課題：數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：通過學(xué)生已有的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn), 激起問題與反思, 提煉出數(shù)學(xué)歸納方法的本質(zhì), 并理解, 形成解題操作步驟, 并做簡單應(yīng)用.

過程與體驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：體驗(yàn)觀察、猜想、歸納、證明這一做數(shù)學(xué)的路子，在 “多米諾骨牌”實(shí)例的感受中，類比出“數(shù)學(xué)歸納法”的本質(zhì)，并在使用該方法中加深理解.

情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：通過觀察，先激起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生興奮起來；然后樂于并愿意參與到隨后的類比、討論、分析、歸納、總結(jié)活動(dòng)中，最終要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法是從特殊到一般的方法，是從有限到無限的遞推，在此體驗(yàn)上，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，又不乏靈活的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和做數(shù)學(xué)的作風(fēng)，從而形成實(shí)事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣；在感受數(shù)學(xué)史上和生活實(shí)例的同時(shí)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值.

教學(xué)重點(diǎn)：對歸納推理的認(rèn)識(shí)了解，自然地得到數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的提煉與理解.

教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)學(xué)歸納法原理的了解.

教學(xué)關(guān)鍵：講清數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟及應(yīng)用.

創(chuàng)新點(diǎn)： 能運(yùn)用新課標(biāo)理念，引用直觀實(shí)例，加深學(xué)生感受深度，激發(fā)學(xué)生討論，匯總形成語言文字，不僅讓學(xué)生感受，也讓學(xué)生試著學(xué)會(huì)表大感受，表達(dá)感受是去偽存真和加深印象的好方法.

教學(xué)方法：實(shí)例觀察、問題啟發(fā)與必要講述相結(jié)合（激起反思，為正確理解保駕護(hù)航）.

教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體.

教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)

教學(xué)過程：

一、歸納是什么：

拉普拉斯（Laplace，1749-1827)：在數(shù)學(xué)中，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比，歸納是數(shù)學(xué)的基本思考形式，也是做數(shù)學(xué)的基本功。

歸納是什么？中科院張景中院士：用手扔一個(gè)石子，它要掉下來。再扔一個(gè)玻璃球，它也要掉下來。再扔一個(gè)蘋果，它還是要掉下來。我們會(huì)想到：不管扔個(gè)什么物體，它都是要掉下來的；進(jìn)一步去想這是為什么，想到最后，認(rèn)為這是由于地球引力。

但是，我們并沒有把每件物體都扔上去試一試。試了若干次，就以為可以相信這是普遍的規(guī)律。這種推理方法，叫歸納推理。

在物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等許多實(shí)驗(yàn)科學(xué)的研究中，用歸納推理來驗(yàn)證一條定律、一條假說是常有的事。理論對不對，用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。

我們也曾經(jīng)多次用到歸納的方法，讓我們一起來看這樣兩個(gè)問題。

問題1：3，5，7，11，13這5個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)（只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的正整數(shù)）嗎？

問題2：對于數(shù)列{an}，已知a1=1，an+1=，n∈N*，求出其前5項(xiàng)，并歸納猜想其通項(xiàng)公式。

謝謝，你讓我們分享了你所發(fā)現(xiàn)的真理。

讓我們再來反思這兩個(gè)問題的解決。（反思是深入的開始，思想在反思中深邃，方法在反思中確定）它們都使用了歸納法，使用時(shí)，你的感受分別是什么？

第一個(gè)“考察了所有對象，得到歸納結(jié)論”，這種方法為枚舉歸納法（也叫完全歸納）；第二個(gè)“考察了部分對象，猜想得到歸納結(jié)論”，這種方法為不完全歸納法。完全歸納法給人的感覺是結(jié)論可靠，不完全歸納法讓人感到結(jié)論不可靠。

對不完全歸納法的這種擔(dān)心也是有道理的，數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)有這樣一則實(shí)例：

費(fèi)馬（Fermat,1601-1665，法國著名的業(yè)余數(shù)學(xué)家）曾提出一個(gè)猜想：形如Fn=1+2 (n=0,1,2,3,…)的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，比如, n=0時(shí)，F(xiàn)n=3 ；n=1時(shí)，F(xiàn)n=5 ；n=2時(shí)，F(xiàn)n=17 ；n=3時(shí)，F(xiàn)n=257； n=4時(shí)，F(xiàn)n=65537

