-%20%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%7B%5Comega%7D%5E%7B2%7D%7D%5Csin%7B(%5Comega%20t)%7D%20%2B%20y_0$