歐拉（Euler,1707-1783，瑞士著名數(shù)學(xué)家）說：費(fèi)馬錯(cuò)了，因?yàn)閚=5時(shí)，F(xiàn)n=4294967297=6700417×641

考察全體對象，得到一般結(jié)論

由以上我們了解到：

結(jié)論一定可靠

完全歸納法

結(jié)論不一定可靠

歸納法

考察部分對象，得到一般結(jié)論

不完全歸納法

在數(shù)學(xué)上，當(dāng)一種方法有遺憾的時(shí)候，我們往往不是將該方法徹底放棄，而是對之加以改進(jìn)，使之更優(yōu)化。那么有沒有一種歸納法，讓我們用起來，既省時(shí)又能得到可靠的結(jié)論呢？

一、數(shù)學(xué)歸納法的探尋：

方法的改進(jìn)只能在問題的困惑中產(chǎn)生。

請大家比較2n與n2+2（n∈N*）的大小.

指數(shù)形 與 二次形 是數(shù)學(xué)上常見的兩種形式，我們已經(jīng)相當(dāng)熟悉了。比較它們的大小，你打算怎么辦？有什么可以具體實(shí)施的方法？（n是一個(gè)字母，它可以取正整數(shù)中的任何一個(gè)數(shù)。到底哪一個(gè)數(shù)？不知道！因?yàn)閚的不具體，我們無法求出兩個(gè)數(shù)值，也就無從比較起。我們可以從n的較簡單的具體取值情況入手。）

n=1, 左邊=21，右邊=3，左邊<右邊； n=2, 左邊=22，右邊=6，左邊<右邊；

n=3, 左邊=23，右邊=11，左邊<右邊； n=4, 左邊=24，右邊=18，左邊<右邊；

猜測 2n < n2+2 ，你認(rèn)為這個(gè)猜測對嗎？

n=5, 左邊=25=32，右邊=27，左邊>右邊； n=6, 左邊=26=64，右邊=38，左邊>右邊；

猜測 2n > n2+2 ，你認(rèn)為這個(gè)猜測對嗎？

n=7, 左邊=27=128，右邊=51，左邊>右邊； n=8, 左邊=28=256，右邊=66，左邊>右邊；

可以猜測2n > n2+2 (n≥5)

如此計(jì)算太繁了，我們怎么化繁為簡呢？（困難產(chǎn)生了，后面的正整數(shù)還有很多，有限的時(shí)間里驗(yàn)證不完。這是我們不妨回頭看看我們的解答，看能否找到啟示）

（1） 請大家觀察n=7與n=8兩個(gè)式子，分別比較這兩個(gè)式子的左端和右端。

左端： 27與28，有2倍關(guān)系，相差128；

右端： 51與66，無2倍關(guān)系，相差15；

對此，你有什么啟發(fā)？ 28 = 2×27 > 2×51 > 66 ，

（2） n=9時(shí)，2n > n2+2成立嗎？驗(yàn)證！ 用什么方法驗(yàn)證？

29 = 2×28 > 2×66 > 82，

（3） 大家在觀察以上過程，你又會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

n=7時(shí)結(jié)論成立 → n=8時(shí)結(jié)論成立

n=8時(shí)結(jié)論成立 → n=9時(shí)結(jié)論成立

（兩者推導(dǎo)方法相似）

（4） 想證得所有n≥10時(shí)，也都有2n > n2+2 成立，該怎么辦？

我們只需要將上述證明的過程一般化（抽象化），就不需要我們一個(gè)個(gè)驗(yàn)證了。

如何一般化呢？用字母表示數(shù)即可。即：由 n=k時(shí)結(jié)論成立 → n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

假設(shè)n=k猜想成立，即2k > k2+2,

則n=k+1時(shí)，2k+1 = 2×2k > 2×(k2+2) = k2+2 + k2+2 > k2+1+2k+2 > (k+1)2+2

所以n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

（5） 這樣的方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)合以上我們的觀察、猜想、類比，嘗試，如何把這件事情敘述清楚？第一步該做什么？驗(yàn)證n=5時(shí)猜想成立。然后由 n=k時(shí)結(jié)論成立 → n=k+1時(shí)結(jié)論也成立。

（6） 數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟是什么？

證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=5等)時(shí)結(jié)論正確；

假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.

在完成了這兩個(gè)步驟以后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確.

三、身邊的歸納例子：

數(shù)學(xué)歸納法的思想在我們的身邊就有很多。

1．請大家觀看影片片斷（多米諾骨牌演示）

2．長長的一列士兵在路上。將軍把一句口令告訴最前面的士兵，這個(gè)士兵開始把口令往后傳。如果每個(gè)士兵聽到口令后都往后傳，這口令自然會(huì)傳遍全軍。

它們和數(shù)學(xué)歸納法的原理相同嗎？

如果有一連串句子，按順序一個(gè)一個(gè)排好了，也會(huì)產(chǎn)生這種多米諾骨牌現(xiàn)象：如果第一句是正確的，又知道如果某一句是正確的，則下面那一句也對，那么，這里每一句話都不會(huì)錯(cuò)。

數(shù)學(xué)里的命題，無非是一句話。這句話非真即假。如果命題和自然數(shù)n有關(guān)，n取1，2，3，…，便有了一連串命題。數(shù)學(xué)歸納法告訴我們：

對于一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n). 如果：

（1） P(n0)成立；

（2） 如果P(k)成立，則P(k+1)也成立。

那么，對一切n(n≥n0)都有P(n)成立。

這兩個(gè)步驟，（1）叫做歸納起點(diǎn)，（2）叫做歸納推斷。

四、練習(xí)反饋：

五、本課小結(jié)：

六、作業(yè)布置：

七、課后反思：

說說“數(shù)學(xué)歸納法”這一課

?一、教材分析

1、教材的地位和作用

在數(shù)學(xué)必修5數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，但其正確性還有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因此數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識(shí)的深入與擴(kuò)展。它既是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法。數(shù)學(xué)歸納法這一方法，貫穿了高中數(shù)學(xué)的幾大知識(shí)點(diǎn)：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn) “數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)分三個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第一課時(shí)，講的是數(shù)學(xué)選修4-5中第三節(jié)的內(nèi)容。教材對該法的教學(xué)比較偏重證明及運(yùn)用，很少研究它的發(fā)現(xiàn)，新教材的改革已開始關(guān)注探究性問題，因而通過對它的學(xué)習(xí)，能起到以下幾方面的作用：提高學(xué)生的抽象思維能力；培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索的創(chuàng)新精神，全面提高學(xué)生綜合素質(zhì)。為了避免機(jī)械套用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟，造成學(xué)生思維的惰性及僵化，因而我把分析數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)作為本節(jié)課的重點(diǎn)，考慮學(xué)生對第二步中的遞推思想感到困難，因此把正確理解第二步中的遞推思想作為難點(diǎn)。

2、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的作用、地位以及學(xué)生的具體情況，我把這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)分為以下三個(gè)子目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的數(shù)學(xué)命題。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、 分析、論證能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力。

情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)一種愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率。

知識(shí)目標(biāo)主要是根據(jù)教學(xué)大綱及學(xué)生原有的認(rèn)知水平制定的；而能力目標(biāo)和情感目標(biāo)是根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的獨(dú)特性及抽象性，為營造一種良好的學(xué)習(xí)氛圍，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果而制定的。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)，已經(jīng)具備一定的歸納、猜想能力，多數(shù)同學(xué)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識(shí)等方面發(fā)展不夠均衡，尚有侍加強(qiáng)。

三、教學(xué)方法

根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，我采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和講解分析法相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法屬于啟發(fā)式教學(xué)，體現(xiàn)了認(rèn)知心理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容。在教學(xué)過程中，教師采用啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥的方式，創(chuàng)設(shè)各種問題情境，使學(xué)生帶著問題去主動(dòng)思考、動(dòng)手操作、交流合作，進(jìn)而達(dá)到對知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”和接受，完成知識(shí)的內(nèi)化，使書本的知識(shí)成為自己的知識(shí)。本節(jié)課還采用了講解討論相結(jié)合，交流練習(xí)相穿插的活動(dòng)課形式，以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅的環(huán)境、精選練習(xí)并以適當(dāng)?shù)妮o導(dǎo)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

教學(xué)手段：通過多米諾骨牌游戲的動(dòng)畫演示，提高了教學(xué)的直觀性和趣味性，促進(jìn)學(xué)生對“遞推原理”的理解，為“數(shù)學(xué)歸納法”的應(yīng)用前提和場合提供形象化的參照物，為教學(xué)難點(diǎn)突破提供感性基礎(chǔ).

四、學(xué)法指導(dǎo)

“未來社會(huì)的文盲，將不再是不識(shí)字的人，而是沒有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人”.在教學(xué)過程中，不但要傳授學(xué)生課本知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)觀察、主動(dòng)思考、親自動(dòng)手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達(dá)到教學(xué)的終極目標(biāo)。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考；演示直觀模型，化抽象為具體，突出教學(xué)難點(diǎn)。通過教師的啟發(fā)與點(diǎn)撥，學(xué)生找到了解決疑問的方法，找準(zhǔn)解決問題的關(guān)鍵。課堂上，通過師生雙向交流及學(xué)生自學(xué)思考，學(xué)生經(jīng)歷了“觀察à分析à猜想à論證”的思維環(huán)節(jié)，進(jìn)一步掌握了自主探索問題、自主學(xué)習(xí)的方法。對學(xué)生具體要求：1、課前預(yù)習(xí)教材有關(guān)內(nèi)容； 2、聽課時(shí)積極思考、大膽質(zhì)疑；3、養(yǎng)成良好的自學(xué)習(xí)慣，并學(xué)會(huì)與同學(xué)交流 4、完成練習(xí)及“課后作業(yè)”

下面著重介紹教學(xué)過程，我把這節(jié)課安排為新課引入環(huán)節(jié)、講授新課環(huán)節(jié)、反饋練習(xí)、小結(jié)與作業(yè)四個(gè)環(huán)節(jié)

五、教學(xué)過程

1、 新課引入

講述費(fèi)馬與歐拉數(shù)學(xué)史例， 吸引學(xué)生注意，豐富課堂情趣，自然引入歸納法，同時(shí)通過史例，滲透德育教育，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的數(shù)學(xué)思想，接下來引導(dǎo)復(fù)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及推導(dǎo)，并提出問題：既然用歸納法得出的結(jié)論未必正確，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是否正確，如何判斷它的正確性？舊知識(shí)產(chǎn)生新問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的心理需要，提高進(jìn)一步探索的興趣，使數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成。

2、講授新課

演示多米諾骨牌游戲(課件)，并提出問題：多米諾骨牌游戲成功對骨牌的擺放與操作有什么要求？學(xué)生思考討論，得出多米諾骨牌游戲成功依賴兩個(gè)條件

第一步：第一張牌被推倒

第二步：假若前一張牌被推倒，則后一張牌被推倒

其中第二步用到的就是遞推關(guān)系，如此通過動(dòng)畫、動(dòng)腦，形象展示遞推關(guān)系，為教學(xué)難點(diǎn)突破提供直觀的的參照物，作感性上的突變，從而分解數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)難點(diǎn)。接著提問：能不能用這種遞推關(guān)系證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？如何證明，分幾步證明？學(xué)生思考并作答，教師給以板書

當(dāng)n=1，命題成立

假設(shè)n=k，命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立

這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法，如此設(shè)計(jì)的目的，從實(shí)際的問題提煉出一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律，再用得到的規(guī)律去解決具體的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生的思維隨著問題的深入起伏跳躍，始終處于積極主動(dòng)思考中。同時(shí)用一張牌對應(yīng)一個(gè)命題，某張牌的倒下對應(yīng)某個(gè)命題的成立，符合知識(shí)的遷移規(guī)律，有利于學(xué)生理解。

接下來讓學(xué)生自學(xué)并思考幾個(gè)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣，提高學(xué)生獨(dú)立思考解決問題的能力，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”變“會(huì)學(xué)”，充分體現(xiàn)學(xué)生為主體的教學(xué)思想，利用自學(xué)時(shí)間老師巡視，幫助思維暫時(shí)受挫的學(xué)生，自學(xué)后，學(xué)生討論，而后老師小結(jié)，數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的命題，數(shù)學(xué) 歸納法證題的實(shí)質(zhì)，就是用遞推的思想替代無限的遞推過程，若設(shè)P(k)表示命題，則由P(1)(利用第二步) →P(2) →P(3) →┄P(n)，從而對所有的正整數(shù)都成立，數(shù)學(xué)歸納法的核心是遞推思想 ，兩步缺一不可，其中步驟 (1)是遞推的起點(diǎn)與基礎(chǔ)，沒有步驟 (1)則步驟 (2)就成了無源之水，無米之炊,成為幻想；若只有步驟 (1) 沒有步驟 (2)，就失去了遞推的依據(jù)，無法實(shí)現(xiàn)從“有限”到“無限”的遞推過程。為加深印象，舉出反例說明。

然后師生共同完成等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明過程，學(xué)生思考回答，老師板書，并進(jìn)行分析 ，將第二步進(jìn)一步分為：利用遞推關(guān)系 ，代入歸納假設(shè)，進(jìn)行恒等變形，進(jìn)一步分解難點(diǎn)。在這一環(huán)節(jié)中，教師始終抓住遞推思想這一關(guān)健，從介紹遞推思想，到認(rèn)識(shí)遞推思想，再到深入理解和利用遞推思想 ，層層深入，步步為營 ，使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)。接下來講解例2 ， 進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法證題的方法與步驟，并學(xué)會(huì)用所學(xué)知識(shí)證明恒等式，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

3、反饋練習(xí)

教師巡視，將個(gè)別學(xué)生的練習(xí)錯(cuò)誤指出，并進(jìn)行必要的補(bǔ)充，如此設(shè)計(jì)的意圖，是為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，并使學(xué)生在練習(xí)及集體的評(píng)析中體驗(yàn)到成功和進(jìn)步的喜悅。

4、小結(jié)及作業(yè)

小結(jié)由教師和學(xué)生共同完成，重點(diǎn)小結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)，強(qiáng)調(diào)指出運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題中的第一步中n取第一個(gè)值n0，n0不一定是1，可以為其它正整數(shù)，第二步證明必須用到歸納假設(shè)，否則就不是的數(shù)學(xué)歸納法，如此設(shè)計(jì)的目的是起到化龍點(diǎn)睛的作用，并為下節(jié)課內(nèi)容埋下伏筆，設(shè)計(jì)懸念。作業(yè)分為書面作業(yè)和課后思考題，課后思考題不做統(tǒng)一要求，為不同程度的同學(xué)提供更為廣闊的思考探索空間。

以下是板書設(shè)計(jì).

?數(shù)學(xué)歸納法

一、數(shù)學(xué)歸納法 三、應(yīng)用舉例

例題

二、數(shù)學(xué)歸納法證題步驟

（1）

（2）

? 教師教學(xué)用書

1． 理解數(shù)學(xué)歸納法原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。

2． 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用

① 中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，二項(xiàng)式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。 由歸納、猜想得出的一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，可以使學(xué)生對有關(guān)知識(shí)的掌握深化一步。

② 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)命題，既可以開闊學(xué)生的眼界，又可以使他們學(xué)到推理論證的訓(xùn)練。

③ 數(shù)學(xué)歸納法在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要經(jīng)常用到，因此掌握這種方法為今后學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

3． 本節(jié)的重點(diǎn)和中心：數(shù)學(xué)歸納法原理

4． 要認(rèn)識(shí)到用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩者缺一不可。

5． 在數(shù)學(xué)中，與正整數(shù)有關(guān)的命題很多。由于正整數(shù)有無限多個(gè)，因而不可能對所有正整數(shù)一一加以驗(yàn)證。如果只對部分正整數(shù)加以驗(yàn)證就得出結(jié)論，所得結(jié)論又不一定正確。要是找到把所得結(jié)論遞推下去的根據(jù)，就可以把結(jié)論推廣到所有正整數(shù)，這就是數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果n=n0時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立（這是命題是否成立是不確定的），根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，…，命題都成立。

6． 在第二步，在推證前，n=k時(shí)結(jié)論是否成立是不確定的，因此用“假設(shè)”二字。這一步的實(shí)質(zhì)是證明命題n=k的正確性可以傳遞到n=k+1時(shí)的情況。有了這一步，聯(lián)系第一步的結(jié)論（n=n0時(shí)命題成立）就可以知道命題對n0+1也成立，進(jìn)而再由第二步可知n=(n0+1)+1即n=n0+2也成立，… ，這樣遞推下去，就可以知道命題對所有不小于n0的正整數(shù)都成立。

在這一步中，n=k時(shí)命題成立，可以作為條件加以運(yùn)用，而n=k+1時(shí)的情況則有待利用歸納假設(shè)，不能直接將n=k+1代入命題。

注意到n=k+1時(shí)命題是待證明的，常采用從一邊開始以另一邊為目標(biāo)進(jìn)行推證的辦法。

7． 數(shù)學(xué)歸納法雖然沒有就所有正整數(shù)一一驗(yàn)證結(jié)論，但它具備了遞推基礎(chǔ)與根據(jù)，因此得出的結(jié)論是可靠的。

8． 數(shù)學(xué)歸納法也是一種完全歸納法，常用來證明用不完全歸納法得出的結(jié)論。

?新課程標(biāo)準(zhǔn)中“推理與證明”解讀?

教育價(jià)值

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。

1． 有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及實(shí)踐生活的聯(lián)系。

人們常認(rèn)為演繹推理與邏輯證明是數(shù)學(xué)標(biāo)志性的思維方式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的特征。但數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和分析過程也常用到合情推理，人們在日常生活和其他學(xué)科中也在使用推理和證明，但更為常用的是合情推理和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明?！稑?biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)推理與證明與其他學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系，提倡通過生活實(shí)例與數(shù)學(xué)實(shí)例認(rèn)識(shí)、體會(huì)推理證明的意義及其重要性。這樣處理打破了以往數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及實(shí)際生活之間的人為壁壘，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科以及實(shí)際生活的聯(lián)系。

2． 有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí)。

演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要思維方式，因此，就完成了的形式而言，數(shù)學(xué)是演繹性的學(xué)科。但數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)證明思路的發(fā)現(xiàn)過程主要靠合情推理，即觀察、試驗(yàn)、歸納、猜測等等。因此，從數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程以及數(shù)學(xué)研究方法的角度看，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)一樣，又都是歸納的科學(xué)?！稑?biāo)準(zhǔn)》中將合情推理作為推理與證明的重要內(nèi)容，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，又是歸納的科學(xué)，數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從而形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí)。而且學(xué)習(xí)合情推理有助于培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行歸納時(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，從而形成實(shí)事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣。

3． 有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值

數(shù)學(xué)證明只有在確定的前提下才能進(jìn)行?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的多數(shù)分支的建構(gòu)是受到了公理化思想的影響的，或者是按照公理化思想完成的。歐幾里德的《幾何原本》是成功運(yùn)用公理化方法的典范；牛頓的經(jīng)典力學(xué)體系就是公理化方法建構(gòu)的，馬克思的《資本論》、杰弗遜的《獨(dú)立宣言》等也受到了公理化方法的影響。這反映了數(shù)學(xué)對科學(xué)發(fā)展、社會(huì)發(fā)展和人類思想發(fā)展的作用。

4． 有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程。它們是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)。推理與證明（例如合情推理與演繹推理）可以綜合體現(xiàn)和說明這些數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)。

5． 有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力

經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，掌握從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的有效途徑。歸納、類比是合情推理中常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理的結(jié)論往往超越了前提所包容的范圍，具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用。

關(guān)于推理與證明

推理一般包括合情推理和演繹推理。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)證明是邏輯證明，主要通過演繹推理來進(jìn)行。

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，在數(shù)學(xué)中，合情推理的主要形式有歸納和類比。

關(guān)于合情推理，波利亞在他的著作《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與其它知識(shí)的創(chuàng)造一樣的，在證明一個(gè)定理之前，你先得猜測證明的思路。你要先把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性成果是論證推理（演繹推理），即證明，但這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程少反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓蔡祥、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢??！辈ɡ麃嗊€認(rèn)為“論證推理是可靠的、無疑的、終結(jié)的。合情推理是冒險(xiǎn)的、有爭議的和暫時(shí)的，他們相互之間并不矛盾，而是相互補(bǔ)充的?！薄拔也幌嘈庞惺镁欧€(wěn)的方法，用它可以學(xué)會(huì)猜測”，但是，“假如我們能從一種情形學(xué)到適用于其他一些情形的某些東西，那么這種情形就是有啟發(fā)性的，可能適用的范圍越廣就越有啟發(fā)性。”這說明合情推理的模式與方法具有一定的啟發(fā)性和探索性。

合情推理與演繹推理中的一般形式：歸納推理。

歸納推理（簡稱歸納）是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推力模式。歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法。

例如：6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13

從這些個(gè)別情況，我們可以猜想：任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都可以表成兩個(gè)奇數(shù)之和，這就是著名的歌德巴赫猜想。這個(gè)猜想至今沒有人能回答他的正確性。又如，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為：不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)的和，或者將一個(gè)4次冪寫成兩個(gè)4次冪之和；或者，一般地說，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同次冪的和。這個(gè)結(jié)論費(fèi)馬認(rèn)為可以證明，但是并沒有給出證明過程。這個(gè)困惑了世間智者358年的猜想，終于在1994年獲證。從這兩個(gè)例子可以看出，用不完全歸納法得到的結(jié)論未必是可靠的，但使用方便并具有發(fā)現(xiàn)的功能。

由于窮盡了被考察對象的一切特例以后才作出的結(jié)論，因而結(jié)論是確鑿可靠的。完全歸納法是一種必然性的推理，但是，因?yàn)橐獰o一遺漏地考察所有特例，完全歸納法的發(fā)現(xiàn)功能是不強(qiáng)大的。（是否有一種方法讓我們做了完全歸納，而又沒有無窮盡的消耗時(shí)間呢？）

歸納推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

1．歸納時(shí)一句特殊現(xiàn)象推斷一般規(guī)律，因而有歸納得到的結(jié)論超越了前提所包容的范圍。

2．歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測的性質(zhì)。

3．歸納的前提是特殊情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的。

又歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn)，對有限的資料作歸納整理，提出地有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本方法之一。

運(yùn)用歸納推理時(shí)，其一般步驟是：首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；然后，把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；最后，對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是能否進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)中，教師應(yīng)借助具體實(shí)例讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，特別應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論（與自然數(shù)有關(guān)的規(guī)律），然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。對證明的問題要控制難度，例如，讓學(xué)生觀察下列等式：

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

根據(jù)上述等式找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示出這個(gè)規(guī)律，嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證之。

數(shù)學(xué)歸納法是具有證明的功能，它將無限的歸納過程根據(jù)歸納公理轉(zhuǎn)化為有限的特殊演繹（直接驗(yàn)證和演繹推理的結(jié)合）過程。

?院士講“歸納與演繹”?

推理是一種思維過程，可是思維卻不一定是推理。甜蜜的回憶，愉快的遐想，是思維活動(dòng)，并非推理。

如果你在推證一個(gè)幾何定理，或根據(jù)物理定律設(shè)法解釋一種現(xiàn)象，或猜謎，這時(shí)，你的大腦里往往要進(jìn)行一種特定的思維活動(dòng)——推理。從一些事實(shí)或斷言出發(fā)，按照一定的模式去尋找新的信息，這便是推理。

見到1只烏鴉是黑的，2只也是黑的，100只都是黑的，因而斷言“天下烏鴉一般黑”，這種從大量經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)作出判斷，叫做歸納推理。數(shù)學(xué)家提出猜想，往往借助于歸納推理。

從一些給定了的命題——前提出發(fā)，是用邏輯法則，一步一步推演出新的命題，這叫演繹推理。從牛頓三大定律和萬有引力定律推出行星繞日走的是橢圓軌道，從幾何公理出發(fā)證明三角形內(nèi)角和是180度，用的是演繹推理。

用手扔一個(gè)石子，它要掉下來。再扔一個(gè)玻璃球，它也要掉下來。再扔一個(gè)蘋果，它還是要掉下來。我們會(huì)想到：不管扔個(gè)什么東西，它都是要掉下來的；進(jìn)一步去想這是為什么，想到最后，認(rèn)為這是由于地球引力。

但是，我們并沒有把每件東西都扔上去試一試。試了若干次，就以為可以相信這是普遍的規(guī)律。這種推理方法，叫歸納推理。

在物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等許多實(shí)驗(yàn)科學(xué)的研究中，用歸納推理來驗(yàn)證一條定律、一條假說是常有的事。理論對不對，用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。

數(shù)學(xué)研究似乎不是這樣。你在紙上畫了一個(gè)三角形，用量角器量量它的三個(gè)角的大小，加起來差不多是180度。這樣畫上百個(gè)三角形來試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)每個(gè)三角形內(nèi)角和都接近180度。而且量的越準(zhǔn)，越接近180度。你能不能宣布，我用實(shí)驗(yàn)證明了一條幾何定理“三角形內(nèi)角和是180度”呢？

老師早告訴我們了，這不行。要證明一條幾何定理，要從公理、定義和前面的定理出發(fā)，一步一步地按照邏輯推理規(guī)則推出來才算數(shù)。用例子驗(yàn)證是不合法的。

這表明，數(shù)學(xué)要的是演繹推理。歸納推理只能作為提出猜想的基礎(chǔ)，不能作為證明的證據(jù)。

歸納法與演繹法是人類認(rèn)識(shí)世界的兩大工具，都是認(rèn)識(shí)世界的工具，又何必讓它們這樣水火不相容呢？

數(shù)學(xué)歸納法——順藤摸瓜，由近及遠(yuǎn)

長長的一列士兵在路上。將軍把一句口令告訴最前面的士兵，這個(gè)士兵開始把口令往后傳。如果每個(gè)士兵聽到口令后都往后傳，這口令自然會(huì)傳遍全軍。

類似地，如果有一連串句子，按順序一個(gè)一個(gè)排好了，也會(huì)產(chǎn)生這種多米諾骨牌現(xiàn)象：如果第一句是正確的，又知道如果某一句是正確的，則下面那一句也對，那么，這里每一句話都不會(huì)錯(cuò)。

數(shù)學(xué)里的命題，無非是一句話。這句話非真即假，不能是疑問句與驚嘆句。如果命題和自然數(shù)n有關(guān)，n取1，2，3，…，便有了一連串命題。數(shù)學(xué)歸納法告訴我們：

對于一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n). 如果：

（1） P(1)成立；

（2） 如果P(k)成立，則P(k+1)也成立。

那么，對一切n都有P(n)成立。

這兩個(gè)步驟，（1）叫做歸納起點(diǎn)，（2）叫做歸納推斷。

? 考試大綱：

理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法作簡單的應(yīng)用。

? 數(shù)學(xué)通訊：

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)式一項(xiàng)基本要求，但是不能只局限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，否則會(huì)將生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)淹沒在形式化的海洋里。數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課程要講究邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法。所以沒有對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，就不可能有應(yīng)用和創(chuàng)新，這就要求我們在教學(xué)中必須闡明問題產(chǎn)生的背景、抽象的過程以及結(jié)果的表述，體現(xiàn)其內(nèi)在本質(zhì)。 數(shù)學(xué)歸納法很容易被人認(rèn)為是一種形式化的操作步驟，而忽略掉其本質(zhì)原理。

? 數(shù)學(xué)教學(xué)：

歸納就是“看出一般”的能力。

波利亞總結(jié)了歸納的典型步驟：首先，注意到了某些相似性；而后是一個(gè)推廣的步驟；這樣就得到了一個(gè)明確陳述的命題。

歸納猜想不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用，在日常生活和工作中也是必不可少的能力。通過觀察一些表象問題，從中概括歸納一般規(guī)律，猜想事物的本質(zhì)。這是人們認(rèn)識(shí)世界和改變世界的必要手段。對學(xué)校教育中的學(xué)生來說，歸納猜想是必不可少的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。

所謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使人們必須的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科固有的內(nèi)蘊(yùn)特性，是在人的先天基礎(chǔ)上，通過后天學(xué)習(xí)獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)品質(zhì)融于身心的一種比較穩(wěn)定的心理狀態(tài)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種個(gè)人能力，學(xué)生能確定并理解數(shù)學(xué)在社會(huì)所起的作用，得出有充分根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和能夠有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)。這是作為一個(gè)有建構(gòu)的、關(guān)心他人和有思想的公民，適應(yīng)當(dāng)前及未來生活所必需的數(shù)學(xué)能力。